四川省眉山市2020届高三第一次诊断性考试数学（文）试卷

数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

2．已知为虚数单位，复数，则其共扼复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

3．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）．若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

4．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

6．执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为，，输出的值分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

7．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

8．关于函数的图象向右平移个单位长度后得到图象，则函数（    ）

A．最大值为3 B．最小正周期为

C．为奇函数 D．图象关于轴对称

【答案】D

9．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．

若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

10．圆上到直线的距离为的点共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

11．某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为（    ）

A．2400元 B．2560元 C．2816元 D．4576元

【答案】B

12．已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

二、填空题

13．若非零向量满足，则与所成角的大小为___．

【答案】90°

14．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为______．

【答案】15

15．如图，在正方体中，点在线段上移动，有下列判断：①平面平面；②平面平面；③三棱锥的体积不变；④平面．其中，正确的是______．（把所有正确的判断的序号都填上）

【答案】①②③

16．已知函数，则满足不等式的取值范围是______．

【答案】

三、解答题

17．在中，角，，所对的边分别是，，，且 ．

（1）证明：为，的等差中项；

（2）若，，求．

【答案】（1）证明见解析；（2）5.

【详解】

（1）由,得，

所以,

由正弦定理得,

即为，的等差中项,

（2）由（1）得,

因为，，由余弦定理有,即,

由，解得，（舍去）,

所以.

18．已知数列的前项和为，首项为，且4，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由题意有,

当时，，所以,

当时，，，

两式相减得，整理得，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列,

所以数列的通项公式．

（2）由，所以，

所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列,

所以．

19．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：

根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：

表中，．

（1）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；

（2）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，，，，．）

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

【答案】（1）；（2），.

【详解】

（1）因为与温度可以用线性回归方程来拟合，设．

，

所以，

故关于的线性回归方程为．

（2）由（1）可得，

于是产卵数关于温度的回归方程为,

当时，；

当时，；

因为函数为增函数，

所以，气温在之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是内的正整数．

20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点．

（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；

（2）若为线段，，上的动点（不含，），，三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【详解】

（1）证明:因为，为线段的中点，所以,

因为底面，平面，所以,

又因为底面为正方形，所以，,

所以平面,

因为平面，所以,

因为，所以平面,

因为平面，所以平面平面.

（2）由底面，则平面平面,

所以点到平面的距离（三棱锥的高）等于点到直线的距离,

因此，当点在线段，上运动时，三棱锥的高小于或等于2,

当点在线段上运动时,三棱锥的高为2,

因为的面积为,

所以当点在线段上，三棱锥的体积取得最大值,

最大值为.

由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积,

所以三棱锥的体积存在最大值.

21．已知函数.

（1）若为单调递增函数，求的取值范围；

（2）若函数仅一个零点，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【详解】

解：（1）由，

得，

因为为单调递增函数，所以当时，由于，于是只需对于恒成立，

令，则，当时，，所以为增函数，

所以.

当，即时，恒成立，

所以，为单调递增函数时，的取值范围是.

（2）因为，所以是的一个零点.由（1）知，当时，为的增函数，

此时关于的方程仅一解，即函数仅一个零点，满足条件.

当时，由得，

（ⅰ）当时，，则，令，

易知为的增函数，且，

所以当时，，即，为减函数，

当时，，即，为增函数，

所以在上恒成立，且仅当，于是函数仅一个零点.

所以满足条件.

（ⅱ）当时，由于在为增函数，

则，当时，.

则存在，使得，即使得，

当时，，当时，，

所以，且当时，.

于是当时存在的另一解，不符合题意，舍去.

（ⅲ）当时，则在为增函数，

又，，

所以存在，使得，也就使得，

当时，，当时，，

所以，且当时，.

于是在时存在的另一解，不符合题意，舍去.

综上，的取值范围为或.

22．已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2），是曲线上两点，若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由（为参数），得曲线的普通方程为,

将，代入，得,

即,

所以曲线的极坐标方程为.

（2）由（1）知,

设点的极坐标为，

因为，则点的极坐标为,

所以

．

23．已知正实数，满足．

（1）求最大值；

（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）4；（2）.

【详解】

（1）因为

，当且仅当时取等号．

所以最大值为4．

（2）因为，

当且仅当，即，取等号，

所以的最小值为3,

又,

所以,

所以不等式对任意恒成立，只需,

所以,解得,

即实数的取值范围是.