专题4：椭圆的定义与方程24页

专题4：椭圆的定义与方程

一、单选题

1．如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，分别延长到,使得，，是椭圆上一点，延长到，，则（    ）

A．10 B．5 C．6 D．3

2．如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，， 的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是（    ）

A．6 B．8 C． D．

3．已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，平分角，则与的面积之和为(    )

A．1 B． C．2 D．3

4．如图，已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则（    ）

A． B．4 C．3 D．1

7．已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知椭圆的左右焦点分别为，，点A是椭圆上一点，线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为B，若，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

9．已知椭圆：（）的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点到直线的距离等于，则椭圆的焦距长为（    ）

A． B． C． D．

10．一光源在桌面的正上方，半径为的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的短轴长为（    ）

A． B． C． D．

11．已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为 （    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

12．圆的半径为定长，是圆所在平面上与不重合的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是________

①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点

13．已知椭圆  的左右焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，则点的轨迹方程为___________.

14．点为椭圆的右焦点，在椭圆上运动，点，则周长的最大值为_________.

15．如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为__________．

16．已知椭圆，点与的焦点不重合．若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则_______．

17．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为____________.

18．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点.当的周长最大时，的面积为，则椭圆的离心率________．

19．一动圆与圆：内切，且与圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是______．

20．若复数满足，则在复平面内对应点的轨迹方程是__________（结果要求化简）

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆C上一点，满足，的面积为，直线交椭圆C于另一点Q，且，则椭圆C的标准方程为________．

22．圆的切线与椭圆交于两点分别以为切点的的切线交于点，则点的轨迹方程为__________．

参考答案

1．A

【解析】根据椭圆的定义和比例，有.

2．A

【分析】在椭圆上任取一点，可证明，可得 ，设点沿圆锥表面到达的路线长为，则，当且仅当 为直线与椭圆交点时取等号，即可求解.

【解析】在椭圆上任取一点，连接交球于点 ，交球于点，连接，， ，，，

在与中有： ，（为球的半径），

， 为公共边，

所以，QQ群333528558

所以，设点沿圆锥表面到达的路线长为，

则，

当且仅当为直线与椭圆交点时取等号，

，

所以最小值为，

故选：A

【点评】关键点【点评】本题解题的关键是证明得出 ，从而，转化为 三点共线时求.

3．C

【分析】利用题设条件给出的几何图形特征知，点M到直线PF1、PF2的距离都等于点M到x轴的距离，由此计算三角形面积得解.

【解析】如图，椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，作一圆与线段F1P，F1F2的延长线都相切，并且与线段PF2也相切，切点分别为D，A，B，

，

，

所以(c为椭圆半焦距)，从而点A为椭圆长轴端点，即圆心M的轨迹是直线x=a(除点A外).

因点M(2,1)在的平分线上，且椭圆右端点A(2,0)，所以点M是上述圆心轨迹上的点，即点M到直线F1P，PF2，F1F2的距离都相等，且均为1，

与的面积之和为.

故选：C

【点评】椭圆焦点三角形旁切圆圆心的轨迹是过椭圆长轴端点垂直于该轴的直线(除长轴端点外).

4．D

【分析】利用三角形的中位线、线段的中垂线、椭圆的定义对转化，用P点的坐标表示，通过P点在第一想象的范围，求出范围.

【解析】如图所示，点在轴右边，

因为为的垂直平分线，所以．

由中位线定理可得．

设点．

由两点间的距离公式，得

，

同理可得，

所以，故，

因为，，所以，

故，所以．

因为，所以．

故的取值范围为．

故选：D．

【点评】本题考查了椭圆的定义、直线和椭圆的关系、三角形中位线和线段的中垂线的几何性质，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于难题.

5．B

【分析】由的平分线交长轴于点，得到，再结合椭圆的定义，得到，进而求得的取值范围.

【解析】由椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，得，则，所以椭圆的方程为，故，，

由的平分线交长轴于点，显然，，

又，

所以，，即，

由，，得，

设，则，而，

即，也就是，所以，

所以，，

所以.

故选：B.

【点评】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程，以及圆的方程、角平分线性质等知识的综合应用，着重考查推理论证能力及运算求解能力，属于难题.

6．C

【分析】利用向量的数量积运算可得，利用，进一步利用椭圆的定义可转化为，进而得解.

【解析】连接,设椭圆的基本量为，

,

故答案为：3.

【点评】本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算.

7．A

【分析】将与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.

【解析】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接.

根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形.

由椭圆的定义有：

由余弦定理有：

即

所以

当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.

所以等号不能成立,即即，所以

故选：A

【点评】本题考查椭圆的对称性和焦点三角形，考查利用椭圆的定义和余弦定理、重要不等式求椭圆的离心率的范围，属于难题.

8．B

【分析】线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为，可得．根据，，可得，．点是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点．作轴，垂足为点．可得．利用性质可得点的坐标．代入椭圆方程可得离心率．

【解析】由题意知，又，所以线段AB过点且，

不妨设，故，

由椭圆定义可得，

故，，，，

故点A为椭圆短轴的一个端点，

不妨设，过点B作轴于M，

由和相似，又，可得，

所以点，所以点，

代入椭圆的方程可得，解得，即.

故选：．

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、相似三角形的性质、方程的解法，考查了转化法、推理能力与计算能力．

9．B

【解析】

如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，则四边形是平行四边形，可得，解得，取，可得点到直线的距离，即有，解得，，则焦距为，故选B.

【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质、点到直线的距离公式求椭圆的定义，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 解答本题的关键是利用椭圆的对称性得到， 从而利用椭圆的定义求解.

10．C

【解析】解：看左视图，左视图为高为6的等腰三角形，如图所示，图中 ,

，又 ，

故△PCD为等边三角形， ，

即椭圆的短轴长为 .

本题选择C选项.

11．A

【解析】试题分析：设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，

，

所以，所以，所以椭圆方程为．

【点评】椭圆的标准方程．

12．①②④⑤

【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.

【解析】（1）因为为圆内的一定点，为上的一动点，

线段的垂直平分线交半径于点，

可得，

即动点到两定点的距离之和为定值，

①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆；

②当重合时，点的轨迹是圆；

（2）当为圆外的一定点，为上的一动点，

线段的垂直平分线交半径于点，

可得，

即动点到两定点的距离之差为定值，

根据双曲线的定义，可得点的轨迹是：以为焦点的双曲线；

（3）当为圆上的一定点，为上的一动点，此时点的轨迹是圆心.

综上可得：点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.

故答案为：①②④⑤

【点评】本题主要考查了椭圆、双曲线和圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用线段垂直平分线的性质，以及椭圆和双曲线的定义是解答的关键，着重考查推理与论证能力，以及转化思想的应用.

13．

【分析】先利用椭圆的几何性质得到的轨迹方程为：，再根据的坐标与的坐标关系可得的轨迹方程.

【解析】

如图，延长交的延长线于，连接.

因为为的平分线且，

故为等腰三角形且，，

所以.

在中，因为，所以，

故的轨迹方程为：.

令，则，所以即，

故答案为：

【点评】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与焦点三角形有关的轨迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另外，求动点的轨迹，QQ群333528558

注意把要求的动点的轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.

14．

【分析】取椭圆左焦点为左焦点为，连接，则，因为为定值故只需求出的最大值即可求得周长的最大值.

【解析】由椭圆的焦点在x轴上知，右焦点，左焦点为，连接，

由椭圆定义可知：，

，即最大时，最大，

在中，两边之差总小于第三边，，

当且仅当共线时，取最大值，此时取最大值，

则周长的最大值为.

故答案为：

【点评】本题考查椭圆的定义与几何性质，椭圆中三角形周长问题，属于中档题.

15．28

【解析】设椭圆的另一个焦点为 由椭圆的几何性质可知： ，同理可得，且，故,故答案为.

16．

【解析】设的中点为，椭圆的左，右焦点分别为，如图所示，连接，因为是的中点，是的中点，所以是△的中位线，所以，同理，，所以，因为在椭圆上，所以根据椭圆的定义，可得，所以．

【考点】

椭圆的定义及标准方程．

17．1

【分析】根据已知可以转化为，然后由三点共线即两点之间线段最短可得答案.

【解析】由已知得，，

因为，所以，

所以，

所以当三点共线时，最小，

即.

故答案为：1.

【点评】本题考查了椭圆上的点到焦点和定点距离和的问题，解题关键是利用定义转化为两点之间线段最短的问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.

18．

【分析】首先根据椭圆定义分析，分析当的周长最大时，直线的位置，再求的面积，得到椭圆的离心率.

【解析】设椭圆的右焦点为，，当直线过右焦点时，等号成立，

的周长，

此时直线过右焦点，，

，得.

故答案为：

【点评】关键点【点评】本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再结合椭圆的定义，求周长的最值.

19．

【分析】由圆与圆的位置关系可得，再由椭圆的定义即可得解.

【解析】由题意，圆：的圆心为，半径为，

圆：的圆心为，半径为，

设动圆的圆心，半径为，

动圆与圆：内切，与圆：外切，

所以，，

所以，

所以的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，且，，

所以，

椭圆的方程为.

故答案为：．

【点评】本题考查了圆与圆位置关系及椭圆定义的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.

20．

【分析】设复数z对应的点为Z，由，知点Z到点A（0，1）、点B（0，-1）的距离和大于|AB|，由此可得结论，求出方程即可．

【解析】设复数z对应的点为Z，

则表示点Z到点A（0，1）的距离，表示点Z到点B的距离，

又|AB|=2，

由知点Z到点A、B的距离和大于|AB|，

在复平面内对应点的轨迹为椭圆，所以a=4，c=1，则，

椭圆的焦点就是A，B，

所以z在复平面内对应的点的轨迹方程是：，

故答案为：

【点评】本题主要考查了复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于中档题．

21．．

【分析】设椭圆半焦距为，由已知可得为直角三角形，利用通径可得，再根据可得点的坐标，进而求得的值，即可得答案；

【解析】设椭圆半焦距为，由已知可得为直角三角形.

易知.

①，

设点P在第一象限由，可得，

代入椭圆的方程可得②．又③，

由①②③可得，所以椭圆的标准方程为．

故答案为：.

【点评】本题考查椭圆方程的求解、共线向量的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

22．  .

【解析】设切点分别为，则过点的切线方程为，即代入，整理化简可得，由题设可得，即，结合可得，则切线方程为；同理可得经过点的切线方程为．设交点，故由题设可得且，观察这两个等式可以看出经过两点的直线是，又该直线与相切，则，即，即交点在曲线运动，应填答案．

【点评】本题的求解思路是先建立经过椭圆与已知圆的切线的交点的切线方程，再运用抽象概括（即特殊到一般的归纳思维）的思想方法得到含交点的坐标的方程，即点的轨迹方程，其求解过程较为繁冗，对运算求解能力及分析问题解决问题的能力要求较高，具有一定的难度．