四川省眉山市2020届高三第一次诊断性考试数学（理）试卷

数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

2．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

3．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

4．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

6．执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为，，输出的值分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

7．如图，已知中，为的中点，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

8．圆上到直线的距离为的点共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

9．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．

若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

10．关于函数有下述四个结论：①若，则；②的图象关于点对称；③函数在上单调递增；④的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称.其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①②④ B．①② C．③④ D．②④

【答案】D

11．四面体的四个顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

12．已知直线与曲线相切，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

二、填空题

13．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）.若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为______.

【答案】

14．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进人了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为______.

【答案】

15．已知函数，则满足不等式的取值范围是______．

【答案】

16．某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为______元.

【答案】

三、解答题

17．已知数列的前项和为，首项为，且4，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由题意有,

当时，，所以,

当时，，，

两式相减得，整理得，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列,

所以数列的通项公式．

（2）由，所以，

所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列,

所以．

18．在中，角，，所对的边分别是，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）；（2）

【详解】

（1）由，根据正弦定理有：.

所以，所以.

因为为三角形内角，所以，所以，因为为三角形内角，所以.

（2）由，，根据正弦定理有：，

所以，.

所以.

当时，等号成立.所以的最大值为.

另解：（2）由，，根据余弦定理有：，

即.因为，

所以.即，当且仅当时，等号成立.

所以的最大值为.

19．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：

根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：

表中，．

（1）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；

（2）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，，，，．）

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

【答案】（1）；（2），.

【详解】

（1）因为与温度可以用线性回归方程来拟合，设．

，

所以，

故关于的线性回归方程为．

（2）由（1）可得，

于是产卵数关于温度的回归方程为,

当时，；

当时，；

因为函数为增函数，

所以，气温在之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是内的正整数．

20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，若为线段上的动点（不含）.

（1）平面与平面是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（2）求二面角的余弦值的取值范围.

【答案】（1）平面平面，理由见解析；（2）

【详解】

（1）因为，为线段的中点.所以.

因为底面，平面，所以，

又因为底面为正方形，所以，，所以平面，

因为平面，所以.因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）由题意，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，令，

则，，，（其中）.易知平面的一个法向量.

设平面的法向量，由即

令，则是平面的一个法向量.，

由，所以，所以.

故若为线段上的动点（不含），二面角的余弦值的取值范围是.

21．已知函数．

（1）若为单调函数，求a的取值范围；

（2）若函数仅一个零点，求a的取值范围．

【答案】（1）（2）或

【详解】

解析：（1）由（），得

，

因为为单调函数，

所以当时，或恒成立，

由于，于是只需或对于恒成立，

令，则，

当时，，所以为增函数，

则．又当时，，

则不可能恒成立，即不可能为单调减函数．

当，即时，恒成立，

此时函数为单调递增函数．

（2）因为，所以是的一个零点．

由（1）知，当时，为的增函数，

此时关于x的方程仅一解，即函数仅一个零点，满足条件．

当时，由得，

（ⅰ）当时，，

则，

令，

易知为的增函数，且，

所以当时，，即，为减函数，

当时，，即，为增函数，

所以，

在上恒成立，且仅当，于是函数仅一个零点．

所以满足条件．

（ⅱ）当时，由于在为增函数，

则，当时，．

则存在，使得，即使得，

当时，，

当时，，

所以，且当时，．

于是当时存在的另一解，不符合题意，舍去．

（ⅲ）当时，则在为增函数，

又，，

所以存在，使得，也就使得，

当时，，

当时，，

所以，且当时，．

于是在时存在的另一解，不符合题意，舍去．

综上，a的取值范围为或．

22．已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2），是曲线上两点，若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由（为参数），得曲线的普通方程为,

将，代入，得,

即,

所以曲线的极坐标方程为.

（2）由（1）知,

设点的极坐标为，

因为，则点的极坐标为,

所以

．

23．已知正实数，满足．

（1）求最大值；

（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）4；（2）.

【详解】

（1）因为

，当且仅当时取等号．

所以最大值为4．

（2）因为，

当且仅当，即，取等号，

所以的最小值为3,

又,

所以,

所以不等式对任意恒成立，只需,

所以,解得,

即实数的取值范围是.