高中数学10.1 随机事件与概率同步训练题

10.1综合拔高练

五年高考练　 　　　　　

考点1　随机事件的概率及其性质

1.(2020新高考Ⅰ,5,5分,)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(深度解析)

A.62% B.56% C.46% D.42%

2.(2018课标Ⅲ,5,5分,)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(　　)

A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7

3.(2018北京,17,12分,)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;

(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)

考点2　古典概型

4.(2020课标Ⅰ,4,5分,)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为(　　)

A. B. C. D.

5.(2019课标Ⅱ,4,5分,)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)

A. B. C. D.

6.(2019课标Ⅲ,3,5分,)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(　　)

A. B. C. D.

7.(2019天津,15,13分,)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?

(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.

三年模拟练　　　

应用实践

1.()某同学在5次综合测评中的成绩(单位:分)分别为83,83,87,99,9x,其中一个数字被污损,用x表示,则该同学的平均成绩不低于90分的概率为(　　)

A.　 B.

C.　 D.

2.()已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率是(　　)

A. B.

C. D.

3.(2019湖北部分重点中学高三模拟,)某商场对某一商品搞活动,已知该商品每一个的进价为3元,销售价为8元,每天销售的第20个及之后的商品半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量,如图所示.设x(个)为这种商品每天的销量,y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率是(　　)

A. B. C. D.

4.()事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()=　　　　,P()=　　　　. 

5.(2020安徽安庆高二期末,)某高校在2019年的自主招生考试中,随机抽取200名考生的笔试成绩作为样本研究,按照笔试成绩分成5组:第1组[160,165),第2组[165,170),第3组[170,175),第4组[175,180),第5组[180,185],样本频率分布直方图如下:

(1)估计全体考生笔试成绩的中位数;

(2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6名学生进入第二轮面试,从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试,求这2名学生来自同一组的概率.

迁移创新

6.()一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在剩余空位中任意选择座位.

(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);

(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.

答案全解全析

五年高考练

1.C　记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A∪B,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A∩B.

根据题意,P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(A∪B)=0.96,所以P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.46.

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该校学生总数的比例是46%.

深度剖析

用Venn图表示学生参加体育锻炼的情况,如图.

2.B　设事件A为“不用现金支付”,事件B为“既用现金支付也用非现金支付”,事件C为“只用现金支付”,则P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故选B.

3.解析　(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.

故所求概率为=0.025.

(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.

故所求概率估计为1-=0.814.

(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.

4.A　从O,A,B,C,D中任取3点的情况有(O,A,B),(O,A,C),(O,A,D),(O,B,C),(O,B,D),(O,C,D),(A,B,C),(A,B,D),(B,C,D),(A,C,D),共10种,由图可知取到的3点共线的有(O,A,C)和(O,B,D)两种情况,所以所求概率为=.故选A.

5.B　记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其中测量过某项指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔子中随机取出3只的情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中恰有2只测量过该指标的情况有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种,所以所求事件的概率P==.

6.D　设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列,所有可能的结果用树状图表示为

共24种结果,其中两位女同学相邻的结果有12种,∴P(两位女同学相邻)==,故选D.

7.解析　(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.

(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.

(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为(A,B),(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,F),(E,F),共11种.

所以事件M发生的概率P(M)=.

三年模拟练

应用实践

1.D　x的可能取值为0,1,2,…,9,共10个.依题意得,该同学的5次综合测评的平均成绩为×(442+x),令×(442+x)≥90,得x≥8,即x的可能取值为8和9,由此得该同学的平均成绩不低于90分的概率为=.

2.A　∵a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},

∴样本点总数n=3×4=12.

用(a,b)表示a,b的取值.

若函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数,

则①当a=0时, f(x)=-2bx,符合条件的只有(0,-1),即a=0,b=-1;

②当a≠0时,需满足≤1,符合条件的有(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1),共4种.

∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率P=.

3.B　由题意知

y=

即y=

当日销量少于20个时,日利润小于96元;

当日销量为20个时,日利润为96元;

当日销量为21个时,日利润为97元.

日利润为96元的有3天,记为a,b,c,日利润为97元的有2天,记为A,B,从中任选2天有:(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B),共10种情况,

其中选出的这2天日利润都是97元的有(A,B),1种情况,故所求概率为.

4.答案　;

解析　由题得P(A)+P(B)=1-=,因为P(A)=2P(B),所以P(A)=,P(B)=,所以P()=1-P(A)=,P()=1-P(B)=.

5.解析　(1)设样本的中位数为x0,由频率分布直方图可知,x0∈[170,175),

从而有(0.01+0.07)×5+(x0-170)×0.04=0.5,解得x0=172.5.

故估计全体考生笔试成绩的中位数为172.5.

(2)记事件A为“这两名学生来自同一组”.

由题意得,应从第3组抽取2人,第4组抽取3人,第5组抽取1人.

记第3组的2名学生为a1,a2,第4组的3名学生为 b1,b2,b3,第5组的1名学生为c.从这6人中抽取2人的样本空间中的样本点有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c),(b1,b2),(b1,b3),(b1,c),(b2,b3),(b2,c),(b3,c),共15个,

其中事件A包含的样本点有:(a1,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共4个.

由古典概型公式得P(A)=.

故这2名学生来自同一组的概率为.

迁移创新

6.解析　(1)余下两种坐法如下表所示:

(2) 若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为:

于是,所有可能的坐法共8种.

设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A包含的样本点的个数为4.所以P(A)==,即乘客P5坐到5号座位的概率是.