高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换本章综合与测试课时训练

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.cos 45°·cos 15°+sin 225°·sin 165°的值为(　　)

A.- B.- C. D.

2.已知角α终边上一点M的坐标为(1,),则sin 2α=(　　)

A.- B.

C.- D.

3.设单位向量a=,则cos 2α的值为(　　)

A. B.- C.- D.

4.若tan=2,则(　　)

A.tan α= B.tan α=

C.tan 2α= D.tan 2α=

5.函数y=·在一个周期内的图象是(　　)

6.已知tan α=(1+m),(tan αtan β+m)+tan β=0,且α、β均为锐角,则α+β=(　　)

A. B.

C. D.

7.2002年国际数学家大会在北京召开,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,直角三角形中较小的锐角为θ,则sin-cos=(　　)

A. B.

C. D.

8.已知向量m=(2cos2x,),n=(1,sin 2x),设函数f(x)=m·n,则下列关于函数f(x)的性质的描述正确的是　　(　　)

A.其图象关于直线x=对称

B.其图象关于点对称

C.最小正周期为2π

D.在上是增函数

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.对任意锐角α,β,下列不等关系中不正确的是(　　)

A.sin(α+β)>sin α+sin β

B.sin(α+β)>cos α+cos β

C.cos(α+β)<sin α+sin β

D.cos(α+β)<cos α+cos β

10.已知函数f(x)=sin x+cos x,则(　　)

A. f(x)的最小正周期为2π

B. f(x)图象的一条对称轴方程为x=

C. f(x)的最小值为-2

D. f(x)在上为增函数

11.给出下列命题,其中正确的命题有(　　)

A.若f(tan x)=sin 2x,则f(-1)=-1

B.方程sin x=lg x有三个实数根

C.函数y=1-2cos x-2sin2x的值域是

D.把y=cos x+cos写成一个角的正弦形式是y=sin

12.已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x,则(　　)

A.函数f(x)在区间上为增函数

B.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴

C.函数f(x)的图象可由函数y=sin 2x的图象向右平移个单位得到

D.对任意x∈R,恒有f +f(-x)=-1

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.化简sin(x+60°)+2sin(x-60°)-cos(120°-x)的结果是　　　　.

14.设函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a,已知当x∈时,f(x)的最小值为-2,则a=　　　　.

15.已知方程cos 2x+sin 2x=k+1在区间内有两个相异的解α,β,则实数k的取值范围是　　　　.

16.已知函数f(x)=sin xcos x-sin2x,设α∈,f=-,则sin α=　　　　,cos α=　　　　.(第一空2分,第二空3分)

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=g(x)h(x),其中g(x)=2sin x,h(x)=　　　　.

从①cos,②sin2这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

(1)写出函数f(x)的一个周期(不用说明理由);

(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.

18.(本小题满分12分)已知α∈,β∈,cos(α-β)=,α+β=.

(1)求sin(2α-2β)的值;

(2)求cos α的值.

19.(本小题满分12分)已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=.

20.(本小题满分12分)设f(x)=2cossin x+(sin x+cos x)2-1.

(1)求f(x)的最小正周期及f(x)图象的对称轴方程;

(2)讨论f(x)在上的单调性及最值.

21.(本小题满分12分)设向量a=(2sin α,1),b=,其中α∈.

(1)若a⊥b,求的值;

(2)若|a-2b|=2,求sin的值.

22.(本小题满分12分)如图所示,C,D是两个小区的所在地,C,D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1 km,DB=2 km,A,B两地之间的距离为4 km.

(1)如图1所示,某移动公司将在A,B之间找一点M,在M处建造一个信号塔,使得M对C,D的张角与M对C,A的张角相等,试确定点M到点A的距离;

(2)如图2所示,某公交公司将在A,B之间找一点N,在N处建造一个公交站台,使得N对C,D两个小区的视角∠CND最大,试确定点N到点A的距离.

答案全解全析

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一、单项选择题

1.D　cos 45°·cos 15°+sin 225°·sin 165°=cos 45°·cos 15°+(-sin 45°)·sin 15°

=cos 45°·cos 15°-sin 45°·sin 15°

=cos(45°+15°)=cos 60°=.

2.D　由角α终边上一点M的坐标为(1,),得r==2,

∴sin α=,cos α=,

∴sin 2α=2sin αcos α=.故选D.

3.A　∵|a|==1,∴sin2α=,∴cos 2α=1-2sin2α=.故选A.

4.D　∵tan α=tan===,

∴tan 2α===.故选D.

5.B　∵y=cosx++sinx+·cosx+-sinx+

=cos2x+-sin2x+

=cos2x+=-sin 2x,

∴其最小正周期为π,且函数图象与函数y=sin 2x的图象关于x轴对称,

∴满足条件的只有选项B.故选B.

6.D　由tan α=(1+m)得m=tan α-,

∴(tan αtan β+m)+tan β=tan αtan β+tan α-+tan β=0,

∴tan(α+β)==,

又∵α、β均为锐角,∴α+β=.

7.B　根据大正方形的边长为5,小正方形的边长为1,可得每个直角三角形的面积为(25-1)÷4=6.

设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,

则有ab=6,又a2+b2=52,

联立得

解得或(负值舍去),

所以cos θ=,sin θ=,

所以sinθ+-cosθ-=cos θ-cos θ-sin θ=cos θ-sin θ=×-×=.故选B.

8.D　f(x)=2cos2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x+1=2sin+1.

当x=时,sin=sin=≠±1,∴f(x)的图象不关于直线x=对称,选项A错误;

当x=时,2sin+1=1,∴f(x)的图象关于点对称,不关于点对称,选项B错误;

f(x)的最小正周期T==π≠2π,选项C错误;

当x∈时,2x+∈,∴f(x)在上是增函数,选项D正确.

二、多项选择题

9.ABC　当α=β=30°时,sin(α+β)<sin α+sin β,sin(α+β)<cos α+cos β,可知A,B不成立;当α=β=15°时,cos(α+β)>sin α+sin β,可知C不成立;由0°<α<α+β<180°,得cos(α+β)<cos α,即cos(α+β)<cos α+cos β,可知D成立.故选ABC.

10.AB　∵f(x)=sin x+cos x=sin,

∴f(x)的最小正周期为2π,故A正确;

又f=sin=,∴f(x)图象的一条对称轴方程为x=,故B正确;

f(x)的最小值为-,故C错误;

由x∈,得x+∈,则f(x)在上先增后减,故D错误.

故选AB.

11.ABC　由题意得tan x=-1,所以x=+kπ,k∈Z,所以2x=+2kπ,k∈Z,所以sin 2x=-1,故A正确;

画出函数y=sin x与y=lg x的图象(图略),可知函数y=sin x与函数y=lg x的图象有三个交点,故方程sin x=lg x有三个实数根,故B正确;

y=1-2cos x-2sin2x=2cos2x-2cos x-1,令t=cos x,t∈[-1,1],则y=2t2-2t-1,所以函数的值域是,故C正确;

y=cos x+cos=cos x-sin x=sin,故D错误.故选ABC.

12.ABD　f(x)=sin 2x-

=sin2x--.

当x∈时,2x-∈,函数f(x)为增函数,故A正确;

令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,显然直线x=是函数 f(x)图象的一条对称轴,故B正确;

将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位得到函数y=sin=sin2x-的图象,故C错误;

f+f(-x)=sin2x+-+sin-2x--=sin2x+-sin2x+-1=-1,故D正确.故选ABD.

三、填空题

13.答案　0

解析　原式=sin(x+60°)-cos[180°-(x+60°)]+2sin(x-60°)

=sin(x+60°)+cos(x+60°)+2sin(x-60°)

=2sin(x+60°+60°)+2sin(x-60°)

=2sin(x-60°+180°)+2sin(x-60°)

=-2sin(x-60°)+2sin(x-60°)

=0.

14.答案　-2

解析　f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a=2sin+a+1,

∵x∈,

∴2x+∈,

当2x+=时,f(x)取得最小值a,

∴a=-2.

15.答案　[0,1)

解析　由题意可知方程cos 2x+sin 2x=k+1在 上有两个不同的实数解,等价于函数y=cos 2x+sin 2x=2sin2x+的图象与直线y=k+1在区间上有两个不同的交点.

画出图象如图,

所以1≤k+1<2⇔0≤k<1.

16.答案　;

解析　f(x)=sin xcos x-sin2x

=sin 2x-×

=sin 2x+cos 2x-

=sin-,

所以f=sin-=-,所以sin=.

因为α∈,所以<α+<,

所以cos=-,

所以sin α=sin=×-×=,cos α=cos=-×+×=.

四、解答题

17.解析　选择条件①.

(1)因为f(x)=2sin xcos

=2sin x(cos x-sin x)

=2sin xcos x-2sin2x

=sin 2x+cos 2x-1

=sin-1,(4分)

所以函数f(x)的一个周期为π.(答案不唯一)(5分)

(2)因为x∈,

所以2x+∈,

当2x+=-,即x=-时,函数f(x)取得最小值-2,(8分)

当2x+=,即x=时,函数f(x)取得最大值-1.(10分)

选择条件②.

(1)因为f(x)=2sin xsin2

=sin x

=sin x(1-sin x)

=-(sin2x-sin x).(4分)

所以函数f(x)的一个周期为2π.(答案不唯一)(5分)

(2)因为x∈,

所以sin x∈.

当sin x=,即x=时,函数f(x)取得最大值,(8分)

当sin x=-,即x=-时,函数f(x)取得最小值--1.(10分)

18.解析　(1)∵α∈,β∈,∴α-β∈(0,π),

∴sin(α-β)==,(4分)

∴sin(2α-2β)=2sin(α-β)cos(α-β)=.(6分)

(2)∵α+β=,

∴sin(α+β)=,cos(α+β)=-.

∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)·cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=-×-×=-=2cos2α-1,

(10分)

解得cos α=(舍去)或cos α=-.(12分)

19.证明　∵sin A=-(sin B+sin C),cos A=-(cos B+cos C),sin2A+cos2A=1,

∴(sin B+sin C)2+(cos B+cos C)2=1,

即sin2B+2sin Bsin C+sin2C+cos2B+2cos B·cos C+cos2C=1,(2分)

∴2+2cos(B-C)=1,即cos(B-C)=-,(4分)

∴cos 2A+cos 2B+cos 2C

=2cos2A-1+cos 2B+cos 2C

=2cos2B+2cos2C+4cos Bcos C-1+cos 2B+cos 2C

=2cos 2B+2cos 2C+4cos Bcos C+1

=4cos(B+C)cos(B-C)+2[cos(B+C)+cos(B-C)]+1

=-2cos(B+C)+2cos(B+C)-1+1=0,(8分)

∴cos2A+cos2B+cos2C=++

=+(cos 2A+cos 2B+cos 2C)=.(12分)

20.解析　(1)f(x)=2cossin x+(sin x+cos x)2-1,

=-2sin2x+(1+sin 2x)-1,

=-(1-cos 2x)+1+sin 2x-1,

=(cos 2x+sin 2x)-,

=2sin-,(4分)

∴最小正周期T==π,(5分)

令2x+=kπ+,k∈Z,

解得x=+,k∈Z,

∴图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.(6分)

(2)∵x∈,

∴2x+∈,

令2x+=,解得x=,(8分)

∴f(x)在上的单调减区间为,单调增区间为,(10分)

∴最小值为f=-2-,

最大值为f=0.(12分)

21.解析　(1)若a⊥b,则sin α+cos α=0,得tan α=-1,(2分)

所以==-.(4分)

(2)因为a=(2sin α,1),

b=,

所以a-2b=(2sin α-1,1-2cos α).

因为|a-2b|=2,所以(a-2b)2=8,

即8sin2α-4sin α+1+1-4cos α+8cos2α=8,化简得2sin α+2cos α=1,

即4sin=1,所以sin=.(6分)

因为α∈,所以α+∈,所以cos=-,(8分)

所以sin

=2sincos=-,

cos=1-2sin2=,(10分)

所以sin=sin2-=sin2cos-cos2α+sin=-×-×=-.(12分)

22.解析　(1)设MA=m km,∠CMA=θ,

则MB=(4-m)km,∠CMD=θ,∠BMD=π-2θ.

依题意得tan θ=,tan 2θ=-,(2分)

由tan 2θ=得-=,

解得m=,

故点M到点A的距离为 km.(4分)

(2)设∠CNA=α,∠DNB=β,

则∠CND=π-(α+β).

设AN=x km,则NB=(4-x)km,

所以tan α=,tan β= ,tan∠CND=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=,(6分)

记f(x)=(0<x<4,且x≠2±),

对x的范围进行分类讨论:

①当x接近2±这两个值时,f(x)趋近于正无穷,此时∠CND趋近于90°;

②当0<x<2-或2+<x<4时,∠CND为锐角;(8分)

③当2-<x<2+时,∠CND为钝角,

令x+4=t,则6-<t<6+,

则y==≤=-,

当且仅当t=时,等号成立,此时ymax=-,∠CDN最大,x=t-4=-4.

故当∠CND最大时,点N到点A的距离为(-4)km.(12分)