江苏省如皋市2022届高三上学期11月期中调研试题数学含答案

2021～2022学年高三第一学期期中试卷

数　　学

(满分：150分　考试时间：120分钟)

2021．11

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．

1. 已知集合A＝{x|y＝lg(x－2)}，B＝{x|x2－4x<0}，则(∁RA)∩B＝(　　)

A. (－∞，2]    B. (0，2]    C. (2，4)    D. [2，＋∞)

2. 已知i为虚数单位，复数z满足z·(2＋i)＝3＋4i，记 z 为z的共轭复数，则|z|＝(　　)

A. B. C. D.

3. 已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式可能为(　　)

A. y＝xcos (x＋π)

B. y＝

C. y＝sin x－xex

D. y＝sin x－xcos x

4. 在平面直角坐标系xOy中，已知平面向量a，b满足a＝(1，)，|a＋b|＝4，则|b|的取值范围是(　　)

A. [2，6]    B. [2，2]    C. [2，6]    D. [1，2]

5. 已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4＜0的解集为(m，)，其中m<0，则＋的最小值为(　　)

A. －2    B. 1    C. 2    D. 8

6. 某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲、乙两名成员前往同一基地，丙、丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数为(　　)

A. 86种    B. 64种    C. 42种    D. 30种

7. 设x，y，z∈R，已知＝＝，若0＜x＜1，则(　　)

A. x＞y＞zB. z＞x＞yC. x＞z＞yD. y＞z＞x

8. 由二倍角公式cos 2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cos x的二次多项式，对于cos 3x，我们有cos 3x＝cos (2x＋x)＝cos 2x cos x－sin 2x sin x＝(2cos2x－1)cosx－2sin x cos x sin x＝4cos3x－3cosx，可见cos 3x也可以表示为cos x的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cos nx＝Pn(cos x)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式．(提示：18°×3＝90°－18°×2)

如图，在等腰三角形ABC中，已知A＝54°，AB＝AC，且△ABC的外接圆半径OC＝1，结合上述知识，可得BC＝(　　)

A. B.

C. D.

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数f(x)＝Acos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)

A. φ＝－

B. f(x－)＝f(－x)

C. 函数g(x)为奇函数

D. 函数g(x)在区间(，)上单调递减

10. 已知(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021，则(　　)

A. 展开式中所有项的系数和为－1    B. 展开式中二项式系数最大项为第1 010项

C. ＋＋＋…＋＝－1    D. a1＋2a2＋3a3＋…＋2 021a2 021＝2 021

11. 若实数x，y满足x＞y＞0，则使得x－y＜1成立的一个充分不必要条件是(　　)

A. x＋y＜1    B. log2x－log2y＜1

C. sin x－sin y＜1    D. 4x－2·4y＜0

12. 观察如下数阵：

第1行　　　　　1　　　　　 2

第2行　　　　 1　　　3　　　　2

第3行　　　1　 4　　 3　 　5　　2

第4行　　1　5　4　7　3　8　5　7　2

…　　　　　　　　…

第n行　1　x1　x2　 ……………　 xk　2

该数阵特点：在第n行每相邻两数之间都插入它们的和得到第n＋1行的数，n∈N*.设第n行数的个数为an，第n行的所有数之和为Sn，则(　　)

A. an＋1＝2an－1    B. Sn＋1＝3Sn－3

C. Sn＝3[(n－1)2＋1]    D. k＝2n－1－1

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知角θ的终边与直线x＋2y＋1＝0垂直，则sin (＋2θ)的值为________．

14. 写出满足条件“函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(xy)＝f(x)＋f(y)”的一个函数f(x)＝________．

15. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且与圆O：x2＋y2＝a2相切的直线与双曲线C的一条渐近线相交于点M(点M在第一象限).若MF1⊥MF2，则双曲线C的离心率e＝________．

16. 某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为________；该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为________．

四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“某信运动”，某运动品牌公司140名员工均在某信好友群中参与了“某信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10 000步及以上的员工授予该月“运动达人” 称号，其余员工均称为“参与者”， 下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月～5月获得“运动达人” 称号的统计数据：

(1) 由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程y＝bx＋a，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人” 称号的员工数；

(2) 为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：

请补充上表中的数据(直接写出m，n的值)，并根据上表判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？

参考公式和数据：

b＝，a＝y－bx，K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d).

18.(本小题满分12分)

已知各项均为正数的数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列．

(1) 求证：数列为等差数列；

(2) 记cn＝＋，记{cn}的前n项和为Sn，若Sk>，求正整数k的最小值．

19.(本小题满分12分)

如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，sin 2C＝sin B，且D为BC的中点，点E满足＝＋.

(1) 求a的值；

(2) 求cos∠DAE的值．

20.(本小题满分12分)

为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自高一年级3人，高二年级4人，高三年级5人．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军、亚军和季军．积分规则如下：每场比赛5局中以3∶0或3∶1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以3∶2获胜的队员积2分，落败的队员积1分．

(1) 比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率是多少？

(2) 已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜的概率均为.记这轮比赛甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望E(X).

21.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点和右焦点分别为A，B和F，直线l：x＝my＋t与椭圆C交于不同的两点M，N，记直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3.

(1) 求证：k1k2为定值；

(2) 若k1＝3k3，求△FMN的周长．

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，x＞0.

(1) 当a＝1时，求函数f(x)的最大值；

(2) 若关于x的不等式f(x)＋＋a－2≥0对任意的实数x≥1恒成立，其中e为自然对数的底数，求实数a的取值范围．

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2021～2022学年高三第一学期期中试卷(如皋)

数学参考答案及评分标准

1. B　2. A　3. D　4. C　5. C　6. D　7. C　8. A　9. BCD　10. AC　11. AD　12. ABD

13. －　14. log2x　15. 2　16. 　

17. 解：(1) 由表格数据得x＝＝3，y＝＝100，

所以b＝＝＝－9，a＝y－bx＝100－(－9)×3＝127，

所以y关于x的回归直线方程为y＝－9x＋127.(4分)

令x＝6，则y＝－9×6＋127＝73，

即该运动品牌分公司6月份获得“运动达人” 称号的员工数为73.(5分)

(2) 依题意，m＝20，n＝40.(7分)

根据列联表数据得K2＝≈1.167<3.841，

所以没有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关．(10分)

18. (1) 证明：因为an，bn，an＋1成等差数列，所以2bn＝an＋an＋1　①.

又bn，an＋1，bn＋1成等比数列，所以a＝bnbn＋1　②.

因为an>0，bn>0，由②得an＋1＝，

代入①得，当n≥2，n∈N*时，2bn＝＋，

整理得2＝＋，

所以数列{}为等差数列．(5分)

(2) 解：在①中，令n＝1，得2b1＝a1＋a2，可得a2＝6.

在②中，令n＝1，得a＝b1b2，可得b2＝9.

由(1)可知，数列{}是等差数列，结合＝2，＝3，

故＝n＋1，bn＝(n＋1)2.

所以a＝bnbn＋1＝(n＋1)2(n＋2)2，an＋1＝(n＋1)(n＋2)，

所以当n≥2，n∈N*时，an＝n(n＋1).

又a1＝2符合上式，所以an＝n(n＋1).(8分)

故cn＝＋＝＋＝－＋－＝－，

所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－－.

据Sk>，得－－>，解得k>(负舍)，

又k∈N*，故k的最小值为7.(12分)

19. 解：(1) 根据题意，sin 2C＝sin B，即2sin C cos C＝sin B，

结合正弦定理，有2ccos C＝b.

又b＝2，c＝4，所以cos C＝＝.(3分)

在△ABC中，据余弦定理可知cos C＝＝，解得a＝4.(5分)

(2) 由(1)知，a＝c，可知A＝C，故cos A＝.

记＝a，＝b，则|a|＝4，|b|＝2.

又＝a＋b，＝a＋b，

所以·＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b2

＝×42＋×4×2×＋×22＝5，(8分)

||＝＝＝＝，

||＝＝＝＝6，

故cos ∠DAE＝＝＝.(12分)

20. 解：(1) 比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是p＝＝.(3分)

(2) X的可能取值为0，1，2，3.

P(X＝0)＝(1－)3＋C××(1－)3＝；

P(X＝1)＝C×()2×(1－)3＝；

P(X＝2)＝C×()2×(1－)2×＝；

P(X＝3)＝()3＋C×()2×(1－)×＝.(11分)

所以X的分布列为

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)

21. (1) 证明：设M(x1，y1)，依题意得A(－2，0)，B(2，0).

因为点M在椭圆C上，故＋＝1，所以y＝(4－x)，

所以k1k2＝·＝＝＝－为定值．(4分)

(2) 解：由(1)知k1k2＝－，又k1＝3k3，所以k2k3＝－.

联立方程组消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0.

设N(x2，y2)，则(*)(6分)

由k2k3＝－，得·＝－，即＝－，

整理，得(m2＋4)y1y2＋m(t－2)(y1＋y2)＋(t－2)2＝0，

将(*)式代入可得(m2＋4)·＋m(t－2)·＋(t－2)2＝0，

化简得t2－t－2＝0，故t＝－1或t＝2.(10分)

当t＝2时，直线l经过右顶点B(2，0)，与题意不符，故t＝2舍去；

所以t＝－1，直线l的方程为x＝my－1恒过椭圆C的左焦点F′(－1，0)，

所以△FMN的周长为FM＋MN＋NF＝FM＋MF′＋NF′＋NF＝2a＋2a＝4a＝8.(12分)

22. 解：(1) 当a＝1时，f(x)＝ln x－x＋1，x＞0，

所以f′(x)＝－1＝，令f′(x)＝0，得x＝1.

当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，

所以f(x)的最大值为f(1)＝0.(4分)

(2) 记g(x)＝f(x)＋＋a－2，x≥1，即g(x)＝ln x＋－ax＋a－1，x≥1，

g′(x)＝＋－a，g″(x)＝－＋.

由(1)可知，当a＝1时，f(x)的最大值为0，即ln x－x＋1≤0，

所以ln x≤x－1，其中x>0，故ex－1≥x对∀x>0恒成立，

所以g″(x)＝－＋≥－＝≥0，

故g′(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，

所以，当x≥1时，g′(x)≥g′(1)＝1－a.(7分)

①若1－a≥0，即a≤1时，g′(x)≥1－a≥0，g(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，g(x)≥g(1)＝0，

故a≤1符合题意；(8分)

②若1－a<0，即a＞1时，g′(1)<0，

因为g′(4a＋1)＝＋－a>－a

＝a＝a，

据ex－1≥x，其中x>0，可得ex≥x＋1对任意x>0都成立，

所以a＞1时，e2a≥2a＋1>2a＋，>1，所以g′(4a＋1)>0.

结合g′(x)在[1，＋∞)上的图象是一条不间断的曲线，

所以存在x0∈(1，4a＋1)，使得g′(x)＝0，

且当x∈(1，x0)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x0)上是单调减函数，

所以存在x＝x0，g(x0)<g(1)＝0，与题意矛盾，故a＞1不符合题意．

综上所述，实数a的取值范围是a≤1.(12分)