人教版八下数学 第19章 一次函数知识点总结

一、常量与变量

在一个变化过程中，数值保持不变的量叫常量，数值发生改变的量叫变量。

实际上，常量就是具体的数，变量就是表示数的字母。（注意“π”是常量）

二、自变量与函数

在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果x每取一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫自变量，y叫x的函数。

判断两个变量是否有函数关系就是“看对于自变量的每一个确定的值，函数值是否有惟一确定的值和它对应。”

三、函数值

如果x=a时，y=b，那么把“y=b叫做x=a时的函数值”。

四、表示函数的方法

方法（一）解析式法。

方法（二）列表法

方法（三）图像法

五、自变量的取值范围

在一个变化过程中，自变量允许取值的区域，叫自变量的取值范围。

六、自变量取值范围的求法

（一）对于解析式

1、解析式是整式。自变量取一切实数。

2、自变量在分母。取使分母不等于0的实数。

3、自变量在根号内

（1）在内。自变量取一切实数。

（2）在内。取使根号内的值为非负数的实数。

（二）对于实际问题

自变量的取值要符合实际意义。

在一个函数解析式中，同时有几种代数式时，函数的自变量的取值范围应是各种代数式中自变量的取值范围的公共部分

例：求函数中自变量x的取值范围。

解：要使有意义，

    必须且

即，。

所以中自变量x的取值范围是。

说明：求使函数有意义的自变量的值，就是求函数自变量的取值范围。

七、         函数图象的画法步骤

（一）列表。

（二）描点。以对应的x、y作为点（x，y），把每个点描在平面直角坐标系中。

（三）连线。把描出的点按照自变量由小到大的顺序，用平滑的线连结起来。

八、正比例函数

1、定义：形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数。

2、图象：是经过（0,0）与（1，k）的直线。

3、性质：

（1）

（2）

九、一次函数

（一）定义：

形如b

的函数叫做一次函数。

因为当b=0时，y=kx，所以“正比例函数是特殊的一次函数”。

（二）图象：

是经过（，0）与（0，b）两点的直线。因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.

其中，（，0）是直线与x轴的交点坐标，（0，b）是直线与y轴的交点坐标。
（三）性质：（如下图）

1、
2、

3、

4、

5、

6、

（四）l1：y=k1x+b1与l2：y=k2x+b2的关系

1、k1=k2l12 ；

说明：当k1=k2，b1=b2时，l1与l2重合。

从

（1）b>0,向上平移，（2）b<0,向下平移。

反之，从

（1）b>0,向下平移，（2）b<0,向上平移。

2、k12l1与l2相交；当k12=-1时，l1l2。

3、求l1与l2的交点坐标就是

解关于x、y的二元一次方程组

（五）一次函数与二元一次方程组的关系

因为二元一次方程组中的两个二元一次方程都可以化为两个一次函数解析式，所以两个一次函数图象的交点坐标就是原二元一次方程组的解。因此，可以通过两个一次函数图象交点坐标求出二元一次方程组的解。

（六）一次函数与一元一次方程的关系

因为与x轴相交于一点，此时y=0，得到，这是个一元一次方程。所以一元一次方程的解，就是对应的一次函数图象与x轴交点的横坐标。即可以通过画一次函数的图象求出对应的一元一次方程的解。

（七）一次函数与一元一次不等式的关系

因为一次函数的图象与x轴相交与一点，在x轴上方的部分，直线上的点对应的函数值y是正数，即; 在x轴下方的部分，直线上的点对应的函数值y是负数，即;即可以通过画一次函数的图象求出对应的一元一次不等式的解集。

（八）判定点是否在函数图象上（或函数图象是否经过点）的方法

将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上．

（九）用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

　　（3）解方程得出未知系数的值；

　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

（十）点在函数图象上（或函数图象经过点）的意思是“把点的横坐标x和纵坐标y代入函数解析式中，等号成立”。

十、一次函数的应用

在实际生活中，应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解.