考点44一元二次不等式练习题

考点43一元二次不等式

一、单选题

1．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

2．设，则“”是“”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若,则的解集为

A．(0,) B．(-1,0)(2,)

C．(2,) D．(-1,0)

4．已知一元二次不等式的解集为，则的解集为

A． B．

C．{x|} D．{x| }

5．设一元二次不等式的解集为，则ab的值为（    ）

A．-6 B．-5 C．6 D．5

6．若集合，，，则的取值范围为

A． B． C． D．

7．设函数.若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

8．以方程的两根为三角形两边之长，第三边长为，则实数的取值范围是

A． B．或 C． D．

9．函数的定义域为的一个充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知a>b，二次三项式对于一切实数x恒成立，又，使成立，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

11．若不等式（a﹣3）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（    ）

A．（﹣∞，2] B．[﹣2，2] C．（﹣2，2） D．（﹣∞，2）

12．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A．(1,9) B．(9,1)

C．[9,1] D．(∞,1)∪(9,+∞)

二、填空题

13．不等式的解集为___________．

14．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为__________．

15．已知函数，则满足不等式的的范围是______

16．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

参考答案

1．A

【详解】

因为对任意 x恒成立，所以．

2．A

【详解】

由题意得，不等式，解得或，

所以“”是“”的充分而不必要条件，

故选A．

考点：充分不必要条件的判定．

3．C

【详解】

4．D

【详解】

由一元二次不等式的解集为，可以设函数解析式为：，将代入得，由指数函数的值域可得，，则D正确.

【考点定位】一元二次不等式与指数不等式的考察.

5．C

【分析】

由题意可得，且为的两根，利用根与系数的关系可计算得到a，b.

【详解】

由题意，，且为的两根，所以，

解得，所以.

故选：C

【点睛】

本题考查已知一元二次不等式的解集求参数的问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

6．D

【分析】

求出集合B，利用并集定义能求出a的取值范围

【详解】

因为 ，，所以，解得.

【点睛】

本题考查集合的并集运算，考查运算求解能力.

7．D

【分析】

问题转化为对一切恒成立，根据三次函数的图象不可能恒在轴的下方，可得，解得或（舍去）.可得对一切恒成立，等价于，则，利用二次函数的性质可得结果.

【详解】

因为，

所以，

不等式，

即.

因为对一切恒成立，

而三次函数的图象不可能恒在轴的下方，

所以，解得或（舍去）.

所以对一切恒成立，

则或，所以，

则 .

的取值范围为，故选D.

【点睛】

本题主要考查基本初等函数求导公式、转化思想的应用以及一元二次不等式恒成立问题，考查了二次函数的性质，属于难题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.

8．D

【详解】

由题意可知，由三角形三边，记另一边，得

所以，所以选D.

9．C

【分析】

等价于在上恒成立，然后对进行讨论进而求得范围，最后根据充分条件、必要条件的概念进行简单判断即可.

【详解】

由题可知：等价于在上恒成立

当时，在上不一定恒成立，

当时，则，

所以根据四个选项可知函数的定义域为的一个充分不必要条件可以是

故选：C

10．D

【分析】

由一元二次不等式恒成立，二次方程有解得出的关系式，然后由基本不等式得最小值．

【详解】

由题意，所以，，从而，

，则，

，当且仅当，即时等号成立，此时．

故选：D．

11．C

【分析】

讨论二次项系数为0时和不为0时对应不等式恒成立，分别解得此时a的取值范围即可.

【详解】

解：当a﹣3＝0，即a＝3时，不等式化为2x﹣4＜0，解得x＜2，不满足题意；

当a≠3时，须满足，

解得：，

∴﹣2a＜2；

综上，实数a的取值范围是（﹣2，2）.

故选：C.

12．B

【分析】

应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.

【详解】

由题设，，当且仅当时等号成立，

∴要使恒成立，只需，故，

∴.

故选：B.

13．

【详解】

不等式的解集为.

【考点定位】二次不等式的解法

14．9．

【详解】

∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，

∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.

又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，

∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.

15．

【分析】

根据函数在上单调递增，时恒为1的特点，列出不等式组求解即得.

【详解】

函数在上单调递增，并且时，恒有，如图，

则不等式成立，当且仅当，解得，

所以不等式成立的x取值范围是

故答案为：

16．

【分析】

由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.

【详解】

分类讨论：①当时，即：，

整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当时，，则；

②当时，即：，整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当或时，，则；

综合①②可得的取值范围是，故答案为.

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．