《“杨辉三角”与二项式系数的性质》人教版高中数学选修2-3PPT课件（第1.3.2课时）

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-3本册综合课文配套课件ppt，共26页。PPT课件主要包含了课前导入，杨辉三角，新知探究，《九章算术》，二项式系数性质，知识要点，增减性与最大值，课堂训练，第2行中的数是，第3行中的数是等内容，欢迎下载使用。

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（1）上述的表叫做二项式系数的表,观察表中二项式系数的规律,并加以归纳.
（2）继续观察,归纳每行二项式系数的特点(即二项式系数的性质),猜测出二项式系数的性质.
南宋末年钱塘人，是当时有名的数学家和教育家，杨辉一生编写的数学书很多,但散佚严重.杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官,到过苏州、台州等地，他每到一处都会有人慕名前来 请教数学问题.
本节课的课题《二项式定理》就是研究 （a+b）的平方,(a+b)的三次方…… （a+b）的n次方的乘法展开式的规律， 法国数学家帕斯卡在17世纪发现了它，国外把这一规律称为帕斯卡三角.其实，我国数学家杨辉早在1261年在他的《详解九章算法》中就有了相应的图表.
《详解九章算法》中记载的表
展开式的二项式系数依次是：
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：
当 时，其图象是右图中的7个孤立点．
由以上分析可以画出如下图:
结合杨辉三角和上图来研究二项式系数的一些性质.
1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式Cnm=Cnn-m 得到.
直线 将函数 的图像分成对称的两部分，它是图像的对称轴
所以 相对于 的增减情况由 决定．
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值.
可知，当 时，
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、
相等，且同时取得最大值.
3.各二项式系数之和已知 (1+x)n=Cn0+Cn1x+…+Cnrxr+…+Cnnxn令x=1，则 2n=Cn0+Cn1+…+Cnn
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
分析： 奇数项的二项式系数的和为Cn0+Cn2+… 偶数项的二项式系数的和为Cn1+Cn3+… 由于在二项式定理中a、b可以取任意实数，因此我们可以通过对a、b适当赋值来得到上述两个系数和.
证明： 在二项展开式中，令a=1，b=-1，则得 (1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn 即 0=(Cn0+Cn2 +…)-(Cn1+Cn3+…),所以 Cn0+Cn2 +…= Cn1+Cn3+…,即得证.
1. 如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第______行中从左到右第14与第15个数的比为2:3 .
由图1我们能发现，第1行中的数是
设第n行中从左到右第14与第15个数的比为
2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数为_____(用数字作答).
∵(1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+…)， ∴x4的系数为C104+(-1) C101=200.
3. 若n∈N且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+…+6-1被8除所得的余数是(　　). 　　(A)0 　　(B)2 　　(C)5 　　(D)7
原式=(6+1)n-2=7n-2=(8-1)n-2=8n-8n-1+8n-2-…+8-1-2=8(8n-1-8n-2+…+)-3，余数为8-3=5.
(1)Cn1+Cn2+…+Cnn=_______; C111+C113+C115+C117+C119+C1111=_____. (2)在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ______； 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为____ .
（1） 的展开式中，无理项的个数是（ ） A .83 B.84 C.85 D.86（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126
（1）求(2x+3y)6的展开式的第三项.
解： 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2x)6-2(3y)2=2160x4y2
（2）求(2a+3b)6的展开式的第三项的二项式系数.
解： 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2a)6-2(3b)2=2160a4b2 由二项式系数定义知，展开式的第三项的二项式系数为C62=15，而展开式的第三项的系数为2160.
1.二项式系数的三条性质（1）对称性;（2）增减性与最大值;（3）各二项式系数的和;（4）递推性（杨辉三角中）.
2. 数学思想方法（1）函数法;（2）特殊值法 ;（3）赋值法 、递推法、图象法.
3.“系数”与“二项式系数”的区别不能混淆两者，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项.