高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时学案

2.2　基本不等式

【素养目标】

1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)

2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理)

3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算)

4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理)

5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)

【学法解读】

1．本节学习时，学生先复习完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，由(a－b)2≥0可得a2－2ab＋b2≥0，即a2＋b2≥2ab.然后以，分别代替a，b推得基本不等式，从代数观点认识基本不等式．

2．借助教材“探究”中的问题，使学生从几何角度认识基本不等式．

3．重点掌握应用基本不等式求最值的前提条件，通过具体实例强化公式的应用技巧．

第1课时　基本不等式

必备知识·探新知

基础知识

知识点1　重要不等式与基本不等式

思考1：(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？

(2)基本不等式成立的条件“a，b>0”能省略吗？请举例说明．

提示：(1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．

(2)不能，如≥是不成立的．

知识点2　基本不等式与最值

已知x，y都为正数，则

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值____.

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值__2__.

思考2：应用基本不等式求最值的关键是什么？

提示：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换．

基础自测

1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　×　)

(2)当a>0，b>0时，a＋b≥2.(　√　)

(3)当a>0，b>0时，ab≤()2.(　√　)

(4)函数y＝x＋的最小值是2.(　×　)

[解析]　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a>0，b>0.

(2)基本不等式的变形公式．

(3)基本不等式的变形公式．

(4)当x<0时，x＋是负数．

2．下列不等式正确的是(　C　)

A．a＋≥2　　　 B．(－a)＋(－)≤－2

C．a2＋≥2 D．(－a)2＋(－)2≤－2

3．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是__a＝1__.

4．已知x>0，求x＋的最小值．

[解析]　因为x>0，所以x＋≥2＝2，

当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　利用基本不等式判断命题真假

例1 下列不等式一定成立的是(　C　)

A．>(x>0)　 B．x＋≥2(x≠0)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R)

[解析]　选项A中，x2＋≥x(当且仅当x＝时，x2＋＝x)，故选项A不正确；选项B中，x＋≥2(x>0)，x＋≤－2(x<0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0<≤1，故选项D不正确．

例2 如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么下列命题中是真命题的是(　A　)

A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一

B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一

C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一

D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一

[解析]　∵正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，∴4＝a＋b≥2，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．又4＝cd≤()2，∴c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时，等号成立．

综上，ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值都为2.

[归纳提升]　利用基本不等式判断命题真假的步骤

第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件．

第二步：应用基本不等式．

第三步：检验等号是否成立．

【对点练习】❶ 若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　D　)

A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2

C．＋> D．＋≥2

[解析]　对于A，若a＝b时，a2＋b2＝2ab，则A中的不等式不恒成立．当a<0，b<0时，选项B，C不成立，故选D．

题型二　利用基本不等式求最值

例3 (1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；

(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．

[分析]　(1)将所求代数式变形，构造出基本不等式所满足的结构条件，从而运用基本不等式求最值．

(2)利用“1”的代换，结合不等式求解．

[解析]　(1)因为x<3，所以x－3<0，

所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3

＝－[＋(3－x)]＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，

所以f(x)的最大值为－1.

(2)因为x，y是正实数，

所以(x＋y)(＋)＝4＋(＋)≥4＋2.

当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取等号．

又x＋y＝4，所以＋≥1＋，故＋的最小值为1＋.

[归纳提升]　利用基本不等式求最值的方法及注意点

(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．

(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．

(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．

(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．

【对点练习】❷ (1)若0<x<1，则的取值范围是__(0，]__；

(2)已知a>0，b>0，＋＝4，则a＋b的最小值为__1__.

[解析]　(1)由0<x<1知3－2x>0，

故＝·≤·＝，当且仅当x＝时，上式等号成立．

所以0<≤.

(2)由＋＝4，得＋＝1.

所以a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1.当且仅当a＝b＝时取等号．

题型三　利用基本不等式证明不等式

例4 已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)．

[分析]　这是个条件不等式，因此要用好a>b，ab＝1这两个条件．注意到不等式左、右两边的次数特征，因此要向模型ax＋≥2进行思考．

[证明]　∵a>b，∴a－b>0.又ab＝1，

∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号．

[归纳提升]　利用基本不等式证明不等式的思路

利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到．

【对点练习】❸ 已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.

[证明]　∵x，y，z是正数，

x＋y≥2，y＋z≥2，x＋z≥2，

∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.

课堂检测·固双基

1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　C　)

A．　　　　　　　 B．1

C．2 D．4

[解析]　x2＋y2＝4≥2xy，

∴xy≤2，

∴xy的最大值为2，故选C．

2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　C　)

A．a－b<0 B．0<<1

C．< D．ab>a＋b

[解析]　由基本不等式知≤，

∵a>b>0，∴<，故选C．

3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是__A≥G__.

4．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为__20__.

[解析]　x＋y≥2＝2＝20(当且仅当x＝y＝10时取等号)．

5．已知a，b∈R，求证：ab≤()2.

[证明]　∵()2－ab＝－ab

＝＝≥0，

∴()2≥ab，即ab≤()2.