2021-2022学年山西省晋中市左权县九年级（上）第一次月考数学试卷

这是一份2021-2022学年山西省晋中市左权县九年级（上）第一次月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年山西省晋中市左权县九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5，则方程可变形为（　　）
A．2（x﹣6）2＝43 B．（x﹣6）2＝43 C．2（x﹣3）2＝16 D．（x﹣3）2＝16
2．（3分）一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数约为（　　）
A．50个 B．30个 C．20个 D．12个
3．（3分）如图，a∥b∥c，AB＝9，BC＝3，DE＝12，则EF的长为（　　）

A．4 B．6 C．16 D．3
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（　　）

A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCD
C．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
5．（3分）颖颖从家去体育馆需要经过两个红绿灯，如果每个红绿灯可直接通过和需等待的概率相同，那么颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）某公司今年10月份的营业额为2500万元，按计划11，12月份的总营业额要达到6600万元，设11，12月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．2500（1+x）2＝6600
B．2500（1﹣x）2＝6600
C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝6600
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝6600
7．（3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C（a，b），则点A的坐标为（　　）

A．（b，a） B．（﹣b，a） C．（a，﹣b） D．（﹣a，b）
8．（3分）顺次连接下列四边形各边中点，所构成的四边形中为正方形的有（　　）
①矩形；②菱形；③正方形；④对角线垂直的四边形；⑤对角线相等且垂直的四边形．
A．①④ B．②④ C．②⑤ D．③⑤
9．（3分）平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（　　）

A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
10．（3分）如图，不等长的两对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OC＝OB：OD＝1：2，则此四个三角形的关系，下列叙述何者正确（　　）

A．甲丙相似，乙丁相似
B．甲丙相似，乙丁不相似
C．甲丙不相似，乙丁相似
D．甲丙不相似，乙丁不相似
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）一元二次方程x（x+6）＝2（x+6）的解是 　 　．
12．（3分）如图，线段AB＝100cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PB＝　 　cm．（结果保留根号）

13．（3分）如图∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：　 　，使△ABC∽△ADE．

14．（3分）如图，要设计一副宽25cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比是2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，设每个横彩条的宽度是2xcm．则根题意可列方程 　 　．

15．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点
P的坐标是　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（8分）解下列方程：
（1）3（x﹣2）2＝x2﹣4x+4．
（2）2x2＝4x+1．
17．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“最”，“美”，“逆”，“行”，“者”的5个小球，除汉字不同之外小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“行”的概率；
（2）小亮从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小亮取出的两个球上的汉字恰能组成“最美”或“行者”的概率．
18．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+（3k﹣1）＝0．
（1）求证：无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为1时，求k的值及该方程的另一个根．
19．（10分）为了保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2021年6月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定．某头盔经销商4至6月份统计，某品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在新市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在原售价的基础上每个上涨0.5元，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CE．
（1）判断四边形BECF是什么特殊的四边形，并说明理由；
（2）当△ABC满足 　 　时，四边形BECF是正方形．

21．（8分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝2α°，∠ADC＝（180﹣α）°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”．

22．（12分）已知如图1，E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F．
（1）试猜想AE与BF的数量关系并证明；
（2）如图2，若点E为BC的中点，其他条件不变，连接DG，请判断AD与DG的数量关系，并证明；
（3）如图3，将边长为6的正方形ABCD沿EF折叠，使得点A落在BC的中点A′处，点D落在点D′处，求折痕EF的长，请你思考此问题，直接写出结果．

23．（13分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

2021-2022学年山西省晋中市左权县九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5，则方程可变形为（　　）
A．2（x﹣6）2＝43 B．（x﹣6）2＝43 C．2（x﹣3）2＝16 D．（x﹣3）2＝16
【分析】先将常数项移到等号的右边，根据等式的性质将二次项的系数化为1，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．
【解答】解：∵2x2﹣12x﹣9＝5，
∴2x2﹣12x＝14，
x2﹣6x＝7，
则x2﹣6x+9＝7+9，即（x﹣3）2＝16，
故选：D．
2．（3分）一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数约为（　　）
A．50个 B．30个 C．20个 D．12个
【分析】设袋中白球有x个，根据概率公式列出算式，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设袋中白球有x个，
根据题意，得：＝0.4，
解得：x＝32，
经检验：x＝20是分式方程的解，
所以估计袋子中白球的个数约为20个，
故选：C．
3．（3分）如图，a∥b∥c，AB＝9，BC＝3，DE＝12，则EF的长为（　　）

A．4 B．6 C．16 D．3
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质可求出EF的长．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
即，
∴EF＝4．
故选：A．
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（　　）

A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCD
C．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
【解答】解：A、两组对边平行，对角线相等是矩形，不是正方形，故本选项错误；
B、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，不是正方形，故本选项错误；
C、对角线互相平分，邻边相等的四边形是菱形．不是正方形，故本选项错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确；
故选：D．
5．（3分）颖颖从家去体育馆需要经过两个红绿灯，如果每个红绿灯可直接通过和需等待的概率相同，那么颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的有1种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意画图如下：

共有4种等可能的结果，其中颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的有1种结果，
∴颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的概率为，
故选：C．
6．（3分）某公司今年10月份的营业额为2500万元，按计划11，12月份的总营业额要达到6600万元，设11，12月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．2500（1+x）2＝6600
B．2500（1﹣x）2＝6600
C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝6600
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝6600
【分析】设11，12月份每月的平均增长率为x，则11月份的营业额为2500（1+x）万元，12月份的的营业额为2500（1+x）2万元，根据计划11，12月份的总营业额要达到6600万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设11，12月份每月的平均增长率为x，则11月份的营业额为2500（1+x）万元，12月份的的营业额为2500（1+x）2万元，
依题意得：2500（1+x）+2500（1+x）2＝6600．
故选：C．
7．（3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C（a，b），则点A的坐标为（　　）

A．（b，a） B．（﹣b，a） C．（a，﹣b） D．（﹣a，b）
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD＝∠COE，再利用“角角边”证明△AOD≌△OCE，根据全等三角形对应边相等可得OE＝AD，CE＝OD，则可得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，如图所示：

∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠COE+∠AOD＝90°，
又∵∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OE＝AD，CE＝OD，
∵点C（a，b），
∴OE＝AD＝a，CE＝OD＝b，
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为（﹣b，a）．
故选：B．
8．（3分）顺次连接下列四边形各边中点，所构成的四边形中为正方形的有（　　）
①矩形；②菱形；③正方形；④对角线垂直的四边形；⑤对角线相等且垂直的四边形．
A．①④ B．②④ C．②⑤ D．③⑤
【分析】根据三角形中位线定理以及矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：①顺次连接矩形各边中点，所构成的四边形是菱形；
②顺次连接菱形各边中点，所构成的四边形是矩形；
③顺次连接正方形各边中点，所构成的四边形是正方形；
④顺次连接对角线垂直的四边形各边中点，所构成的四边形是矩形；
⑤顺次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点，所构成的四边形是正方形；
故选：D．
9．（3分）平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（　　）

A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
【分析】连接AE，根据矩形DEGF的面积＝2△ADE的面积即可得结论．
【解答】解：如图，连接AE，

∵矩形DEGF的面积＝2△ADE的面积＝2×DE×FD＝DE×FD，
∴矩形DEGF的面积保持不变．
故选：D．
10．（3分）如图，不等长的两对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OC＝OB：OD＝1：2，则此四个三角形的关系，下列叙述何者正确（　　）

A．甲丙相似，乙丁相似
B．甲丙相似，乙丁不相似
C．甲丙不相似，乙丁相似
D．甲丙不相似，乙丁不相似
【分析】根据已知及相似三角形判定定理，对四个三角形的关系进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：在△OAB和△OCD中，OA：OC＝OB：OD，又∠AOB＝∠COD
∴△OAB∽△OCD
即甲丙相似；
无法证明△OAD相似△OCB，乙丁不相似．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）一元二次方程x（x+6）＝2（x+6）的解是 　x1＝﹣6，x2＝2　．
【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x+6）＝2（x+6），
x（x+6）﹣2（x+6）＝0，
（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x+6＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣6，x2＝2；
故答案为：x1＝﹣6，x2＝2．
12．（3分）如图，线段AB＝100cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PB＝　（150﹣50）　cm．（结果保留根号）

【分析】直接运用黄金分割的比值进行计算即可．
【解答】解：∵线段AB＝100cm，点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），
∴PA＝AB＝×100＝50﹣50（cm），
∴PB＝100﹣（50﹣50）＝150﹣50（cm），
故答案为：（150﹣50）．
13．（3分）如图∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：　∠D＝∠B（答案不唯一）　，使△ABC∽△ADE．

【分析】根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角可该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．
【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE
∴∠DAE＝∠BAC
∴当∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE时两三角形相似．
故答案为：∠D＝∠B（答案不唯一）．
14．（3分）如图，要设计一副宽25cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比是2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，设每个横彩条的宽度是2xcm．则根题意可列方程 　（25﹣4x）（40﹣6x）＝25×40×（1﹣）　．

【分析】设每个横彩条的宽度是2xcm，则每个竖彩条的宽度是3xcm，根据彩条所占面积是图案面积的，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个横彩条的宽度是2xcm，则每个竖彩条的宽度是3xcm，
依题意得：（25﹣2×2x）（40﹣2×3x）＝25×40×（1﹣），
即（25﹣4x）（40﹣6x）＝25×40×（1﹣）．
故答案为：（25﹣4x）（40﹣6x）＝25×40×（1﹣）．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点
P的坐标是　（0，），（2，0），（，0）　．

【分析】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP＝∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，得到＝，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．
【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；
当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABO，
∴＝，
∵点A（4，0）和点B（0，3），
∴AB＝＝5，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝，
∴＝，
∴AP＝，
∴OP＝OA﹣AP＝4﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）．
故答案为（0，），（2，0），（，0）．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（8分）解下列方程：
（1）3（x﹣2）2＝x2﹣4x+4．
（2）2x2＝4x+1．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵3（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，
∴3（x﹣2）2﹣（x﹣2）2＝0，
∴2（x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0，
∴x1＝x2＝2；
（2）∵2x2＝4x+1，
∴2x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
则x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“最”，“美”，“逆”，“行”，“者”的5个小球，除汉字不同之外小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“行”的概率；
（2）小亮从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小亮取出的两个球上的汉字恰能组成“最美”或“行者”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中小亮取出的两个球上的汉字恰能组成“最美”或“行者”的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若从中任取一个球，则摸出球上的汉字刚好是“行”的概率为；
（2）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中小亮取出的两个球上的汉字恰能组成“最美”或“行者”的结果有4种，
∴小亮取出的两个球上的汉字恰能组成“最美”或“行者”的概率为＝．
18．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+（3k﹣1）＝0．
（1）求证：无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为1时，求k的值及该方程的另一个根．
【分析】（1）确定判别式的范围即可得出结论；
（2）将x＝1代入已知方程求得k的值；然后利用根与系数的关系求方程的另一根．
【解答】（1）证明：∵方程x2﹣（2k+1）x+（3k﹣1）＝0是一元二次方程，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4（3k﹣1）＝4（k﹣1）2+1＞0，
∴无论k为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

（2）解：把x＝1代入关于x的方程x2﹣（2k+1）x+（3k﹣1）＝0，得
关于x的方程12﹣（2k+1）+（3k﹣1）＝0．
解得k＝1．
设方程的另一根是x2，则1•x2＝3k﹣1＝2，
解得x2＝2．
即k的值是1，该方程的另一个根是2．
19．（10分）为了保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2021年6月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定．某头盔经销商4至6月份统计，某品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在新市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在原售价的基础上每个上涨0.5元，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）（600﹣×5）＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CE．
（1）判断四边形BECF是什么特殊的四边形，并说明理由；
（2）当△ABC满足 　∠A＝45°或BC＝AC　时，四边形BECF是正方形．

【分析】（1）证△FCD≌△ECD（ASA），得CF＝CE，即可得出结论；
（2）根据正方形的判定解答即可．
【解答】解：（1）四边形BECF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BC，
∴FB＝FC，EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵CF∥AB，
∴∠FCB＝∠EBC，
∴∠FCB＝∠ECB，
在△FCD和△ECD中，
，
∴△FCD≌△ECD（ASA），
∴CF＝CE，
∴FB＝FC＝CE＝BE，
∴四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝45°或BC＝AC时，
∵∠BCA＝90°，
∴△BCA是等腰直角三角形，
∴CE⊥BE，
∴菱形BECF是正方形，
故答案为：∠A＝45°或BC＝AC．
21．（8分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝2α°，∠ADC＝（180﹣α）°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”．

【分析】由角的数量关系可证∠A＝∠BDC，可得结论．
【解答】证明：∵∠ABC＝2α°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝α°，
∴∠A+∠ADB＝（180﹣α）°，
∴∠BDC+∠ADB＝（180﹣α）°，
∴∠A＝∠BDC，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”．
22．（12分）已知如图1，E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F．
（1）试猜想AE与BF的数量关系并证明；
（2）如图2，若点E为BC的中点，其他条件不变，连接DG，请判断AD与DG的数量关系，并证明；
（3）如图3，将边长为6的正方形ABCD沿EF折叠，使得点A落在BC的中点A′处，点D落在点D′处，求折痕EF的长，请你思考此问题，直接写出结果．

【分析】（1）证明△ABE≌△BCF即可得出结论；
（2）延长BF，AD交于点H，同（ 1）可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质得BE＝CF．由点E为BC的中点以及BC＝CD得CF＝CD＝DF，再证明△BCF≌△HDF可得BC＝DH＝AD，根据直角三角形斜边上的中线定理即可得出结论；
（3）连接AA′，过点F作FM∥AD交AB于M，可得FM＝AD＝AB＝6，再证明△ABA′≌△MFE即可得EF＝AA′．
【解答】解：（1）AE＝BF．
证明：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∠1+∠2＝90．
又∵AE⊥BF，
∴∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；

（2）AD＝DG．
证明：延长BF，AD交于点H，

同（ 1）可得△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF．
又∵点E为BC的中点，BC＝CD．
∴BE＝BC，
∴CF＝CD＝DF．
又∵AD∥BC，
∴∠1＝∠H，
又∵∠2＝∠3，
∴△BCF≌△HDF（AAS），
∴BC＝DH，
∵BC＝AD，
∴AD＝DH，
∵AE⊥BF，
∴∠AGH＝90°，
∴DG＝AH＝AD；

（3）如图3，连接AA′，过点F作FM∥AD交AB于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠ABE＝∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴FM＝AD＝AB＝6，
∵将边长为6的正方形ABCD沿EF折叠，使得点A落在BC的中点A′处，
∴AA′⊥EF，
∴∠AEF+∠BAA′＝90°，
∵∠AA′B++∠BAA′＝90°，
∴∠AEF＝∠AA′B，
∴△ABA′≌△MFE（AAS），
∴EF＝AA′，
∵A′为BC的中点，
∴BA′＝BC＝3，
∴AA′＝＝＝3，
∴EF＝3．
23．（13分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m＝，即可求得t的值．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，
在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．
∵OP2＝OB2+BP2，
即（2t）2＝62+t2，
解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．
∴点P的坐标为（，6）．

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，
∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，
∴∠OPB+∠QPC＝90°，
∵∠BOP+∠OPB＝90°，
∴∠BOP＝∠CPQ．
又∵∠OBP＝∠C＝90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴，
由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．
∴．
∴m＝（0＜t＜11）．

（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，
∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，
∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，
∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，
∴∠EPC′＝∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴，
∵PC′＝PC＝11﹣t，PE＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6﹣m，
∴AC′＝＝，
∴，
∴，
∴3（6﹣m）2＝（3﹣m）（11﹣t）2，
∵m＝，
∴3（﹣t2+t）2＝（3﹣t2+t﹣6）（11﹣t）2，
∴t2（11﹣t）2＝（﹣t2+t﹣3）（11﹣t）2，
∴t2＝﹣t2+t﹣3，
∴3t2﹣22t+36＝0，
解得：t1＝，t2＝，
点P的坐标为（，6）或（，6）．

法二：∵∠BPO＝∠OPC′＝∠POC′，
∴OC′＝PC′＝PC＝11﹣t，
过点P作PE⊥OA于点E，
则PE＝BO＝6，OE＝BP＝t，
∴EC′＝11﹣2t，
在Rt△PEC′中，PE2+EC′2＝PC′2，
即（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，
解得：t1＝，t2＝．
点P的坐标为（，6）或（，6）．