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人教新课标A版选修2-1 综合测试（含答案）
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这是一份高中数学人教版新课标A选修2-1本册综合当堂达标检测题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教新课标A版选修2-1
综合测试
一、单选题
1.下列关于命题的说法错误的是（ ）．
A. “ ω=1 ”是“函数 f(x)=3sin(ωx−π3) 最小正周期为 2π ”的充要条件
B. 命题“若 x2−3x+2=0 ，则 x=2 ”的逆否命题为“若 x≠2 ，则 x2−3x+2≠0 ”
C. 命题“若随机变量 X∼N(1,4) ， P(X≤0)=m ，则 P(0
2.P是双曲线 x29－y216＝1 的右支上一点， M 、 N 分别是圆 (x+5)2+y2=1 和(x−5)2+y2=1 上的点，则 |PM|−|PN| 的最大值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3.过抛物线 C ： y2=2px(p>0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点，线段 AF ， BF 的中点在 y 轴上的射影分别为点 M ， N ，若 △AFM 与 △BFN 的面积之比为4，则直线 AB 的斜率为（ ）
A. ±1 B. ±2 C. ±2 D. ±22
4.已知椭圆C： x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线 bx−ay+2ab=0 相切，则C的离心率为（ ）
A. 63 B. 33 C. 23 D. 13
5.已知双曲线 C:x2m−y2n=1 ，则 n>m>0 是双曲线C的离心率大于 2 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.给出下列四个命题：①有的质数是偶数；②存在正整数 x ，使得 x 为 29 的约数；③有的三角形三个内角成等差数列；④与给定的圆只有一个公共点的直线是圆的切线.其中既是存在性命题又是真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知双曲线 x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0) 的左､右焦点分别为 F1, F2 ， O 为坐标原点，点 P 是其右支上第一象限内的一点，直线 PO, PF2 分别交该双曲线左､右支于另两点 A,B ，若 |PF1|=2|PF2| ，且 ∠AF2B=60° ，则该双曲线的离心率是（ ）
A. 3 B. 2 C. 233 D. 52
8.已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F ， M(3,2) ，直线 MF 交抛物线于 A ， B 两点，且 M 为 AB 的中点，则p的值为（ ）
A. 3 B. 2或4 C. 4 D. 2
9.设F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ， 满足PF2=F1F2 ， 且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ( )
A. 3x±4y=0 B. 3x±5y=0
C. 4x±3y=0 D. 5x±4y=0
10.已知 F1,F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2 ， |PF1|=|F1F2| ，则 3e1+e23 的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 4+22 D. 8
11.已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y2=2px 上一点 A 到焦点 F 的距离为 4 ，若点 M 为抛物线 C 准线上的动点，给出以下命题：
①当 △MAF 为正三角形时， p 的值为2；②存在 M 点，使得 MA−MF=0 ；③若 MF=3FA ，则 p 等于3；④ |OM|+|MA| 的最小值为 213 ，则 p 等于 4 或 12 .
其中正确的是（ ）
A. ①③④ B. ②③ C. ①③ D. ②③④
二、填空题
12.已知 a→=(λ+1,0,2) ， b→=(6,2μ−1,2λ) ，若 a→//b→ ，且 a→ 与 b→ 反向，则 λ+μ= ________．
13.若双曲线 x2a2－y2b2 ＝1(a>0，b>0)与直线y＝ 3 x无交点，则离心率e的取值范围是 ．
14.抛物线 x2=4y 的焦点为 F ，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当 ΔFPM 为等边三角形时，则 ΔFPM 的外接圆的方程为 ．
15.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2−y2b2=1(b>0) 经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为________．
16.已知 F1,F2 是椭圆 x24+y2=1 的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，点P在线段AB上，则 PF1⋅PF2 的取值范围是 ________.
17.已知双曲线 C ： x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的离心率为 52 ，则双曲线 C 的渐近线方程为 .
18.已知 F1 ， F2 分别是双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左，右焦点，过点 F1 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点 P ，直线 F2P 与 y 轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接 QF1 ，若 △PQF1 的内切圆圆心恰好落在以 F1F2 为直径的圆上，则 ∠F1PF2 的大小为________；双曲线的离心率为________．
19.如图，在 ΔABC 中， |AB|=4 ，点 E 为 AB 的中点，点 D 为线段 AB 垂直平分线上的一点，且 |DE|=3 ，四边形 AEDH 为矩形，固定边 AB ，在平面 ABD 内移动顶点 C ，使得 ΔABC 的内切圆始终与 AB 切于线段 BE 的中点，且 C,D 在直线 AB 的同侧，在移动过程中，当 |CA|+|CD| 取得最小值时，点 C 到直线 AH 的距离为 ．
20.已知P是椭圆 x216+y28=1(xy≠0) 上的动点， F1,F2 是椭圆的左右焦点，O是坐标原点，若M是 ∠F1PF2 的角平分线上一点，且 F1M⋅MP=0 ，则 |OM| 的取值范围是________．
三、解答题
21.已知椭圆 C ： x2a2+y2b2=1(a>b>0) 经过 (0,12) ，且椭圆 C 的离心率为 32 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设斜率存在的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点， O 为坐标原点， OP⊥OQ ，且 l 与圆心为 O 的定圆 W 相切.直线 l' ： y=−x+n （ n≠0 ）与圆 W 交于 M,N 两点， G(3,−3) .求 △GMN 面积的最大值.
22.如图，矩形 ABCD 中， AB=2 ， BC=1 ， E 为 CD 的中点，把 ΔADE 沿 AE 翻折，满足 AD⊥BE .
（1）求证：平面 ADE⊥ 平面 ABCE ；
（2）求二面角 E−AC−D 的余弦值.
23.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左，右焦点分别为 F1,F2 ，直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点；当直线 l 经过椭圆 C 的下顶点 A 和右焦点 F2 时， ΔF1PQ 的周长为 42 ，且 l 与椭圆 C 的另一个交点的横坐标为 43
（1）求椭圆C的方程；
（2）点M为 △POQ 内一点，O为坐标原点，满足 MP+MO+MQ=0 ，若点M恰好在圆 O：x2+y2=49 上，求实数m的取值范围.
24.已知圆C过点（4,1），（0,1），（2,3），过点 P(−2,0) 的直线与圆C交于M，N两点．
（1）若圆 C′ ： (x+2)2+(y−4)2=9 ，判断圆C与圆 C′ 的位置关系，并说明理由；
（2）若 PM=513PN ，求 |MN| 的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】A. ω=−1 时函数 f(x)=3sin(ωx−π3) 最小正周期也为 2π ，故错误；
B. 根据逆否命题的定义知 B 正确；
C. 根据正态分布的对称性知 C 正确；
D. 根据特称命题的否定得到 D 正确.
故答案为： A
【分析】函数 f(x)=3sin(ωx−π3) 最小正周期为 2π 得到 ω=±1 ，错误；根据逆否命题，否命题，正态分布的对称性得到 BCD 正确.
2.【答案】 C
【解析】(|PM|−|PN|)max=|PM|max−|PN|min=|PF1|+1−(|PF2|−1)
=|PF1|−|PF2|+2=6+2=8 ，
故答案为：C。
【分析】利用利用双曲线与两圆的位置关系，再利用几何法结合已知条件求出 |PM|−|PN| 的最大值。
3.【答案】 D
【解析】解：当点A在第一象限，点B在第四象限时，
抛物线 C ： y2=2px(p>0) 的焦点 F 为 (p2,0) ，由于直线 AB 过点 F ，
设直线 AB 的方程为 y=k(x−p2) ，
因为 |CM|=|AG|+|OF|2=|AG|+|A1G|2=|AA1|2=|AF|2 ，
所以 ∠AMF=π2 ,同理 ∠BNF=π2 .
因为 |CM|=|CF|,∴∠CMF=∠CFM,∵∠CMF=∠MFO,∴∠MFO=∠CFM ,
同理 ∠OFN=∠NFB ,
所以 ∠MFC+∠NFB=π2,∵∠MFC+∠MAF=π2,∴∠MAF=∠NFB ,
∴ △AFM∽△BFN ，又 S△AFMS△BFN=4 ，
∴ |AF|=2|BF| ，
设直线 AB 的倾斜角为 θ ，
则 kAB=tanθ ，由抛物线的焦点弦推论可得 AF=p1−cosθ ， BF=p1+cosθ ，
所以 1+cosθ1−cosθ=2 ，故 cosθ=13 ，所以 sinθ=223 ，则 tanθ=sinθcosθ=22 ，
当点A在第四象限，点B在第一象限时， tanθ=−22 ，
故答案为：D.
【分析】 由已知求出直线AB的方程，画出图象，再根据三角形相似得出|AF|=2|BF| ， 则由抛物线的性质可得1+cosθ1−cosθ=2 ， 设出直线AB的倾BB'斜角，根据抛物线的焦点弦的性质可得：AF=p1−cosθBF=p1+cosθ ， 由此cosθ=13 ， 由此即可求解.
4.【答案】 A
【解析】以线段 A1A2 为直径的圆的圆心为坐标原点 (0,0) ，半径为 r=a ，圆的方程为 x2+y2=a2 ，
直线 bx−ay+2ab=0 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 d=2aba2+b2=a ，
整理可得 a2=3b2 ，即 a2=3(a2−c2), 即 2a2=3c2 ，
从而 e2=c2a2=23 ，则椭圆的离心率 e=ca=23=63 ，
故答案为：A.
【分析】首先由已知条件得出圆心坐标为原点，半径为r由此得出圆的方程，再根据题意由直线与圆相切的性质即可得出d=2aba2+b2=a ， 整理得到2a2=3c2由离心率的公式代入数值计算出结果即可。
5.【答案】 A
【解析】解：因为双曲线 C:x2m−y2n=1 ，若 n>m>0 ，则 a2=m ， b2=n ， c2=a2+b2=m+n ，所以 e=ca=m+nm>2mm=2 ，故充分性成立；
若 n2nn=2 ，故必要性不成立；
故 n>m>0 是双曲线C的离心率大于 2 的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
6.【答案】 C
【解析】①：因为2既是质数又是偶数，其他偶数都不是质数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；
②：因为1和29都是29的约数，其他正整数都不是29的约数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；
③：因为当三角形一个内角为 60° ，则三个内角成等差数列，所以本命题既是存在性命题又是真命题；
④：因为任何与给定的圆只有一个公共点的直线就是圆的切线，所以本命题是全称命题不是特称命题，不是存在性命题,
因此共有3个命题既是存在性命题又是真命题.
故答案为：C
【分析】根据存在性命题的定义进行判断即可.
7.【答案】 A
【解析】由题意， |PF1|=2|PF2| ， |PF1|−|PF2|=2a ， ∴|PF1|=4a ， |PF2|=2a .
连接 AF1 、 AF2 ，根据双曲线的对称性可得 PF1AF2 为平行四边形，
∵∠AF2B=60∘ ， ∴∠F1PF2=60∘ ，
由余弦定理可得 4c2=16a2+4a2−2⋅4a⋅2a⋅cos60∘ ， ∴c=3a ， ∴e=ca=3 ，
故答案为：A.
【分析】利用定义求出|PF1|=4a ， |PF2|=2a ， 根据双曲线的对称性可得 PF1AF2为平行四边形，从而得出∠AF2B=60°在△F1PF2内使用余弦定理可得出a与c的等量关系，从而得出双曲线的离心率。
8.【答案】 B
【解析】设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ，
{y12=2px1y22=2px2 ，
两式相减得 (y1+y2)(y1−y2)=2p(x1−x2) ，
y1−y2x1−x2=2py1+y2 ，
∵M 为 AB 的中点，
∴y1+y2=4 ，
y1−y2x1−x2=2−03−p2 代入 23−p2=2p4 ，
解得 p=2 或p=4,
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点F的坐标，再利用两点F和M求出直线FM的两点式方程，再利用 直线 MF 交抛物线于 A ， B 两点，联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用中点坐标公式求出中点M的坐标，再利用已知条件点M的坐标，从而求出p的值。
9.【答案】 C
【解析】由得为等腰三角形，底边为因为到直线的距离等于双曲线的实轴长，所以而， 因此双曲线的渐近线方程为， 选C
10.【答案】 D
【解析】由题意得： |PF1|=|F1F2|=2c ，设椭圆方程为 x2a12+y2b12=1(a1>b1>0) ，
双曲线方程为 x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0) ，
又∵ |PF1|+|PF2|=2a1,|PF2|−|PF1|=2a2 .
∴ |PF2|+2c=2a1,|PF2|−2c=2a2 ，∴ a1−a2=2c ，
则 3e1+e23=c3a2+3a1c=9a1a2+c23ca2
=9(2c+a2)a2+c23ca2=6+3a2c+c3a2
=3a2c+c3a2+6≥23a2c⋅c3a2+6=8 ，当且仅当 3a2c=c3a2 ，
即 e2=3 时等号成立.
则 3e1+e23 的最小值为8.
故答案为：D.
【分析】由题意可得 |PF1|=|F1F2|=2c ，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得 3e1+e23 的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.
11.【答案】 A
【解析】对于①，当 △MAF 为正三角形时，如下图所示，
抛物线的准线交 x 轴于 N ，
|AF|=|AM|=|MF|=4 ,由抛物线定义可知 |AF|=|AM| ，则 AM 与准线垂直，
所以 ∠AMF=∠AFM=60∘ ，
则 ∠FMN=30∘ ，所以 |NF|=12|MF| ,
而 |NF|=p ，即 p=12|MF|=2 ，所以①正确；
对于②，假设存在 M 点，使得 MA−MF=0 ，即 MA=MF ，
所以 M 点为 AF 的中点，
由抛物线图像与性质可知， A 为抛物线上一点， F 为焦点，线段 AF 在 y 轴右侧，
点 M 在抛物线 C 准线上，在 y 轴左侧，因而 M 不可能为 AF 的中点，所以②错误；
对于③，若 MF=3FA ，则 |MF|:|MA|=3:4 ，作 AE 垂直于准线并交于 E ，准线交 x 轴于 N ，如下图所示：
由抛物线定义可知 |AE|=|AF|=4 ，
根据相似三角形中对应线段成比例可知 |MF||MA|=|FN||AE| ，即 34=p4 ，
解得 p=3 ，所以③正确；
对于④，作 O 关于准线的对称点 O′ ，连接 AO′ 交准线于 M ，作 AD 垂直于准线并交于 D ，作 AH 垂直于 x 轴并交于 H ，如下图所示：
根据对称性可知，此时 |AO′| 即为 |OM|+|MA| 的最小值，
由抛物线定义可知 |AD|=|AF|=4 ，所以 A 的横坐标为 4−p2 ，
代入抛物线可知 yA2=|AH|2=2p(4−p2) ，
|OM|+|MA|=|AO′| 的最小值为 213 ， |O′H|=|NH|+|O′N|=4+p2 ，
则 |O′H|+|AH|2=|AO′|2 ，即 (4+p2)2+2p(4−p2)=(213)2 ，
化简可得 p2−16p+48=0 ，即 (p−4)(p−12)=0 ，
解得 p=4 或 p=12 ，所以④正确；
综上所述，正确的为①③④.
故答案为：A.
【分析】对于①可知，当 △MAF 为正三角形时 AM 与准线垂直，画出图形结合几何关系即可求得 p 的值；对于②根据向量关系可知 MA=MF ，结合点的位置即可判断；对于③，作出几何图形，根据线段比例关系即可求得 p 的值；对于④，作 O 关于准线的对称点 O′ ，连接 AO′ 交准线于 M ，可知 |AO′| 即为 |OM|+|MA| 的最小值，根据线段几何关系及最小值即可求得 p 的值.
二、填空题
12.【答案】 −52
【解析】解：∵ a→//b→ ，且 a→ 与 b→ 反向，
∴设 b→=ka→ ， k<0 ，
∴ (6,2μ−1,2λ)=k(λ+1,0,2) ，
∴ {k(λ+1)=62μ−1=02k=2λ ，∵ k<0 ，∴解得 {k=−3μ=12λ=−3 ，
∴ λ+μ=−52 .
故答案为： −52 .
【分析】根据题意可设 b→=ka→ ，且 k<0 ，然后可得出 {k(λ+1)=62μ−1=02k=2λ ，根据 k 解出 λ ， μ 即可得出 λ+μ 的值.
13.【答案】 (1,2]
【解析】因为双曲线的渐近线为y＝± ba x ， 要使直线y＝ 3 x与双曲线无交点，则直线y＝ 3 x应在两渐近线之间，所以有 ba ≤ 3 ，即b≤ 3 a ， 所以b2≤3a2 ， c2－a2≤3a2 ， 即c2≤4a2 ， e2≤4，所以1
y＝ 3 x应该在两渐近线之间，所以有 ba ≤ 3 ，即b≤ 3 a ， 再利用双曲线中a,b,c三者的关系式求出a,c的不等关系，再利用双曲线的离心率公式变形，进而求出双曲线离心率e的取值范围。
14.【答案】 (x±433)2+(y−1)2=163
【解析】由抛物线方程可知：准线方程为 y=−1 ， F(0,1)
设 P(x,x24)
∵PM=PF
由抛物线定义可知： PM 垂直于准线，可得： M(x,−1)
又 PM=MF ，可得： x24+1=x2+4
解得： x1=23 ， x2=−23
当 x=−23 时， P(−23,3) ， M(−23,−1)
ΔFPM 为等边三角形 ⇒ΔFPM 外接圆圆心与重心重合
∴ 外接圆圆心坐标为： (−23−23+03,3−1+13) ，即 (−433,1)
外接圆半径为： r=(−433+23)2+(1+1)2=433
同理可得：当 x=23 时，圆心坐标为 (433,1) ，半径为 433
∴ 外接圆方程为： (x±433)2+(y−1)2=163
本题正确结果： (x±433)2+(y−1)2=163
【分析】首先根据抛物线方程得出准线方程，再根据抛物线定义得出点P,M的坐标，从而得出外接圆圆心坐标和外接圆半径，同理得出圆心坐标和半径，进而得出外接圆方程。
15.【答案】 x＝±33
【解析】解： ∵ 双曲线 x2−y2b2=1(b>0) 经过点 (3,4) ,
∴32﹣16b2=1 ,
解得 b2＝2 ,即 b＝2 ．
又 a＝1,∴ c=a2+b2=3 ,故该双曲线的准线方程为： x＝±33 ．
故答案为： x＝±33 ．
【分析】代入 (3,4) 求解得 b＝2 ,再求准线方程即可.
16.【答案】 [−115,1]
【解析】由 F1,F2 是椭圆 x24+y2=1 的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，可得 F1(−3,0),F2(3,0) ， A(−2,0),B(0,1) ，设 P(x,y) ，因为点P在线段AB上，所以， y=12x+1,−2≤x≤0 PF1⋅PF2=(x+3,y)⋅(x−3,y) =x2+y2−3=54x2+x−2=54(x+25)2−115 ∈[−115,1] ，
故答案为 [−115,1] .
【分析】根据椭圆方程，写出点的坐标，表示相应的向量，结合平面向量的数量积运算，转化成二次函数，即可求出相应的取值范围.
17.【答案】 x±2y=0(y=±12x)
【解析】因为双曲线 C ： x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的离心率为 52 ，
所以 e=ca=1+(ba)2=52 ，
解得 ba=12 ，又双曲线的焦点在x轴上，
所以双曲线 C 的渐近线方程为 y=±12x
故答案为： x±2y=0(y=±12x)
【分析】 由双曲线的离心率,利用题设条件，结合离心率的变形公式能求出b，a的值，由此能求出双曲线的渐近线的方程.
18.【答案】 π2；5
【解析】如图所示：不妨取渐近线 y=bax ，易知 b>a ，（否则不能与右支相交）.
则直线 F1P 为： y=−ab(x+c) ，即 ax+by+ac=0 ，
设内切圆圆心为 O1 ，根据对称性知 O1 在 y 轴上，
△PQF1 的内切圆圆心恰好落在以 F1F2 为直径的圆上，故 O1F1⊥O1F2 ，故 O1(0,−c) ，
O1 到直线 PF1 的距离为： d1=|ac−bc|a2+b2=b−a ，
设直线 PF2 ： y=k(x−c) ，即 kx−y−kc=0
O1 到直线 PF2 的距离为： d2=|c−kc|1+k2=d1=b−a ，
化简整理得到 abk2−(a2+b2)k+ab=0 ，解得 k=ba 或 k=ab ，
当 k=ab 时，直线 y=−ab(x+c) 与 y=ab(x−c) 的交点横坐标为 0 ，不满足题意，舍去.
故直线 PF2 ： y=ba(x−c) ，故 PF1⊥PF2 ， ∠F1PF2=π2 ，
联立方程得到 {y=−ab(x+c)y=ba(x−c) ，解得 P(b2−a2c,−2abc) ，
代入双曲线方程得到： (b2−a2)2a2c2−4a2b2b2c2=1 ，化简整理得到： c2=5a2 ，故 e=5 .
故答案为： π2 ； 5 .
【分析】如图所示：不妨取渐近线 y=bax ，易知 b>a ，设内切圆圆心为 O1 ，根据对称性知 O1 在 y 轴上，得到 O1(0,−c) ，根据距离相等得到直线 PF2 ： y=ba(x−c) ，联立方程得到 P(b2−a2c,−2abc) ，代入双曲线方程，计算得到答案
19.【答案】 213−4
【解析】设内切圆分别与AC,BC切于点F,G，BE的中点为H，则 |AF|=|AH|,|BG|=|BH|,|CF|=|CG| ，所以 |CA|−|CB|=|AF|−|BG|=|AH|−|BH|=2 .
∴点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上．
以AB所在的直线为x轴，以ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(2,0)，D(0,3)，易得 2c=4,2a=2 ，故点C在双曲线 x2−y23=1 的右支上．
∵ |CA|+|CD|=2+|CB|+|CD| ,所以当 B,C,D 三点共线时，且C在线段BD上时， |CA|+|CD| 取得最小值．
将直线 BD 的方程 x2+y3=1 与 x2−y23=1 联立消去y整理得 x2+12x−16=0 ，解得 x=−6±213 ．结合图形可得 |CA|+|CD| 取得最小值时点C的横坐标为 213−6 ，即点C到AH的距离为 213−6+2=213−4 ．
答案： 213−4
【分析】根据题意由已知条件结合双曲线的定义即可得出，点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上，由此作出图象，利用数形结合法即可得出当 B,C,D 三点共线时，且C在线段BD上时， |CA|+|CD| 取得最小值，联立直线与双曲线的方程求的取得最小值时点C的横坐标，由此即可得出答案。
20.【答案】 (0,22)
【解析】由题意,设 P 是第二象限的点,作出图形(见下图),
设 PF2 与直线 F1M 交于点 N ,
因为 F1M⋅MP=0 ,所以 F1M⊥MP ,
又M是 ∠F1PF2 的角平分线上一点，
则 |PF1|=|PN| , |F1M|=|MN| ,
故 OM 是 △F1F2N 的中位线,
则 |OM|=12|F2N|=12(|PF2|−|PN|)=12(|PF2|−|PF1|) ，
P 是椭圆上的动点，则 |OM|=12||PF2|−|PF1|| ,
在椭圆 x216+y28=1 中, a=4,b=c=22 ,
又|PF2|+|PF1|=8 , 4−22≤|PF2|≤4+22 ,
则 |OM|=12||PF2|−(8−|PF2|)|=12|2|PF2|−8|=||PF2|−4| ,
则 −22≤|PF2|−4≤22 , 0≤||PF2|−4|≤22 ,
又因为椭圆中 xy≠0 ,所以 {|PF2|≠4|PF2|≠4−22|PF2|≠4+22 ,
故 0<||PF2|−4|<22 ,即 0<|OM|<22 ，
故答案为: (0,22) .
【分析】设 P 是第二象限的点并作出图形,设 PF2 与直线 F1M 交于点 N ,易得 |OM|=12(|PF2|−|PF1|) ,再结合椭圆中 |PF2|+|PF1|=2a , a−c≤|PF2|≤a+c ,可得 |OM|=||PF2|−a| ,由椭圆中 xy≠0 ,即可求出 |OM| 的取值范围.
三、解答题
21.【答案】 （1）解：因为 C 经过点 (0,12) ，所以 b=12 ，
又椭圆 C 的离心率为 1−b2a2=32 ，所以 a2=1
所以椭圆 C 的方程为 x2+4y2=1 .
（2）解：设设 P(x1,y1),Q(x2,y2) ， l 的方程为 y=kx+m
由 {x2+4y2=1y=kx+m ，得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2−1=0 ，
所以 x1+x2=−18km1+4k2,x1x2=−14m2−11+4k2,Δ=4(−4m2+4k2+1)>0
因为 OP⊥OQ ，
所以 OP⋅OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)(4m2−1)−8k2m2+m2(1+4k2)1+4k2=0
整理得 5m2=k2+1 ，
所以 O 到 l 的距离为 d=|m|1+k2=|m|5m2=15 ，
所以直线 l 恒与定圆 x2+y2=15 相切，即圆 W 的方程为 x2+y2=15
又 O 到 l' 的距离为 d'=|n|2<15 ，所以 n2<25 ，且 n≠0 ，所以 |MN|=215−n22 ，
因为 G 到 l' 的距离为 |n|2 ，
所以 S△GMN=12×215−n22⋅|n|2
=(15−n22)×n22≤15−n22+n222=110 ，当且仅当 15−n22=n22 即 n2=15 时取“=”
所以 △GMN 面积的最大值为 110 .
【解析】【分析】(1)首项根据题意把点的坐标代入到椭圆的方程即可求出b的值，进而求出椭圆的离心率以及a的值从而得出椭圆的方程。
(2)根据题意设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程消去y的关于x的一元二次方程，结合韦达定理即可求出关于m和k的两根之和与两根之积的代数式，再由向量垂直的坐标公式把上式代入即可得到关于m和k的第二个代数式求解出5m2=k2+1 ， 然后由点到直线的距离公式以及直线与圆相切的性质得到 O 到 l' 的距离为 d'=|n|2<15以及 G 到 l' 的距离为 |n|2 ，结合三角形的面积公式以及基本不等式即可求出结果。
22.【答案】 （1）证明：由已知可得 AE=BE=2 ， AB=2 ，在 △ABE 中，满足 AE2+BE2=AB2
∴ BE⊥AE
∵ AD⊥BE ，且 AD∩AE=A ， AD 、 AE⊂ 平面 ADE ，∴ BE⊥ 平面 DAE
又 BE⊂ 平面 ABCE ，∴平面 ADE⊥ 平面 ABCE .
（2）解：法一：(几何法)如图所示，连接 AC ，取 AE 中点 O ，连接 DO ，
∴ DO⊥AE ，过 O 作 OQ⊥AC 交 AC 于 Q 点，连接 OQ 、 DQ ，
∵平面 ADE⊥ 平面 ABCE ，
AE= 平面 ADE∩ 平面 ABCE ，
∴ DO⊥ 平面 ABCE ，∴ DO⊥AC ，又 DO∩OQ=O ，
∴ AC⊥ 平面 DOQ ，
∴ AC⊥DQ ，
所以 ∠DQO 即为所求的二面角的平面角，
由 cos∠EAC=(2)2+(5)2−122×2×5=31010 ，
∴ DO=22 ， OQ=|AO|sin∠EAC=22×1010=510 ，
又 tan∠DQO=DOOQ=22510=10 ，
∴ cos∠DQO=1111 ∴二面角 E−AC−D 的余弦值为 1111 .
法二：(向量法)取 AE 的中点 O ，连接 DO
∵ AD=DE ∴ DO⊥AE ∵平面 ADE⊥ 平面 ABCE ，
AE= 平面 ADE∩ 平面 ABCE ，
∴ DO⊥ 平面 ABCE ，
如图所示，以 E 为坐标原点，
以 EA ， EB 分别为 x ， y 轴，过 E 作 DO 的平行线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则
A(2,0,0) ， C(−22,22,0) ， D(22,0,22)
∴ AC=(−322,22,0) ， AD=(−22,0,22)
设 m=(x,y,z) 为平面 DAC 的法向量，有 {m⋅AC=0m⋅AD=0⇒{−322x+22y=0−22x+22z=0
不妨令 x=1 ，则 y=3 ， z=1 ，
∴ m=(1,3,1) ，
而平面 AEC 的其中一个法向量显然为 n=(0,0,1)
cos〈m,n〉=m⋅n|m||n|=1111
二面角 E−AC−D 的余弦值为 1111 .
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可证得 BE⊥AE ，得 BE⊥ 平面 DAE ， 根据面面垂直的判定定理可得平面 ADE⊥ 平面 ABCE ；
（2） 法一：(几何法)如图所示，连接 AC ， 取 AE 中点 O ， 连接 DO ， 得 DO⊥AE ， ∠DQO 即为所求的二面角的平面角， cos∠EAC=(2)2+(5)2−122×2×5=31010 ；
法二：(向量法) 以 EA ， EB 分别为 x ， y 轴，过 E 作 DO 的平行线为 z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 DAC 的法向量和平面 AEC 的其中一个法向量，利用向量法可求出二面角 E−AC−D 的余弦值.
23.【答案】 （1）解：由题意知 4a=42 .
∴a=2 ，
直线 AF2 的方程为 y=bc(x−c)
∵直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点的横坐标为 43
∴{y=bc(43−c)(43)22+y2b2=1
解得 c=1 或 c=2 (舍去)
∴b2=1 ，
∴椭圆 C 的方程为 x22+y2=1
（2）解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2)
∵MP+MO+MQ=0 .
∴点 M 为 △POQ 的重心，
∴M(x1+x23,y1+y23)
∵点 M 在圆 O：x2+y2=49 上，
∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=4 (∗)
由 {y=kx+mx22+y2=1 得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0
∴x1+x2=−4km1+2k2, x1x2=2m2−21+2k2 ，
代入方程 (∗) ，得
(x1+x2)2+(y1+y2)2=(−4km1+2k2)2+[k(−4km1+2k2)+2m]2=4 ，
即 16(1+k2)k2m2(1+2k2)2−16k2m21+2k2+4m2=4
由 Δ>0 得 1+2k2>m2
∴1+2k2>(1+2k2)24k2+1
解得 k≠0 .
∴m2=(1+2k2)24k2+1=1+4k24k2+1=1+44k2+1k2>1
∴m>1 或 m<−1
【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为 4a=42 ，从而求出 a=2 ，写出直线 AF2 的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为 43 ，求出 c 和 b2 ，从而写出椭圆的方程；
（2）设出P、Q两点坐标，由 MP→+MO→+MQ→=0 可知点 M 为 △POQ 的重心，根据重心坐标公式和韦达定理，利用 Δ>0 求得 k 的范围，即可求出实数 m 的取值范围.
24.【答案】 （1）解：设圆C： x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，则 {17+4D+E+F=0,1+E+F=0,13+2D+3E+F=0, 解得 D=−4 ， E=−2 ， F=1 ，
故圆C： x2+y2−4x−2y+1=0 ，即 (x−2)2+(y−1)2=4 ，
即圆心 C(2,1) ，半径 r=2 ，
又圆 C′ ： (x+2)2+(y−4)2=9 的圆心 C′(−2,4) ，半径为 3 ，
而 |CC′|=42+32=5=3+2 ，故圆C 与圆 C′ 外切
（2）解：当直线 MN 与x轴重合时，令 y=0 ，得 xM=2−3 ， xN=2+3 ，则可得 PM=4−34+3PN ，不符合题意，
设直线 MN ： x+2=ty ，将 x=ty−2 代入圆C的方程可得 (t2+1)y2−(8t+2)y+13=0 ，
设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ，则 y1+y2=8t+2t2+1 ， y1y2=13t2+1 ，
因为 PM=513PN ，且 P(−2,0) ，故 y2=135y1 ，解得 t=2 或 t=38 ，
圆心 C(2,1) 到直线 MN 的距离 d=|2+2−t|1+t2=25 ，故 |MN|=2r2−d2=24−45=855
【解析】【分析】（1）设圆C： x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，代入点的坐标得到方程组即可求出圆C的方程，再求出两圆圆心距即可判断两圆的位置关系；（2）当直线 MN 与 x 重合时，不符题意；设直线 MN ： x+2=ty ，将 x=ty−2 代入圆C的方程可得 (t2+1)y2−(8t+2)y+13=0 ，设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ，由 PM=513PN ，且 P(−2,0) ，故 y2=135y1 ，即可求出 t ，再利用垂径定理、勾股定理计算可得。
人教新课标A版选修2-1
综合测试
一、单选题
1.下列关于命题的说法错误的是（ ）．
A. “ ω=1 ”是“函数 f(x)=3sin(ωx−π3) 最小正周期为 2π ”的充要条件
B. 命题“若 x2−3x+2=0 ，则 x=2 ”的逆否命题为“若 x≠2 ，则 x2−3x+2≠0 ”
C. 命题“若随机变量 X∼N(1,4) ， P(X≤0)=m ，则 P(0
2.P是双曲线 x29－y216＝1 的右支上一点， M 、 N 分别是圆 (x+5)2+y2=1 和(x−5)2+y2=1 上的点，则 |PM|−|PN| 的最大值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3.过抛物线 C ： y2=2px(p>0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点，线段 AF ， BF 的中点在 y 轴上的射影分别为点 M ， N ，若 △AFM 与 △BFN 的面积之比为4，则直线 AB 的斜率为（ ）
A. ±1 B. ±2 C. ±2 D. ±22
4.已知椭圆C： x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线 bx−ay+2ab=0 相切，则C的离心率为（ ）
A. 63 B. 33 C. 23 D. 13
5.已知双曲线 C:x2m−y2n=1 ，则 n>m>0 是双曲线C的离心率大于 2 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.给出下列四个命题：①有的质数是偶数；②存在正整数 x ，使得 x 为 29 的约数；③有的三角形三个内角成等差数列；④与给定的圆只有一个公共点的直线是圆的切线.其中既是存在性命题又是真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知双曲线 x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0) 的左､右焦点分别为 F1, F2 ， O 为坐标原点，点 P 是其右支上第一象限内的一点，直线 PO, PF2 分别交该双曲线左､右支于另两点 A,B ，若 |PF1|=2|PF2| ，且 ∠AF2B=60° ，则该双曲线的离心率是（ ）
A. 3 B. 2 C. 233 D. 52
8.已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F ， M(3,2) ，直线 MF 交抛物线于 A ， B 两点，且 M 为 AB 的中点，则p的值为（ ）
A. 3 B. 2或4 C. 4 D. 2
9.设F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ， 满足PF2=F1F2 ， 且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ( )
A. 3x±4y=0 B. 3x±5y=0
C. 4x±3y=0 D. 5x±4y=0
10.已知 F1,F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2 ， |PF1|=|F1F2| ，则 3e1+e23 的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 4+22 D. 8
11.已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y2=2px 上一点 A 到焦点 F 的距离为 4 ，若点 M 为抛物线 C 准线上的动点，给出以下命题：
①当 △MAF 为正三角形时， p 的值为2；②存在 M 点，使得 MA−MF=0 ；③若 MF=3FA ，则 p 等于3；④ |OM|+|MA| 的最小值为 213 ，则 p 等于 4 或 12 .
其中正确的是（ ）
A. ①③④ B. ②③ C. ①③ D. ②③④
二、填空题
12.已知 a→=(λ+1,0,2) ， b→=(6,2μ−1,2λ) ，若 a→//b→ ，且 a→ 与 b→ 反向，则 λ+μ= ________．
13.若双曲线 x2a2－y2b2 ＝1(a>0，b>0)与直线y＝ 3 x无交点，则离心率e的取值范围是 ．
14.抛物线 x2=4y 的焦点为 F ，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当 ΔFPM 为等边三角形时，则 ΔFPM 的外接圆的方程为 ．
15.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2−y2b2=1(b>0) 经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为________．
16.已知 F1,F2 是椭圆 x24+y2=1 的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，点P在线段AB上，则 PF1⋅PF2 的取值范围是 ________.
17.已知双曲线 C ： x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的离心率为 52 ，则双曲线 C 的渐近线方程为 .
18.已知 F1 ， F2 分别是双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左，右焦点，过点 F1 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点 P ，直线 F2P 与 y 轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接 QF1 ，若 △PQF1 的内切圆圆心恰好落在以 F1F2 为直径的圆上，则 ∠F1PF2 的大小为________；双曲线的离心率为________．
19.如图，在 ΔABC 中， |AB|=4 ，点 E 为 AB 的中点，点 D 为线段 AB 垂直平分线上的一点，且 |DE|=3 ，四边形 AEDH 为矩形，固定边 AB ，在平面 ABD 内移动顶点 C ，使得 ΔABC 的内切圆始终与 AB 切于线段 BE 的中点，且 C,D 在直线 AB 的同侧，在移动过程中，当 |CA|+|CD| 取得最小值时，点 C 到直线 AH 的距离为 ．
20.已知P是椭圆 x216+y28=1(xy≠0) 上的动点， F1,F2 是椭圆的左右焦点，O是坐标原点，若M是 ∠F1PF2 的角平分线上一点，且 F1M⋅MP=0 ，则 |OM| 的取值范围是________．
三、解答题
21.已知椭圆 C ： x2a2+y2b2=1(a>b>0) 经过 (0,12) ，且椭圆 C 的离心率为 32 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设斜率存在的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点， O 为坐标原点， OP⊥OQ ，且 l 与圆心为 O 的定圆 W 相切.直线 l' ： y=−x+n （ n≠0 ）与圆 W 交于 M,N 两点， G(3,−3) .求 △GMN 面积的最大值.
22.如图，矩形 ABCD 中， AB=2 ， BC=1 ， E 为 CD 的中点，把 ΔADE 沿 AE 翻折，满足 AD⊥BE .
（1）求证：平面 ADE⊥ 平面 ABCE ；
（2）求二面角 E−AC−D 的余弦值.
23.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左，右焦点分别为 F1,F2 ，直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点；当直线 l 经过椭圆 C 的下顶点 A 和右焦点 F2 时， ΔF1PQ 的周长为 42 ，且 l 与椭圆 C 的另一个交点的横坐标为 43
（1）求椭圆C的方程；
（2）点M为 △POQ 内一点，O为坐标原点，满足 MP+MO+MQ=0 ，若点M恰好在圆 O：x2+y2=49 上，求实数m的取值范围.
24.已知圆C过点（4,1），（0,1），（2,3），过点 P(−2,0) 的直线与圆C交于M，N两点．
（1）若圆 C′ ： (x+2)2+(y−4)2=9 ，判断圆C与圆 C′ 的位置关系，并说明理由；
（2）若 PM=513PN ，求 |MN| 的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】A. ω=−1 时函数 f(x)=3sin(ωx−π3) 最小正周期也为 2π ，故错误；
B. 根据逆否命题的定义知 B 正确；
C. 根据正态分布的对称性知 C 正确；
D. 根据特称命题的否定得到 D 正确.
故答案为： A
【分析】函数 f(x)=3sin(ωx−π3) 最小正周期为 2π 得到 ω=±1 ，错误；根据逆否命题，否命题，正态分布的对称性得到 BCD 正确.
2.【答案】 C
【解析】(|PM|−|PN|)max=|PM|max−|PN|min=|PF1|+1−(|PF2|−1)
=|PF1|−|PF2|+2=6+2=8 ，
故答案为：C。
【分析】利用利用双曲线与两圆的位置关系，再利用几何法结合已知条件求出 |PM|−|PN| 的最大值。
3.【答案】 D
【解析】解：当点A在第一象限，点B在第四象限时，
抛物线 C ： y2=2px(p>0) 的焦点 F 为 (p2,0) ，由于直线 AB 过点 F ，
设直线 AB 的方程为 y=k(x−p2) ，
因为 |CM|=|AG|+|OF|2=|AG|+|A1G|2=|AA1|2=|AF|2 ，
所以 ∠AMF=π2 ,同理 ∠BNF=π2 .
因为 |CM|=|CF|,∴∠CMF=∠CFM,∵∠CMF=∠MFO,∴∠MFO=∠CFM ,
同理 ∠OFN=∠NFB ,
所以 ∠MFC+∠NFB=π2,∵∠MFC+∠MAF=π2,∴∠MAF=∠NFB ,
∴ △AFM∽△BFN ，又 S△AFMS△BFN=4 ，
∴ |AF|=2|BF| ，
设直线 AB 的倾斜角为 θ ，
则 kAB=tanθ ，由抛物线的焦点弦推论可得 AF=p1−cosθ ， BF=p1+cosθ ，
所以 1+cosθ1−cosθ=2 ，故 cosθ=13 ，所以 sinθ=223 ，则 tanθ=sinθcosθ=22 ，
当点A在第四象限，点B在第一象限时， tanθ=−22 ，
故答案为：D.
【分析】 由已知求出直线AB的方程，画出图象，再根据三角形相似得出|AF|=2|BF| ， 则由抛物线的性质可得1+cosθ1−cosθ=2 ， 设出直线AB的倾BB'斜角，根据抛物线的焦点弦的性质可得：AF=p1−cosθBF=p1+cosθ ， 由此cosθ=13 ， 由此即可求解.
4.【答案】 A
【解析】以线段 A1A2 为直径的圆的圆心为坐标原点 (0,0) ，半径为 r=a ，圆的方程为 x2+y2=a2 ，
直线 bx−ay+2ab=0 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 d=2aba2+b2=a ，
整理可得 a2=3b2 ，即 a2=3(a2−c2), 即 2a2=3c2 ，
从而 e2=c2a2=23 ，则椭圆的离心率 e=ca=23=63 ，
故答案为：A.
【分析】首先由已知条件得出圆心坐标为原点，半径为r由此得出圆的方程，再根据题意由直线与圆相切的性质即可得出d=2aba2+b2=a ， 整理得到2a2=3c2由离心率的公式代入数值计算出结果即可。
5.【答案】 A
【解析】解：因为双曲线 C:x2m−y2n=1 ，若 n>m>0 ，则 a2=m ， b2=n ， c2=a2+b2=m+n ，所以 e=ca=m+nm>2mm=2 ，故充分性成立；
若 n
故 n>m>0 是双曲线C的离心率大于 2 的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
6.【答案】 C
【解析】①：因为2既是质数又是偶数，其他偶数都不是质数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；
②：因为1和29都是29的约数，其他正整数都不是29的约数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；
③：因为当三角形一个内角为 60° ，则三个内角成等差数列，所以本命题既是存在性命题又是真命题；
④：因为任何与给定的圆只有一个公共点的直线就是圆的切线，所以本命题是全称命题不是特称命题，不是存在性命题,
因此共有3个命题既是存在性命题又是真命题.
故答案为：C
【分析】根据存在性命题的定义进行判断即可.
7.【答案】 A
【解析】由题意， |PF1|=2|PF2| ， |PF1|−|PF2|=2a ， ∴|PF1|=4a ， |PF2|=2a .
连接 AF1 、 AF2 ，根据双曲线的对称性可得 PF1AF2 为平行四边形，
∵∠AF2B=60∘ ， ∴∠F1PF2=60∘ ，
由余弦定理可得 4c2=16a2+4a2−2⋅4a⋅2a⋅cos60∘ ， ∴c=3a ， ∴e=ca=3 ，
故答案为：A.
【分析】利用定义求出|PF1|=4a ， |PF2|=2a ， 根据双曲线的对称性可得 PF1AF2为平行四边形，从而得出∠AF2B=60°在△F1PF2内使用余弦定理可得出a与c的等量关系，从而得出双曲线的离心率。
8.【答案】 B
【解析】设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ，
{y12=2px1y22=2px2 ，
两式相减得 (y1+y2)(y1−y2)=2p(x1−x2) ，
y1−y2x1−x2=2py1+y2 ，
∵M 为 AB 的中点，
∴y1+y2=4 ，
y1−y2x1−x2=2−03−p2 代入 23−p2=2p4 ，
解得 p=2 或p=4,
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点F的坐标，再利用两点F和M求出直线FM的两点式方程，再利用 直线 MF 交抛物线于 A ， B 两点，联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用中点坐标公式求出中点M的坐标，再利用已知条件点M的坐标，从而求出p的值。
9.【答案】 C
【解析】由得为等腰三角形，底边为因为到直线的距离等于双曲线的实轴长，所以而， 因此双曲线的渐近线方程为， 选C
10.【答案】 D
【解析】由题意得： |PF1|=|F1F2|=2c ，设椭圆方程为 x2a12+y2b12=1(a1>b1>0) ，
双曲线方程为 x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0) ，
又∵ |PF1|+|PF2|=2a1,|PF2|−|PF1|=2a2 .
∴ |PF2|+2c=2a1,|PF2|−2c=2a2 ，∴ a1−a2=2c ，
则 3e1+e23=c3a2+3a1c=9a1a2+c23ca2
=9(2c+a2)a2+c23ca2=6+3a2c+c3a2
=3a2c+c3a2+6≥23a2c⋅c3a2+6=8 ，当且仅当 3a2c=c3a2 ，
即 e2=3 时等号成立.
则 3e1+e23 的最小值为8.
故答案为：D.
【分析】由题意可得 |PF1|=|F1F2|=2c ，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得 3e1+e23 的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.
11.【答案】 A
【解析】对于①，当 △MAF 为正三角形时，如下图所示，
抛物线的准线交 x 轴于 N ，
|AF|=|AM|=|MF|=4 ,由抛物线定义可知 |AF|=|AM| ，则 AM 与准线垂直，
所以 ∠AMF=∠AFM=60∘ ，
则 ∠FMN=30∘ ，所以 |NF|=12|MF| ,
而 |NF|=p ，即 p=12|MF|=2 ，所以①正确；
对于②，假设存在 M 点，使得 MA−MF=0 ，即 MA=MF ，
所以 M 点为 AF 的中点，
由抛物线图像与性质可知， A 为抛物线上一点， F 为焦点，线段 AF 在 y 轴右侧，
点 M 在抛物线 C 准线上，在 y 轴左侧，因而 M 不可能为 AF 的中点，所以②错误；
对于③，若 MF=3FA ，则 |MF|:|MA|=3:4 ，作 AE 垂直于准线并交于 E ，准线交 x 轴于 N ，如下图所示：
由抛物线定义可知 |AE|=|AF|=4 ，
根据相似三角形中对应线段成比例可知 |MF||MA|=|FN||AE| ，即 34=p4 ，
解得 p=3 ，所以③正确；
对于④，作 O 关于准线的对称点 O′ ，连接 AO′ 交准线于 M ，作 AD 垂直于准线并交于 D ，作 AH 垂直于 x 轴并交于 H ，如下图所示：
根据对称性可知，此时 |AO′| 即为 |OM|+|MA| 的最小值，
由抛物线定义可知 |AD|=|AF|=4 ，所以 A 的横坐标为 4−p2 ，
代入抛物线可知 yA2=|AH|2=2p(4−p2) ，
|OM|+|MA|=|AO′| 的最小值为 213 ， |O′H|=|NH|+|O′N|=4+p2 ，
则 |O′H|+|AH|2=|AO′|2 ，即 (4+p2)2+2p(4−p2)=(213)2 ，
化简可得 p2−16p+48=0 ，即 (p−4)(p−12)=0 ，
解得 p=4 或 p=12 ，所以④正确；
综上所述，正确的为①③④.
故答案为：A.
【分析】对于①可知，当 △MAF 为正三角形时 AM 与准线垂直，画出图形结合几何关系即可求得 p 的值；对于②根据向量关系可知 MA=MF ，结合点的位置即可判断；对于③，作出几何图形，根据线段比例关系即可求得 p 的值；对于④，作 O 关于准线的对称点 O′ ，连接 AO′ 交准线于 M ，可知 |AO′| 即为 |OM|+|MA| 的最小值，根据线段几何关系及最小值即可求得 p 的值.
二、填空题
12.【答案】 −52
【解析】解：∵ a→//b→ ，且 a→ 与 b→ 反向，
∴设 b→=ka→ ， k<0 ，
∴ (6,2μ−1,2λ)=k(λ+1,0,2) ，
∴ {k(λ+1)=62μ−1=02k=2λ ，∵ k<0 ，∴解得 {k=−3μ=12λ=−3 ，
∴ λ+μ=−52 .
故答案为： −52 .
【分析】根据题意可设 b→=ka→ ，且 k<0 ，然后可得出 {k(λ+1)=62μ−1=02k=2λ ，根据 k 解出 λ ， μ 即可得出 λ+μ 的值.
13.【答案】 (1,2]
【解析】因为双曲线的渐近线为y＝± ba x ， 要使直线y＝ 3 x与双曲线无交点，则直线y＝ 3 x应在两渐近线之间，所以有 ba ≤ 3 ，即b≤ 3 a ， 所以b2≤3a2 ， c2－a2≤3a2 ， 即c2≤4a2 ， e2≤4，所以1
y＝ 3 x应该在两渐近线之间，所以有 ba ≤ 3 ，即b≤ 3 a ， 再利用双曲线中a,b,c三者的关系式求出a,c的不等关系，再利用双曲线的离心率公式变形，进而求出双曲线离心率e的取值范围。
14.【答案】 (x±433)2+(y−1)2=163
【解析】由抛物线方程可知：准线方程为 y=−1 ， F(0,1)
设 P(x,x24)
∵PM=PF
由抛物线定义可知： PM 垂直于准线，可得： M(x,−1)
又 PM=MF ，可得： x24+1=x2+4
解得： x1=23 ， x2=−23
当 x=−23 时， P(−23,3) ， M(−23,−1)
ΔFPM 为等边三角形 ⇒ΔFPM 外接圆圆心与重心重合
∴ 外接圆圆心坐标为： (−23−23+03,3−1+13) ，即 (−433,1)
外接圆半径为： r=(−433+23)2+(1+1)2=433
同理可得：当 x=23 时，圆心坐标为 (433,1) ，半径为 433
∴ 外接圆方程为： (x±433)2+(y−1)2=163
本题正确结果： (x±433)2+(y−1)2=163
【分析】首先根据抛物线方程得出准线方程，再根据抛物线定义得出点P,M的坐标，从而得出外接圆圆心坐标和外接圆半径，同理得出圆心坐标和半径，进而得出外接圆方程。
15.【答案】 x＝±33
【解析】解： ∵ 双曲线 x2−y2b2=1(b>0) 经过点 (3,4) ,
∴32﹣16b2=1 ,
解得 b2＝2 ,即 b＝2 ．
又 a＝1,∴ c=a2+b2=3 ,故该双曲线的准线方程为： x＝±33 ．
故答案为： x＝±33 ．
【分析】代入 (3,4) 求解得 b＝2 ,再求准线方程即可.
16.【答案】 [−115,1]
【解析】由 F1,F2 是椭圆 x24+y2=1 的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，可得 F1(−3,0),F2(3,0) ， A(−2,0),B(0,1) ，设 P(x,y) ，因为点P在线段AB上，所以， y=12x+1,−2≤x≤0 PF1⋅PF2=(x+3,y)⋅(x−3,y) =x2+y2−3=54x2+x−2=54(x+25)2−115 ∈[−115,1] ，
故答案为 [−115,1] .
【分析】根据椭圆方程，写出点的坐标，表示相应的向量，结合平面向量的数量积运算，转化成二次函数，即可求出相应的取值范围.
17.【答案】 x±2y=0(y=±12x)
【解析】因为双曲线 C ： x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的离心率为 52 ，
所以 e=ca=1+(ba)2=52 ，
解得 ba=12 ，又双曲线的焦点在x轴上，
所以双曲线 C 的渐近线方程为 y=±12x
故答案为： x±2y=0(y=±12x)
【分析】 由双曲线的离心率,利用题设条件，结合离心率的变形公式能求出b，a的值，由此能求出双曲线的渐近线的方程.
18.【答案】 π2；5
【解析】如图所示：不妨取渐近线 y=bax ，易知 b>a ，（否则不能与右支相交）.
则直线 F1P 为： y=−ab(x+c) ，即 ax+by+ac=0 ，
设内切圆圆心为 O1 ，根据对称性知 O1 在 y 轴上，
△PQF1 的内切圆圆心恰好落在以 F1F2 为直径的圆上，故 O1F1⊥O1F2 ，故 O1(0,−c) ，
O1 到直线 PF1 的距离为： d1=|ac−bc|a2+b2=b−a ，
设直线 PF2 ： y=k(x−c) ，即 kx−y−kc=0
O1 到直线 PF2 的距离为： d2=|c−kc|1+k2=d1=b−a ，
化简整理得到 abk2−(a2+b2)k+ab=0 ，解得 k=ba 或 k=ab ，
当 k=ab 时，直线 y=−ab(x+c) 与 y=ab(x−c) 的交点横坐标为 0 ，不满足题意，舍去.
故直线 PF2 ： y=ba(x−c) ，故 PF1⊥PF2 ， ∠F1PF2=π2 ，
联立方程得到 {y=−ab(x+c)y=ba(x−c) ，解得 P(b2−a2c,−2abc) ，
代入双曲线方程得到： (b2−a2)2a2c2−4a2b2b2c2=1 ，化简整理得到： c2=5a2 ，故 e=5 .
故答案为： π2 ； 5 .
【分析】如图所示：不妨取渐近线 y=bax ，易知 b>a ，设内切圆圆心为 O1 ，根据对称性知 O1 在 y 轴上，得到 O1(0,−c) ，根据距离相等得到直线 PF2 ： y=ba(x−c) ，联立方程得到 P(b2−a2c,−2abc) ，代入双曲线方程，计算得到答案
19.【答案】 213−4
【解析】设内切圆分别与AC,BC切于点F,G，BE的中点为H，则 |AF|=|AH|,|BG|=|BH|,|CF|=|CG| ，所以 |CA|−|CB|=|AF|−|BG|=|AH|−|BH|=2 .
∴点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上．
以AB所在的直线为x轴，以ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(2,0)，D(0,3)，易得 2c=4,2a=2 ，故点C在双曲线 x2−y23=1 的右支上．
∵ |CA|+|CD|=2+|CB|+|CD| ,所以当 B,C,D 三点共线时，且C在线段BD上时， |CA|+|CD| 取得最小值．
将直线 BD 的方程 x2+y3=1 与 x2−y23=1 联立消去y整理得 x2+12x−16=0 ，解得 x=−6±213 ．结合图形可得 |CA|+|CD| 取得最小值时点C的横坐标为 213−6 ，即点C到AH的距离为 213−6+2=213−4 ．
答案： 213−4
【分析】根据题意由已知条件结合双曲线的定义即可得出，点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上，由此作出图象，利用数形结合法即可得出当 B,C,D 三点共线时，且C在线段BD上时， |CA|+|CD| 取得最小值，联立直线与双曲线的方程求的取得最小值时点C的横坐标，由此即可得出答案。
20.【答案】 (0,22)
【解析】由题意,设 P 是第二象限的点,作出图形(见下图),
设 PF2 与直线 F1M 交于点 N ,
因为 F1M⋅MP=0 ,所以 F1M⊥MP ,
又M是 ∠F1PF2 的角平分线上一点，
则 |PF1|=|PN| , |F1M|=|MN| ,
故 OM 是 △F1F2N 的中位线,
则 |OM|=12|F2N|=12(|PF2|−|PN|)=12(|PF2|−|PF1|) ，
P 是椭圆上的动点，则 |OM|=12||PF2|−|PF1|| ,
在椭圆 x216+y28=1 中, a=4,b=c=22 ,
又|PF2|+|PF1|=8 , 4−22≤|PF2|≤4+22 ,
则 |OM|=12||PF2|−(8−|PF2|)|=12|2|PF2|−8|=||PF2|−4| ,
则 −22≤|PF2|−4≤22 , 0≤||PF2|−4|≤22 ,
又因为椭圆中 xy≠0 ,所以 {|PF2|≠4|PF2|≠4−22|PF2|≠4+22 ,
故 0<||PF2|−4|<22 ,即 0<|OM|<22 ，
故答案为: (0,22) .
【分析】设 P 是第二象限的点并作出图形,设 PF2 与直线 F1M 交于点 N ,易得 |OM|=12(|PF2|−|PF1|) ,再结合椭圆中 |PF2|+|PF1|=2a , a−c≤|PF2|≤a+c ,可得 |OM|=||PF2|−a| ,由椭圆中 xy≠0 ,即可求出 |OM| 的取值范围.
三、解答题
21.【答案】 （1）解：因为 C 经过点 (0,12) ，所以 b=12 ，
又椭圆 C 的离心率为 1−b2a2=32 ，所以 a2=1
所以椭圆 C 的方程为 x2+4y2=1 .
（2）解：设设 P(x1,y1),Q(x2,y2) ， l 的方程为 y=kx+m
由 {x2+4y2=1y=kx+m ，得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2−1=0 ，
所以 x1+x2=−18km1+4k2,x1x2=−14m2−11+4k2,Δ=4(−4m2+4k2+1)>0
因为 OP⊥OQ ，
所以 OP⋅OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)(4m2−1)−8k2m2+m2(1+4k2)1+4k2=0
整理得 5m2=k2+1 ，
所以 O 到 l 的距离为 d=|m|1+k2=|m|5m2=15 ，
所以直线 l 恒与定圆 x2+y2=15 相切，即圆 W 的方程为 x2+y2=15
又 O 到 l' 的距离为 d'=|n|2<15 ，所以 n2<25 ，且 n≠0 ，所以 |MN|=215−n22 ，
因为 G 到 l' 的距离为 |n|2 ，
所以 S△GMN=12×215−n22⋅|n|2
=(15−n22)×n22≤15−n22+n222=110 ，当且仅当 15−n22=n22 即 n2=15 时取“=”
所以 △GMN 面积的最大值为 110 .
【解析】【分析】(1)首项根据题意把点的坐标代入到椭圆的方程即可求出b的值，进而求出椭圆的离心率以及a的值从而得出椭圆的方程。
(2)根据题意设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程消去y的关于x的一元二次方程，结合韦达定理即可求出关于m和k的两根之和与两根之积的代数式，再由向量垂直的坐标公式把上式代入即可得到关于m和k的第二个代数式求解出5m2=k2+1 ， 然后由点到直线的距离公式以及直线与圆相切的性质得到 O 到 l' 的距离为 d'=|n|2<15以及 G 到 l' 的距离为 |n|2 ，结合三角形的面积公式以及基本不等式即可求出结果。
22.【答案】 （1）证明：由已知可得 AE=BE=2 ， AB=2 ，在 △ABE 中，满足 AE2+BE2=AB2
∴ BE⊥AE
∵ AD⊥BE ，且 AD∩AE=A ， AD 、 AE⊂ 平面 ADE ，∴ BE⊥ 平面 DAE
又 BE⊂ 平面 ABCE ，∴平面 ADE⊥ 平面 ABCE .
（2）解：法一：(几何法)如图所示，连接 AC ，取 AE 中点 O ，连接 DO ，
∴ DO⊥AE ，过 O 作 OQ⊥AC 交 AC 于 Q 点，连接 OQ 、 DQ ，
∵平面 ADE⊥ 平面 ABCE ，
AE= 平面 ADE∩ 平面 ABCE ，
∴ DO⊥ 平面 ABCE ，∴ DO⊥AC ，又 DO∩OQ=O ，
∴ AC⊥ 平面 DOQ ，
∴ AC⊥DQ ，
所以 ∠DQO 即为所求的二面角的平面角，
由 cos∠EAC=(2)2+(5)2−122×2×5=31010 ，
∴ DO=22 ， OQ=|AO|sin∠EAC=22×1010=510 ，
又 tan∠DQO=DOOQ=22510=10 ，
∴ cos∠DQO=1111 ∴二面角 E−AC−D 的余弦值为 1111 .
法二：(向量法)取 AE 的中点 O ，连接 DO
∵ AD=DE ∴ DO⊥AE ∵平面 ADE⊥ 平面 ABCE ，
AE= 平面 ADE∩ 平面 ABCE ，
∴ DO⊥ 平面 ABCE ，
如图所示，以 E 为坐标原点，
以 EA ， EB 分别为 x ， y 轴，过 E 作 DO 的平行线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则
A(2,0,0) ， C(−22,22,0) ， D(22,0,22)
∴ AC=(−322,22,0) ， AD=(−22,0,22)
设 m=(x,y,z) 为平面 DAC 的法向量，有 {m⋅AC=0m⋅AD=0⇒{−322x+22y=0−22x+22z=0
不妨令 x=1 ，则 y=3 ， z=1 ，
∴ m=(1,3,1) ，
而平面 AEC 的其中一个法向量显然为 n=(0,0,1)
cos〈m,n〉=m⋅n|m||n|=1111
二面角 E−AC−D 的余弦值为 1111 .
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可证得 BE⊥AE ，得 BE⊥ 平面 DAE ， 根据面面垂直的判定定理可得平面 ADE⊥ 平面 ABCE ；
（2） 法一：(几何法)如图所示，连接 AC ， 取 AE 中点 O ， 连接 DO ， 得 DO⊥AE ， ∠DQO 即为所求的二面角的平面角， cos∠EAC=(2)2+(5)2−122×2×5=31010 ；
法二：(向量法) 以 EA ， EB 分别为 x ， y 轴，过 E 作 DO 的平行线为 z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 DAC 的法向量和平面 AEC 的其中一个法向量，利用向量法可求出二面角 E−AC−D 的余弦值.
23.【答案】 （1）解：由题意知 4a=42 .
∴a=2 ，
直线 AF2 的方程为 y=bc(x−c)
∵直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点的横坐标为 43
∴{y=bc(43−c)(43)22+y2b2=1
解得 c=1 或 c=2 (舍去)
∴b2=1 ，
∴椭圆 C 的方程为 x22+y2=1
（2）解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2)
∵MP+MO+MQ=0 .
∴点 M 为 △POQ 的重心，
∴M(x1+x23,y1+y23)
∵点 M 在圆 O：x2+y2=49 上，
∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=4 (∗)
由 {y=kx+mx22+y2=1 得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0
∴x1+x2=−4km1+2k2, x1x2=2m2−21+2k2 ，
代入方程 (∗) ，得
(x1+x2)2+(y1+y2)2=(−4km1+2k2)2+[k(−4km1+2k2)+2m]2=4 ，
即 16(1+k2)k2m2(1+2k2)2−16k2m21+2k2+4m2=4
由 Δ>0 得 1+2k2>m2
∴1+2k2>(1+2k2)24k2+1
解得 k≠0 .
∴m2=(1+2k2)24k2+1=1+4k24k2+1=1+44k2+1k2>1
∴m>1 或 m<−1
【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为 4a=42 ，从而求出 a=2 ，写出直线 AF2 的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为 43 ，求出 c 和 b2 ，从而写出椭圆的方程；
（2）设出P、Q两点坐标，由 MP→+MO→+MQ→=0 可知点 M 为 △POQ 的重心，根据重心坐标公式和韦达定理，利用 Δ>0 求得 k 的范围，即可求出实数 m 的取值范围.
24.【答案】 （1）解：设圆C： x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，则 {17+4D+E+F=0,1+E+F=0,13+2D+3E+F=0, 解得 D=−4 ， E=−2 ， F=1 ，
故圆C： x2+y2−4x−2y+1=0 ，即 (x−2)2+(y−1)2=4 ，
即圆心 C(2,1) ，半径 r=2 ，
又圆 C′ ： (x+2)2+(y−4)2=9 的圆心 C′(−2,4) ，半径为 3 ，
而 |CC′|=42+32=5=3+2 ，故圆C 与圆 C′ 外切
（2）解：当直线 MN 与x轴重合时，令 y=0 ，得 xM=2−3 ， xN=2+3 ，则可得 PM=4−34+3PN ，不符合题意，
设直线 MN ： x+2=ty ，将 x=ty−2 代入圆C的方程可得 (t2+1)y2−(8t+2)y+13=0 ，
设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ，则 y1+y2=8t+2t2+1 ， y1y2=13t2+1 ，
因为 PM=513PN ，且 P(−2,0) ，故 y2=135y1 ，解得 t=2 或 t=38 ，
圆心 C(2,1) 到直线 MN 的距离 d=|2+2−t|1+t2=25 ，故 |MN|=2r2−d2=24−45=855
【解析】【分析】（1）设圆C： x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，代入点的坐标得到方程组即可求出圆C的方程，再求出两圆圆心距即可判断两圆的位置关系；（2）当直线 MN 与 x 重合时，不符题意；设直线 MN ： x+2=ty ，将 x=ty−2 代入圆C的方程可得 (t2+1)y2−(8t+2)y+13=0 ，设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ，由 PM=513PN ，且 P(−2,0) ，故 y2=135y1 ，即可求出 t ，再利用垂径定理、勾股定理计算可得。
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