高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件第2课时导学案，共8页。


基础知识
知识点 充要条件
1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作__p⇔q__，此时p是q的充分必要条件，简称__充要条件__.
2．条件与结论的等价性：如果p是q的__充要条件__，那么q也是p的__充要条件__.
3．概括：如果__p⇔q__，那么p与q互为__充要条件__.
思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？
提示：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；
②充分不必要条件，即p⇒q且qp.
③必要不充分条件，即pq且q⇒p.
④既不充分又不必要条件，即pq且qp.
基础自测
1．下列命题中是真命题的是( A )
①“x>3”是“x>4”的必要条件；
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件．
A．① B．①②
C．①③D．②③
[解析] x>4⇒x>3，故①是真命题；
x＝1⇒x2＝1，x2＝1x＝1，故②是假命题；
a＝0⇒ab＝0，ab＝0a＝0，故③是假命题．
2．“x＝0”是“x2＝0”的( D )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
[解析] 因为当x＝0时x2＝0，当x2＝0时，x＝0，所以“x＝0”是“x2＝0”的充要条件．
3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是( B )
A．x<0，y<0B．x<0，y>0
C．x>0，y>0D．x>0，y<0
[解析] P(x，y)在第二象限，等价于x<0，y>0.
4．设p：x<3，q：－1A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为{x|－15．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的__充要条件__.
(2)“x<5”是“x<3”的__必要不充分条件__.
[解析] (1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B, 即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 充分条件、必要条件及充要条件的判断
例1 (1)对于任意的x，y∈R，“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的( A )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)由x2＋y2＝0，得x＝0且y＝0，由xy＝0得x＝0或y＝0，即“xy＝0”“x2＋y2＝0”．
(2)若“四边形ABCD为菱形”，显然对角线垂直；
但“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形．
所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B．
∴“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．
[归纳提升] 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论．
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
【对点练习】❶ 设A、B为两个互不相同的集合．命题p：x∈(A∩B)；命题q：x∈A或x∈B．则p是q的__ __条件．( B )
A．充分必要 B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分又不必要
[解析] 若命题p：x∈(A∩B)成立，命题q：x∈A或x∈B一定成立；若命题q：x∈A或x∈B成立，但是x不一定是A∩B中的元素，所以p是q的充分不必要条件．
题型二 充要条件的证明
例2 设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
[分析] eq \x(先证充分性)→eq \x(再证必要性)
[解析] ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．
当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，
又当x>0，y>0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
所以|xy|＝xy，所以xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
[归纳提升] 充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
【对点练习】❷ 证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边．
[解析] (1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc⇒△ABC为等边三角形)：
因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形；
(2)必要性(由△ABC为等边三角形⇒a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：
因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
综上可知，结论得证．
题型三 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
例3 已知p：－4A．(－1,6)
B．[－1,6]
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[6，＋∞)
[分析] 可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来，根据充分条件，转化为其构成的集合之间的包含关系，建立关于参数a的不等式组，从而求得实数a的取值范围．
[解析] 设q，p表示的范围分别为集合A，B，
则A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)．
因为q是p的充分条件，则有A⊆B，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4≤2，,a＋4≥3，))
所以－1≤a≤6.故选B．
[归纳提升] 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)．
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．
【对点练习】❸ 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] 由p得(x－3a)(x－a)<0，当a<0时3a2，则x<－4或x≥－2，
设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，
又p是q的充分不必要条件，可有AB，
所以a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－eq \f(2,3)，
又a<0，所以a≤－4或－eq \f(2,3)≤a<0，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0)).
误区警示
误将充分条件当作充要条件
例4 给出下列各组条件：
①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
③p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
④p：x>2或x<－1，q：x<－1.
其中p是q的充要条件的有( A )
A．1组B．2组
C．3组D．4组
[错解] ①因为ab＝0⇒a＝0或b＝0，所以pq，故p不是q的充要条件．②因为xy≥0，所以x，y是同号或者为0，故p⇒q，所以p是q的充要条件．③Δ＝1＋4m，当m>0时Δ>1，方程x2－x－m＝0有实根，所以p⇒q，所以p是q的充要条件．④p：x>2或x<－1，∴pq，∴p不是q的充要条件．
综上，p是q的充要条件的有2组，故选B．
[错因分析] 误将充分条件当作充要条件，当p⇒q时，我们只能判断p是q的充分条件，只有p⇒q与q⇒p同时成立，才能称p是q的充要条件．
[正解] 对于①由pq知，p一定不是q的充要条件．对于②，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy≥0，故是充要条件．对于③，方程x2－x－m＝0有实数解，判别式Δ＝1＋4m≥0，即m≥－eq \f(1,4)，所以qp，∴p是q的充分不必要条件．对于④，因为pq，所以p不是q的充要条件，故只有②是，故选A．
[方法点拨] 对于两个条件A，B，若A⇒B成立，则A是B的充分条件(B成立的充分条件是A)，B是A的必要条件；若B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；若A⇔B，则A，B互为充要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性．
学科素养
充分条件、必要条件的证明
充分条件与必要条件是高中数学的重要概念，与数学中其他知识的联系较强，是高考的热点之一，同时也是易错点，充要条件的证明是本节的难点．
例5 已知a≥eq \f(1,2)，设二次函数y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意x∈[0,1)，均有y≤1成立的充要条件是c≤eq \f(3,4).
[分析] 本题是关于充分条件、必要条件的证明．由于所学知识有限，只能利用一些等式性质，一次函数，二次函数的基本性质进行论证，本题揭示的是二次函数的最小值问题与系数c的关系．
[解析] 因为a≥eq \f(1,2)，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的对称轴方程为x＝eq \f(a,2a2)＝eq \f(1,2a)，且0先证充分性：因为c≤eq \f(3,4)，且y≤eq \f(1,4)＋c≤eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1，所以得y≤1.
再证必要性：因为y≤1，所以只需eq \f(1,4)＋c≤1即可，从而c≤eq \f(3,4)，即结论得证．
[归纳提升] 充要条件的证明思路
(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：
①充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；
②必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p.
解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．
(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．
课堂检测·固双基
1．“a＋b>2c”的一个充分不必要条件是( D )
A．a>c或b>c B．a>c或bC．a>c且bc且b>c
[解析] 由a>c且b>c可推得a＋b>2c，但当a＋b>2c时，不一定能推得a>c且b>c，故选D．
2．若“xA．a≥3B．a≤－1
C．－1≤a≤3D．a≤3
[解析] 因为“x3．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：
充要条件①__两组对边分别平行__
充要条件②__一组对边平行且相等__
(写出你认为正确的两个充要条件)
4．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是__m>2__.
[解析] 因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(2，＋∞)的真子集，所以m>2.
5．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．
[解析] 在(1)中，p⇔q，所以p是q的充要条件．
在(2)中，⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，pq，所以p不是q的充要条件．
在(3)中，取A＝{1,2}，B＝{3}，显然，A∩B＝∅，但A与B均不为空集，因此，pq，所以p不是q的充要条件．
条件类别
集合M与N的关系
p是q的充分不必要条件
MN
p是q的必要不充分条件
MN
p是q的充要条件
M＝N
p是q的充分条件
M⊆N
p是q的必要条件
M⊇N