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人教版2022届一轮复习打地基练习 三角形的形状判断
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人教版2022届一轮复习打地基练习 三角形的形状判断
一．选择题（共6小题）
1．若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=15，则三角形的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
2．已知△ABC，若对任意k∈R，有|BA→+kCB→|≥|AC→|，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．以上均有可能
3．下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是（ ）
A．sinA+cosA=15 B．tanA+tanB+tanC＞0
C．b＝3，c＝33，B＝30° D．AB→•BC→＜0
4．在△ABC中，若AB→•BC→+AB→2=0，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．在△ABC中，acosB=bcosA，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．在△ABC中，c−a2c=sin2B2（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
二．多选题（共4小题）
7．对于△ABC，有如下判断，其中正确的是（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC必为等腰三角形
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若a＝5，b＝3，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则△ABC必为钝角三角形
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk=sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝5时，△ABC是直角三角形
B．当k＝3时，△ABC是锐角三角形
C．当k＝2时，△ABC是钝角三角形
D．当k＝1时，△ABC是钝角三角形
9．下列条件中，能推导出△ABC是钝角三角形的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，A（1，3），B（4，2），C（﹣1，﹣1）
B．tanA+tanB+tanC＞0
C．cos2B﹣cos2C＞sin2A
D．（sinA﹣cosB）•（sinB﹣cosC）•（sinC﹣cosA）＞0
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，cosB+cosC＝2cosA，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰不等边三角形 D．直角三角形
三．填空题（共11小题）
11．在△ABC中，D是BC的中点，已知∠BAD+∠C＝90°，则△ABC的形状是 ．
12．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，则△ABC一定为 ．（用“直角三角形”“等边三角形”“等腰直角三角形”填空）
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosB＝ccosC，则该三角形的形状是 ．（不要使用“△”符号表示三角形）
14．在△ABC中，已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，则△ABC的形状为 ．
15．在△ABC中，（BC→+BA→）•AC→=|AC→|2，则△ABC的形状一定是
16．△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：
（1）（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab
（2）sinA＝2cosBsinC
（3）b＝acosC，c＝acosB
（4）2R(sin2A−sin2C)=(2a−b)sinB
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题 ．
17．在△ABC中，若acosA＝bcosB，且a2+b2＝ab+c2，则△ABC的形状为 ．
18．在△ABC中，若tanAtanB=sinAsinB，则△ABC的形状是 ．
19．已知三角形ABC的三边长为a，b，c满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为 三角形．（填写形状）
20．已知△ABC中，sinA+cosA=15，则三角形ABC的形状是 ．
21．在△ABC中，给出下列四个结论：
（1）若sinA＝sinB，则△ABC是等腰三角形；
（2）若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形；
（3）若asinA=bsinB=c，则△ABC是直角三角形；
（4）若sinA＞sinB，则A＞B．
其中结论正确的序号是 ．
四．解答题（共1小题）
22．已知α是△ABC的一个内角，且sinα+cosα=15，
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）求sinαcosα+sin2α1−tanα的值．
人教版2022届一轮复习打地基练习 三角形的形状判断
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=15，则三角形的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【分析】把所给的等式两边平方，得2sinαcosα＜0，在三角形中，只能cosα＜0，只有钝角cosα＜0，故α为钝角，三角形形状得判．
【解答】解：∵（sinα+cosα）2=125，∴2sinαcosα=−2425，
∵α是三角形的一个内角，则sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形．
故选：A．
2．已知△ABC，若对任意k∈R，有|BA→+kCB→|≥|AC→|，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．以上均有可能
【分析】图中BC′的长度就是|BA→+kCB→|，要使不等式成立，则|AC|必须是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C为直角．
【解答】解：当k为任意实数时，那么kCB→的方向有可能向左，也可能向右．长度也是不确定的，
图中BC′的长度就是|BA→+kCB→|，可以看出，当BC′垂直CB时，|BA→+kCB→|有最小值，要使不等式成立，
则|AC|必须是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C为直角，
故选：A．
3．下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是（ ）
A．sinA+cosA=15 B．tanA+tanB+tanC＞0
C．b＝3，c＝33，B＝30° D．AB→•BC→＜0
【分析】由平方，运用同角的平方关系，即可判断A；运用两角和的正切公式，即可判断B；
由正弦定理，解得C，A，即可判断C；由向量的数量积的定义，即可判断D．
【解答】解：对于A．sinA+cosA=15平方可得，sin2A+cos2A+2sinAcosA=125，即有2sinAcosA=−2425＜0，则sinA＞0，cosA＜0，A为钝角，则A不满足；
对于B．由于tan（A+C）=tanA+tanC1−tanAtanC=−tanB，即有tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC＞0，
即tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，则为锐角三角形，则B满足；
对于C．运用正弦定理，可得，sinC=csinBb=33×123=32，则C＝60°或120°，则A＝90°或30°，则C不满足；
对于D.AB→⋅BC→=cacos（π﹣B）＜0，即cosB＞0，B为锐角，则D不满足．
故选：B．
4．在△ABC中，若AB→•BC→+AB→2=0，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由条件求得AB→•AC→=0，可得AB→⊥AC→，故∠A=π2，由此可得△ABC的形状．
【解答】解：在△ABC中，AB→•BC→+AB→2=AB→•（AB→+BC→）=AB→•AC→=0，∴AB→⊥AC→，
∴∠A=π2，则△ABC为直角三角形，
故选：B．
5．在△ABC中，acosB=bcosA，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】利用正弦定理asinA=bsinB=2R与二倍角的正弦即可判断三角形的形状．
【解答】解：∵在△ABC中acosB=bcosA，
∴ab=cosBcosA，又由正弦定理asinA=bsinB=2R得：ab=sinAsinB，
∴sinAsinB=cosBcosA，
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π﹣2B，
∴A＝B或A+B=π2．
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
6．在△ABC中，c−a2c=sin2B2（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】由倍角公式化简已知可得1−cosB2=c−a2c，结合余弦定理可得ac=a2+c2−b22ac，可得：a2+b2＝c2，即可判定得解．
【解答】解：∵c−a2c=sin2B2，
∴1−cosB2=c−a2c，
∵cosB=ac，又由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac，
∴可得：a2+b2＝c2，
∴三角形为以∠C为直角的直角三角形．
故选：A．
二．多选题（共4小题）
7．对于△ABC，有如下判断，其中正确的是（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC必为等腰三角形
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若a＝5，b＝3，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则△ABC必为钝角三角形
【分析】对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断．
【解答】解：对于A，若sin2A＝sin2B，则2A＝kπ+（﹣1）k•2B，（k∈Z），当k＝0时，A＝B，△ABC为等腰三角形；当k＝1时，A=π2−B，△ABC为直角三角形，故不正确，
对于B，使用正弦定理证明．若A＞B，则a＞b，由正弦定理asinA=bsinB=2R，得2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB成立．故正确；
对于C，由余弦定理可得：b=52+c2−2×5×c×12=3，可得c2﹣5c+16＝0，△＜0，方程无解，故错误；
对于D，若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则：1﹣sin2A+1﹣sin2B﹣1+sin2C＞1，可得sin2A+sin2B＜sin2C，则根据正弦定理得a2+b2＜c2，可得C为钝角，可得△ABC是钝角三角形，故正确；
综上，正确的判断为，B和D．
故选：BD．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk=sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝5时，△ABC是直角三角形
B．当k＝3时，△ABC是锐角三角形
C．当k＝2时，△ABC是钝角三角形
D．当k＝1时，△ABC是钝角三角形
【分析】由题意根据正弦定理，余弦定理逐一判断各个选项即可得解．
【解答】解：对于A，当k＝5时，sinA5=sinB3=sinC4，根据正弦定理不妨设a＝5m，b＝3m，c＝4m，显然△ABC是直角三角形；
对于B，当k＝3时，sinA3=sinB3=sinC4，根据正弦定理不妨设a＝3m，b＝3m，c＝4m，
显然△ABC是等腰三角形，a2+b2﹣c2＝9m2+9m2﹣16m2＝2m2＞0，
说明∠C为锐角，故△ABC是锐角三角形；
对于C，当k＝2时，sinA2=sinB3=sinC4，根据正弦定理不妨设a＝2m，b＝3m，c＝4m，
可得a2+b2﹣c2＝4m2+9m2﹣16m2＝﹣3m2＜0，说明∠C为钝角，故△ABC是钝角三角形；
对于D，当k＝1时，sinA1=sinB3=sinC4，根据正弦定理不妨设a＝m，b＝3m，c＝4m，
此时a+b＝c，不等构成三角形，故命题错误．
故选：ABC．
9．下列条件中，能推导出△ABC是钝角三角形的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，A（1，3），B（4，2），C（﹣1，﹣1）
B．tanA+tanB+tanC＞0
C．cos2B﹣cos2C＞sin2A
D．（sinA﹣cosB）•（sinB﹣cosC）•（sinC﹣cosA）＞0
【分析】对于A选项，由题意可得A为三角形最大角，由余弦定理可得cosA＜0，可得A为钝角，即可判断；对于B选项，由tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC＞0，不妨设A、B为锐角，则可得tanC＞0，可得C也为锐角，可知△ABC为锐角三角形，即可判断；对于C选项，利用同角三角函数基本关系式可得a2+b2＜c2，进而可知C为钝角，即可判断；对于D选项，取A＝B＝C＝60°，满足条件，但△ABC为锐角三角形，不能推导出△ABC是钝角三角形，即可判断．
【解答】解：对于A选项，|AB|=10，|AC|＝25，|BC|=34，
则|BC|＞|AC|＞|AB|，由余弦定理可得cosA=10+20−342×10×25＜0，可得A为钝角，故A正确；
对于B选项，由于tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC＞0，
由于△ABC中至少有两个锐角，不妨设A、B为锐角，
则tanAtanB＞0，可得tanC＞0，
所以C为锐角，进而可知△ABC为锐角三角形，故B错误；
对于C选项，cos2B﹣cos2C＝1﹣sin2B﹣（1﹣sin2C）＝sin2C﹣sin2B＞sin2A，
即a2+b2＜c2，进而可知C为钝角，能推导出△ABC是钝角三角形，故C正确；
对于D选项，取A＝B＝C＝60°，满足（sinA﹣cosB）•（sinB﹣cosC）•（sinC﹣cosA）＞0，
但△ABC为锐角三角形，不能推导出△ABC是钝角三角形，故D错误．
故选：AC．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，cosB+cosC＝2cosA，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰不等边三角形 D．直角三角形
【分析】由题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围和特殊角的余弦值求出A，进而根据已知可得cosB+cos（2π3−B）＝1，可得sin（B+π6）＝1，进而解得A＝B＝C，即可得解．
【解答】解：因为b2+c2＝a2+bc，
所以由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
又0＜A＜π，
则A=π3，
因为cosB+cosC＝2cosA＝1．
所以cosB+cos（2π3−B）＝cosB−12cosB+32sinB＝1，即：sin（B+π6）＝1，
所以B+π6=π2，可得B=π3，
所以C＝B＝A=π3，即△ABC是等边三角形．
故选：AB．
三．填空题（共11小题）
11．在△ABC中，D是BC的中点，已知∠BAD+∠C＝90°，则△ABC的形状是 等腰或直角三角形 ．
【分析】根据题意，设∠BAD＝α，∠B＝β，可得∠C＝90°﹣α，∠CAD＝90°﹣β，在三角形ABD和三角形ADC中，分别根据正弦定理表示出BD：AD及CD：AD，由D为BC中点，得到BD＝CD，从而得到两比值相等，列出关于α和β的关系式，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简后，得到sin2α＝sin2β，由α和β的范围，可得出α＝β或α+β＝90°，由α＝β根据等角对等边可得AD＝BD＝CD，根据三角形一边上的中线等于这边的一半可得三角形ABC为直角三角形；由α+β＝90°，可得AD与BC垂直，又D为BC中点，故AD垂直平分BC，故AB＝AC，此时三角形ABC为等腰三角形．
【解答】解：根据题意，∵∠BAD+∠C＝90°，
∴∠CAD+∠B＝180°﹣（∠BAD+∠C）＝90°，
设∠BAD＝α，∠B＝β，则∠C＝90°﹣α，∠CAD＝90°﹣β，
在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ＝BD：AD，
sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）＝CD：AD，
又D为BC中点，∴BD＝CD，
∴sinα：sinβ＝sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）＝cosβ：cosα，
∴sinαcosα＝sinβcosβ，即sin2α＝sin2β，
∴2α＝2β或2α+2β＝180°，
∴α＝β或α+β＝90°，
∴BD＝AD＝CD或AD⊥CD，
∴∠BAC＝90°或AB＝AC，
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．
故答案为：等腰或直角三角形
12．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，则△ABC一定为 等边三角形 ．（用“直角三角形”“等边三角形”“等腰直角三角形”填空）
【分析】利用正弦定理化简sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，与2a＝b+c联立得到a＝b＝c，可得出三角形ABC为等边三角形．
【解答】解：由正弦定理化简sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，
又2a＝b+c，即a=b+c2，
∴a2=(b+c)24=bc，即（b+c）2＝4bc，
∴（b﹣c）2＝0，即b＝c，
∴2a＝b+c＝b+b＝2b，即a＝b，
∴a＝b＝c，
则△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosB＝ccosC，则该三角形的形状是 等腰或直角三角形 ．（不要使用“△”符号表示三角形）
【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式变形，利用正弦函数的性质得到B＝C或B+C＝90°，即可确定出三角形ABC的形状．
【解答】解：利用正弦定理化简ccosC＝bcosB，得：sinCcosC＝sinBcosB，即12sin2C=12sin2B，
∴sin2C＝sin2B，
∴2C＝2B，或2C+2B＝180°，即B＝C，或B+C＝90°，
则△ABC为等腰或直角三角形．
故答案为：等腰或直角三角形．
14．在△ABC中，已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，则△ABC的形状为 等边三角形 ．
【分析】利用正弦定理化简sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，与2a＝b+c联立得到a＝b＝c，可得出三角形ABC为等边三角形．
【解答】解：由正弦定理化简sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，
又2a＝b+c，即a=b+c2，
∴a2=(b+c)24=bc，即（b+c）2＝4bc，
∴（b﹣c）2＝0，即b＝c，
∴2a＝b+c＝b+b＝2b，即a＝b，
∴a＝b＝c，
则△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形
15．在△ABC中，（BC→+BA→）•AC→=|AC→|2，则△ABC的形状一定是 直角三角形
【分析】由（BC→+BA→）•AC→=（BC→+BA→）•（BC→−BA→）=BC→2−BA→2=|AC→|2，可判断．
【解答】解：△ABC中，（BC→+BA→）•AC→=（BC→+BA→）•（BC→−BA→）
=BC→2−BA→2=|AC→|2，
∴a2+c2＝b2，
∴AB⊥AC，
则△ABC的形状一定是直角三角形
故答案为：直角三角形
16．△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：
（1）（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab
（2）sinA＝2cosBsinC
（3）b＝acosC，c＝acosB
（4）2R(sin2A−sin2C)=(2a−b)sinB
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题 （1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙 ．
【分析】若（1）（2）→甲，由（1）利用平方差及完全平方公式变形得到关于a，b及c的关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的关系式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C为60°，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B﹣C）＝0，由B和C为三角形的内角，得到B﹣C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B＝C，从而得到三角形为等边三角形；
若（2）（4）→乙，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B﹣C）＝0，由B和C为三角形的内角，得到B﹣C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B＝C，再利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=2b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，从而得到三角形为等腰直角三角形；
若（3）（4）→乙，利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=2b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，再利用正弦定理化简（3）中的两等式，分别表示出sinA，两者相等再利用二倍角的正弦函数公式，得到sin2B＝sin2C，由B和C都为三角形的内角，可得B＝C，从而得到三角形为等腰直角三角形．三者选择一个即可．
【解答】解：由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：
证明：由（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，变形得：
a2+b2+2ab﹣c2＝3ab，即a2+b2﹣c2＝ab，
则cosC=a2+b2−c22ab=12，又C为三角形的内角，
∴C＝60°，
又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝2cosBsinC，
即sinBcosC﹣cosBsinC＝sin（B﹣C）＝0，
∵﹣π＜B﹣C＜π，
∴B﹣C＝0，即B＝C，
则A＝B＝C＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：化简得：sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝2cosBsinC，
即sinBcosC﹣cosBsinC＝sin（B﹣C）＝0，
∵﹣π＜B﹣C＜π，
∴B﹣C＝0，即B＝C，
∴b＝c，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，
代入2R(sin2A−sin2C)=(2a−b)sinB得：
2R•（a24R2−c24R2）＝（2a﹣b）•b2R，
整理得：a2﹣b2=2ab﹣b2，即a2=2ab，
∴a=2b，
∴a2＝2b2，又b2+c2＝2b2，
∴a2＝b2+c2，
∴∠A＝90°，
则三角形为等腰直角三角形；
以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，
代入2R(sin2A−sin2C)=(2a−b)sinB得：
2R•（a24R2−c24R2）＝（2a﹣b）•b2R，
整理得：a2﹣b2=2ab﹣b2，即a2=2ab，
∴a=2b，
∴a2＝2b2，又b2+c2＝2b2，
∴a2＝b2+c2，
∴∠A＝90°，
又b＝acosC，c＝acosB，
根据正弦定理得：sinB＝sinAcosC，sinC＝sinAcosB，
∴sinBcosC=sinCcosB，即sinBcosB＝sinCcosC，
∴sin2B＝sin2C，又B和C都为三角形的内角，
∴2B＝2C，即B＝C，
则三角形为等腰直角三角形．
故答案为：（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙
17．在△ABC中，若acosA＝bcosB，且a2+b2＝ab+c2，则△ABC的形状为 等边三角形或直角三角形 ．
【分析】把acosA＝bcosB由正弦定理化边为角，可得A＝B或A+B=π2；由a2+b2＝ab+c2结合余弦定理可得C=π3．从而可得△ABC的形状．
【解答】解：由acosA＝bcosB，结合正弦定理可得，2sinAcosA＝2sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，
又A，B为三角形两内角，∴2A＝2B或2A+2B＝π，
∴A＝B或A+B=π2；
又a2+b2＝ab+c2，∴c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣2abcosC，
则cosC=12，∵C∈（0，π），∴C=π3．
∴△ABC的形状为等边三角形或直角三角形．
故答案为：等边三角形或直角三角形．
18．在△ABC中，若tanAtanB=sinAsinB，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，诱导公式化简已知等式可得sin（π2−B）＝sin（π2−A），由已知可求范围π2−A∈（−π2，π2），π2−B∈（−π2，π2），从而可求π2−B=π2−A，即A＝B，即可判断三角形的形状．
【解答】解：若tanAtanB=sinAsinB，则：sinAcosBsinBcosA=sinAsinB，
因为A，B为三角形内角，sinA≠0，sinB≠0，
可得cosBcosA=1，即cosB＝cosA，
可得sin（π2−B）＝sin（π2−A），
因为A，B∈（0，π），
可得：π2−A∈（−π2，π2），π2−B∈（−π2，π2），
可得π2−B=π2−A，
可得A＝B，即△ABC的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
19．已知三角形ABC的三边长为a，b，c满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为 直角 三角形．（填写形状）
【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾展定理的逆定理，从而可判定其形状．
【解答】解：∵（a+b）2﹣2ab
＝100﹣36
＝64，
∴c2＝64，
∴a2+b2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
20．已知△ABC中，sinA+cosA=15，则三角形ABC的形状是 钝角三角形 ．
【分析】结合已知两边同时平方后，结合三角函数值的符合即可判断A的范围，即可．
【解答】解：∵sinA+cosA=15，
两边同时平方可得，1+2sinAcosA=125，
∴sinAcosA=−1225＜0，
∴sinA＞0，cosA＜0即A为钝角，
故答案为：钝角三角形
21．在△ABC中，给出下列四个结论：
（1）若sinA＝sinB，则△ABC是等腰三角形；
（2）若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形；
（3）若asinA=bsinB=c，则△ABC是直角三角形；
（4）若sinA＞sinB，则A＞B．
其中结论正确的序号是 （1）（3）（4） ．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定（1）（2）（3）（4）的结论．
【解答】解：（1）若sinA＝sinB，利用正弦定理：2RsinA＝2RsinB，整理得a＝b，则△ABC是等腰三角形，故（1）正确；
（2）若acosA＝bcosB，利用正弦定理：整理得：sinAcosA＝sinBcosB，故sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或A+B=π2，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故（2）错误；
（3）若asinA=bsinB=c=csinC，所以C=π2，则△ABC是直角三角形，故（3）正确；
（4）若sinA＞sinB，整理得：2RsinA＞2RsinB，则a＞b，则A＞B，故（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
四．解答题（共1小题）
22．已知α是△ABC的一个内角，且sinα+cosα=15，
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）求sinαcosα+sin2α1−tanα的值．
【分析】（Ⅰ）α是三角形的一个内角，利用sinα+cosα=15∈（0，1），可知此三角形是钝角三角形．
（Ⅱ）已知等式记作①，将已知等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系sin2x+cos2x＝1化简，得出2sinxcosx的值，小于0，可得出sinx大于0，cosx小于0，然后利用完全平方公式化简（sinx﹣cosx）2，再利用同角三角函数间的基本关系化简，并将2sinxcosx的值代入，开方得到sinx﹣cosx的值，记作②，可得出cosx﹣sinx的值；联立①②组成方程组，求出方程组的解得到sinx与cosx的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanx的值，将sinx，cosx及tanx的值代入所求的式子中，化简后即可求出所求式子的值．
【解答】解：（Ⅰ）解：∵α是三角形的一个内角，
∴sinα＞0，
又sinα+cosα=15，
∴（sinα+cosα）2＝1+2sinα•cosα=125，
∴2sinα•cosα=−2425＜0，sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴α为钝角，
∴此三角形是钝角三角形．
（Ⅱ）∵0＜x＜π，sinx+cosx=15①，
∴（sinx+cosx）2=125，即sin2x+2sinxcosx+cos2x＝1+2sinxcosx=125，
∴2sinxcosx=−2425＜0，即sinx＞0，cosx＜0，
∴（sinx﹣cosx）2＝sin2x﹣2sinxcosx+cos2x＝1﹣sin2x=4925，
∴sinx﹣cosx=75②，
则cosx﹣sinx=−75；
联立①②解得：sinx=45，cosx=−35，
∴tanx=sinxcosx=−43，
则 sinxcosx+sin2x1−tanx=45×(−35)−(45)21−(−43)=−1225．
人教版2022届一轮复习打地基练习 三角形的形状判断
一．选择题（共6小题）
1．若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=15，则三角形的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
2．已知△ABC，若对任意k∈R，有|BA→+kCB→|≥|AC→|，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．以上均有可能
3．下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是（ ）
A．sinA+cosA=15 B．tanA+tanB+tanC＞0
C．b＝3，c＝33，B＝30° D．AB→•BC→＜0
4．在△ABC中，若AB→•BC→+AB→2=0，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．在△ABC中，acosB=bcosA，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．在△ABC中，c−a2c=sin2B2（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
二．多选题（共4小题）
7．对于△ABC，有如下判断，其中正确的是（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC必为等腰三角形
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若a＝5，b＝3，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则△ABC必为钝角三角形
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk=sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝5时，△ABC是直角三角形
B．当k＝3时，△ABC是锐角三角形
C．当k＝2时，△ABC是钝角三角形
D．当k＝1时，△ABC是钝角三角形
9．下列条件中，能推导出△ABC是钝角三角形的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，A（1，3），B（4，2），C（﹣1，﹣1）
B．tanA+tanB+tanC＞0
C．cos2B﹣cos2C＞sin2A
D．（sinA﹣cosB）•（sinB﹣cosC）•（sinC﹣cosA）＞0
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，cosB+cosC＝2cosA，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰不等边三角形 D．直角三角形
三．填空题（共11小题）
11．在△ABC中，D是BC的中点，已知∠BAD+∠C＝90°，则△ABC的形状是 ．
12．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，则△ABC一定为 ．（用“直角三角形”“等边三角形”“等腰直角三角形”填空）
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosB＝ccosC，则该三角形的形状是 ．（不要使用“△”符号表示三角形）
14．在△ABC中，已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，则△ABC的形状为 ．
15．在△ABC中，（BC→+BA→）•AC→=|AC→|2，则△ABC的形状一定是
16．△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：
（1）（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab
（2）sinA＝2cosBsinC
（3）b＝acosC，c＝acosB
（4）2R(sin2A−sin2C)=(2a−b)sinB
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题 ．
17．在△ABC中，若acosA＝bcosB，且a2+b2＝ab+c2，则△ABC的形状为 ．
18．在△ABC中，若tanAtanB=sinAsinB，则△ABC的形状是 ．
19．已知三角形ABC的三边长为a，b，c满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为 三角形．（填写形状）
20．已知△ABC中，sinA+cosA=15，则三角形ABC的形状是 ．
21．在△ABC中，给出下列四个结论：
（1）若sinA＝sinB，则△ABC是等腰三角形；
（2）若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形；
（3）若asinA=bsinB=c，则△ABC是直角三角形；
（4）若sinA＞sinB，则A＞B．
其中结论正确的序号是 ．
四．解答题（共1小题）
22．已知α是△ABC的一个内角，且sinα+cosα=15，
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）求sinαcosα+sin2α1−tanα的值．
人教版2022届一轮复习打地基练习 三角形的形状判断
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=15，则三角形的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【分析】把所给的等式两边平方，得2sinαcosα＜0，在三角形中，只能cosα＜0，只有钝角cosα＜0，故α为钝角，三角形形状得判．
【解答】解：∵（sinα+cosα）2=125，∴2sinαcosα=−2425，
∵α是三角形的一个内角，则sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形．
故选：A．
2．已知△ABC，若对任意k∈R，有|BA→+kCB→|≥|AC→|，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．以上均有可能
【分析】图中BC′的长度就是|BA→+kCB→|，要使不等式成立，则|AC|必须是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C为直角．
【解答】解：当k为任意实数时，那么kCB→的方向有可能向左，也可能向右．长度也是不确定的，
图中BC′的长度就是|BA→+kCB→|，可以看出，当BC′垂直CB时，|BA→+kCB→|有最小值，要使不等式成立，
则|AC|必须是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C为直角，
故选：A．
3．下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是（ ）
A．sinA+cosA=15 B．tanA+tanB+tanC＞0
C．b＝3，c＝33，B＝30° D．AB→•BC→＜0
【分析】由平方，运用同角的平方关系，即可判断A；运用两角和的正切公式，即可判断B；
由正弦定理，解得C，A，即可判断C；由向量的数量积的定义，即可判断D．
【解答】解：对于A．sinA+cosA=15平方可得，sin2A+cos2A+2sinAcosA=125，即有2sinAcosA=−2425＜0，则sinA＞0，cosA＜0，A为钝角，则A不满足；
对于B．由于tan（A+C）=tanA+tanC1−tanAtanC=−tanB，即有tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC＞0，
即tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，则为锐角三角形，则B满足；
对于C．运用正弦定理，可得，sinC=csinBb=33×123=32，则C＝60°或120°，则A＝90°或30°，则C不满足；
对于D.AB→⋅BC→=cacos（π﹣B）＜0，即cosB＞0，B为锐角，则D不满足．
故选：B．
4．在△ABC中，若AB→•BC→+AB→2=0，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由条件求得AB→•AC→=0，可得AB→⊥AC→，故∠A=π2，由此可得△ABC的形状．
【解答】解：在△ABC中，AB→•BC→+AB→2=AB→•（AB→+BC→）=AB→•AC→=0，∴AB→⊥AC→，
∴∠A=π2，则△ABC为直角三角形，
故选：B．
5．在△ABC中，acosB=bcosA，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】利用正弦定理asinA=bsinB=2R与二倍角的正弦即可判断三角形的形状．
【解答】解：∵在△ABC中acosB=bcosA，
∴ab=cosBcosA，又由正弦定理asinA=bsinB=2R得：ab=sinAsinB，
∴sinAsinB=cosBcosA，
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π﹣2B，
∴A＝B或A+B=π2．
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
6．在△ABC中，c−a2c=sin2B2（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】由倍角公式化简已知可得1−cosB2=c−a2c，结合余弦定理可得ac=a2+c2−b22ac，可得：a2+b2＝c2，即可判定得解．
【解答】解：∵c−a2c=sin2B2，
∴1−cosB2=c−a2c，
∵cosB=ac，又由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac，
∴可得：a2+b2＝c2，
∴三角形为以∠C为直角的直角三角形．
故选：A．
二．多选题（共4小题）
7．对于△ABC，有如下判断，其中正确的是（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC必为等腰三角形
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若a＝5，b＝3，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则△ABC必为钝角三角形
【分析】对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断．
【解答】解：对于A，若sin2A＝sin2B，则2A＝kπ+（﹣1）k•2B，（k∈Z），当k＝0时，A＝B，△ABC为等腰三角形；当k＝1时，A=π2−B，△ABC为直角三角形，故不正确，
对于B，使用正弦定理证明．若A＞B，则a＞b，由正弦定理asinA=bsinB=2R，得2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB成立．故正确；
对于C，由余弦定理可得：b=52+c2−2×5×c×12=3，可得c2﹣5c+16＝0，△＜0，方程无解，故错误；
对于D，若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则：1﹣sin2A+1﹣sin2B﹣1+sin2C＞1，可得sin2A+sin2B＜sin2C，则根据正弦定理得a2+b2＜c2，可得C为钝角，可得△ABC是钝角三角形，故正确；
综上，正确的判断为，B和D．
故选：BD．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk=sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝5时，△ABC是直角三角形
B．当k＝3时，△ABC是锐角三角形
C．当k＝2时，△ABC是钝角三角形
D．当k＝1时，△ABC是钝角三角形
【分析】由题意根据正弦定理，余弦定理逐一判断各个选项即可得解．
【解答】解：对于A，当k＝5时，sinA5=sinB3=sinC4，根据正弦定理不妨设a＝5m，b＝3m，c＝4m，显然△ABC是直角三角形；
对于B，当k＝3时，sinA3=sinB3=sinC4，根据正弦定理不妨设a＝3m，b＝3m，c＝4m，
显然△ABC是等腰三角形，a2+b2﹣c2＝9m2+9m2﹣16m2＝2m2＞0，
说明∠C为锐角，故△ABC是锐角三角形；
对于C，当k＝2时，sinA2=sinB3=sinC4，根据正弦定理不妨设a＝2m，b＝3m，c＝4m，
可得a2+b2﹣c2＝4m2+9m2﹣16m2＝﹣3m2＜0，说明∠C为钝角，故△ABC是钝角三角形；
对于D，当k＝1时，sinA1=sinB3=sinC4，根据正弦定理不妨设a＝m，b＝3m，c＝4m，
此时a+b＝c，不等构成三角形，故命题错误．
故选：ABC．
9．下列条件中，能推导出△ABC是钝角三角形的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，A（1，3），B（4，2），C（﹣1，﹣1）
B．tanA+tanB+tanC＞0
C．cos2B﹣cos2C＞sin2A
D．（sinA﹣cosB）•（sinB﹣cosC）•（sinC﹣cosA）＞0
【分析】对于A选项，由题意可得A为三角形最大角，由余弦定理可得cosA＜0，可得A为钝角，即可判断；对于B选项，由tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC＞0，不妨设A、B为锐角，则可得tanC＞0，可得C也为锐角，可知△ABC为锐角三角形，即可判断；对于C选项，利用同角三角函数基本关系式可得a2+b2＜c2，进而可知C为钝角，即可判断；对于D选项，取A＝B＝C＝60°，满足条件，但△ABC为锐角三角形，不能推导出△ABC是钝角三角形，即可判断．
【解答】解：对于A选项，|AB|=10，|AC|＝25，|BC|=34，
则|BC|＞|AC|＞|AB|，由余弦定理可得cosA=10+20−342×10×25＜0，可得A为钝角，故A正确；
对于B选项，由于tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC＞0，
由于△ABC中至少有两个锐角，不妨设A、B为锐角，
则tanAtanB＞0，可得tanC＞0，
所以C为锐角，进而可知△ABC为锐角三角形，故B错误；
对于C选项，cos2B﹣cos2C＝1﹣sin2B﹣（1﹣sin2C）＝sin2C﹣sin2B＞sin2A，
即a2+b2＜c2，进而可知C为钝角，能推导出△ABC是钝角三角形，故C正确；
对于D选项，取A＝B＝C＝60°，满足（sinA﹣cosB）•（sinB﹣cosC）•（sinC﹣cosA）＞0，
但△ABC为锐角三角形，不能推导出△ABC是钝角三角形，故D错误．
故选：AC．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，cosB+cosC＝2cosA，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰不等边三角形 D．直角三角形
【分析】由题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围和特殊角的余弦值求出A，进而根据已知可得cosB+cos（2π3−B）＝1，可得sin（B+π6）＝1，进而解得A＝B＝C，即可得解．
【解答】解：因为b2+c2＝a2+bc，
所以由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
又0＜A＜π，
则A=π3，
因为cosB+cosC＝2cosA＝1．
所以cosB+cos（2π3−B）＝cosB−12cosB+32sinB＝1，即：sin（B+π6）＝1，
所以B+π6=π2，可得B=π3，
所以C＝B＝A=π3，即△ABC是等边三角形．
故选：AB．
三．填空题（共11小题）
11．在△ABC中，D是BC的中点，已知∠BAD+∠C＝90°，则△ABC的形状是 等腰或直角三角形 ．
【分析】根据题意，设∠BAD＝α，∠B＝β，可得∠C＝90°﹣α，∠CAD＝90°﹣β，在三角形ABD和三角形ADC中，分别根据正弦定理表示出BD：AD及CD：AD，由D为BC中点，得到BD＝CD，从而得到两比值相等，列出关于α和β的关系式，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简后，得到sin2α＝sin2β，由α和β的范围，可得出α＝β或α+β＝90°，由α＝β根据等角对等边可得AD＝BD＝CD，根据三角形一边上的中线等于这边的一半可得三角形ABC为直角三角形；由α+β＝90°，可得AD与BC垂直，又D为BC中点，故AD垂直平分BC，故AB＝AC，此时三角形ABC为等腰三角形．
【解答】解：根据题意，∵∠BAD+∠C＝90°，
∴∠CAD+∠B＝180°﹣（∠BAD+∠C）＝90°，
设∠BAD＝α，∠B＝β，则∠C＝90°﹣α，∠CAD＝90°﹣β，
在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ＝BD：AD，
sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）＝CD：AD，
又D为BC中点，∴BD＝CD，
∴sinα：sinβ＝sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）＝cosβ：cosα，
∴sinαcosα＝sinβcosβ，即sin2α＝sin2β，
∴2α＝2β或2α+2β＝180°，
∴α＝β或α+β＝90°，
∴BD＝AD＝CD或AD⊥CD，
∴∠BAC＝90°或AB＝AC，
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．
故答案为：等腰或直角三角形
12．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，则△ABC一定为 等边三角形 ．（用“直角三角形”“等边三角形”“等腰直角三角形”填空）
【分析】利用正弦定理化简sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，与2a＝b+c联立得到a＝b＝c，可得出三角形ABC为等边三角形．
【解答】解：由正弦定理化简sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，
又2a＝b+c，即a=b+c2，
∴a2=(b+c)24=bc，即（b+c）2＝4bc，
∴（b﹣c）2＝0，即b＝c，
∴2a＝b+c＝b+b＝2b，即a＝b，
∴a＝b＝c，
则△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosB＝ccosC，则该三角形的形状是 等腰或直角三角形 ．（不要使用“△”符号表示三角形）
【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式变形，利用正弦函数的性质得到B＝C或B+C＝90°，即可确定出三角形ABC的形状．
【解答】解：利用正弦定理化简ccosC＝bcosB，得：sinCcosC＝sinBcosB，即12sin2C=12sin2B，
∴sin2C＝sin2B，
∴2C＝2B，或2C+2B＝180°，即B＝C，或B+C＝90°，
则△ABC为等腰或直角三角形．
故答案为：等腰或直角三角形．
14．在△ABC中，已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，则△ABC的形状为 等边三角形 ．
【分析】利用正弦定理化简sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，与2a＝b+c联立得到a＝b＝c，可得出三角形ABC为等边三角形．
【解答】解：由正弦定理化简sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，
又2a＝b+c，即a=b+c2，
∴a2=(b+c)24=bc，即（b+c）2＝4bc，
∴（b﹣c）2＝0，即b＝c，
∴2a＝b+c＝b+b＝2b，即a＝b，
∴a＝b＝c，
则△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形
15．在△ABC中，（BC→+BA→）•AC→=|AC→|2，则△ABC的形状一定是 直角三角形
【分析】由（BC→+BA→）•AC→=（BC→+BA→）•（BC→−BA→）=BC→2−BA→2=|AC→|2，可判断．
【解答】解：△ABC中，（BC→+BA→）•AC→=（BC→+BA→）•（BC→−BA→）
=BC→2−BA→2=|AC→|2，
∴a2+c2＝b2，
∴AB⊥AC，
则△ABC的形状一定是直角三角形
故答案为：直角三角形
16．△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：
（1）（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab
（2）sinA＝2cosBsinC
（3）b＝acosC，c＝acosB
（4）2R(sin2A−sin2C)=(2a−b)sinB
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题 （1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙 ．
【分析】若（1）（2）→甲，由（1）利用平方差及完全平方公式变形得到关于a，b及c的关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的关系式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C为60°，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B﹣C）＝0，由B和C为三角形的内角，得到B﹣C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B＝C，从而得到三角形为等边三角形；
若（2）（4）→乙，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B﹣C）＝0，由B和C为三角形的内角，得到B﹣C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B＝C，再利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=2b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，从而得到三角形为等腰直角三角形；
若（3）（4）→乙，利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=2b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，再利用正弦定理化简（3）中的两等式，分别表示出sinA，两者相等再利用二倍角的正弦函数公式，得到sin2B＝sin2C，由B和C都为三角形的内角，可得B＝C，从而得到三角形为等腰直角三角形．三者选择一个即可．
【解答】解：由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：
证明：由（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，变形得：
a2+b2+2ab﹣c2＝3ab，即a2+b2﹣c2＝ab，
则cosC=a2+b2−c22ab=12，又C为三角形的内角，
∴C＝60°，
又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝2cosBsinC，
即sinBcosC﹣cosBsinC＝sin（B﹣C）＝0，
∵﹣π＜B﹣C＜π，
∴B﹣C＝0，即B＝C，
则A＝B＝C＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：化简得：sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝2cosBsinC，
即sinBcosC﹣cosBsinC＝sin（B﹣C）＝0，
∵﹣π＜B﹣C＜π，
∴B﹣C＝0，即B＝C，
∴b＝c，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，
代入2R(sin2A−sin2C)=(2a−b)sinB得：
2R•（a24R2−c24R2）＝（2a﹣b）•b2R，
整理得：a2﹣b2=2ab﹣b2，即a2=2ab，
∴a=2b，
∴a2＝2b2，又b2+c2＝2b2，
∴a2＝b2+c2，
∴∠A＝90°，
则三角形为等腰直角三角形；
以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，
代入2R(sin2A−sin2C)=(2a−b)sinB得：
2R•（a24R2−c24R2）＝（2a﹣b）•b2R，
整理得：a2﹣b2=2ab﹣b2，即a2=2ab，
∴a=2b，
∴a2＝2b2，又b2+c2＝2b2，
∴a2＝b2+c2，
∴∠A＝90°，
又b＝acosC，c＝acosB，
根据正弦定理得：sinB＝sinAcosC，sinC＝sinAcosB，
∴sinBcosC=sinCcosB，即sinBcosB＝sinCcosC，
∴sin2B＝sin2C，又B和C都为三角形的内角，
∴2B＝2C，即B＝C，
则三角形为等腰直角三角形．
故答案为：（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙
17．在△ABC中，若acosA＝bcosB，且a2+b2＝ab+c2，则△ABC的形状为 等边三角形或直角三角形 ．
【分析】把acosA＝bcosB由正弦定理化边为角，可得A＝B或A+B=π2；由a2+b2＝ab+c2结合余弦定理可得C=π3．从而可得△ABC的形状．
【解答】解：由acosA＝bcosB，结合正弦定理可得，2sinAcosA＝2sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，
又A，B为三角形两内角，∴2A＝2B或2A+2B＝π，
∴A＝B或A+B=π2；
又a2+b2＝ab+c2，∴c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣2abcosC，
则cosC=12，∵C∈（0，π），∴C=π3．
∴△ABC的形状为等边三角形或直角三角形．
故答案为：等边三角形或直角三角形．
18．在△ABC中，若tanAtanB=sinAsinB，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，诱导公式化简已知等式可得sin（π2−B）＝sin（π2−A），由已知可求范围π2−A∈（−π2，π2），π2−B∈（−π2，π2），从而可求π2−B=π2−A，即A＝B，即可判断三角形的形状．
【解答】解：若tanAtanB=sinAsinB，则：sinAcosBsinBcosA=sinAsinB，
因为A，B为三角形内角，sinA≠0，sinB≠0，
可得cosBcosA=1，即cosB＝cosA，
可得sin（π2−B）＝sin（π2−A），
因为A，B∈（0，π），
可得：π2−A∈（−π2，π2），π2−B∈（−π2，π2），
可得π2−B=π2−A，
可得A＝B，即△ABC的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
19．已知三角形ABC的三边长为a，b，c满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为 直角 三角形．（填写形状）
【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾展定理的逆定理，从而可判定其形状．
【解答】解：∵（a+b）2﹣2ab
＝100﹣36
＝64，
∴c2＝64，
∴a2+b2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
20．已知△ABC中，sinA+cosA=15，则三角形ABC的形状是 钝角三角形 ．
【分析】结合已知两边同时平方后，结合三角函数值的符合即可判断A的范围，即可．
【解答】解：∵sinA+cosA=15，
两边同时平方可得，1+2sinAcosA=125，
∴sinAcosA=−1225＜0，
∴sinA＞0，cosA＜0即A为钝角，
故答案为：钝角三角形
21．在△ABC中，给出下列四个结论：
（1）若sinA＝sinB，则△ABC是等腰三角形；
（2）若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形；
（3）若asinA=bsinB=c，则△ABC是直角三角形；
（4）若sinA＞sinB，则A＞B．
其中结论正确的序号是 （1）（3）（4） ．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定（1）（2）（3）（4）的结论．
【解答】解：（1）若sinA＝sinB，利用正弦定理：2RsinA＝2RsinB，整理得a＝b，则△ABC是等腰三角形，故（1）正确；
（2）若acosA＝bcosB，利用正弦定理：整理得：sinAcosA＝sinBcosB，故sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或A+B=π2，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故（2）错误；
（3）若asinA=bsinB=c=csinC，所以C=π2，则△ABC是直角三角形，故（3）正确；
（4）若sinA＞sinB，整理得：2RsinA＞2RsinB，则a＞b，则A＞B，故（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
四．解答题（共1小题）
22．已知α是△ABC的一个内角，且sinα+cosα=15，
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）求sinαcosα+sin2α1−tanα的值．
【分析】（Ⅰ）α是三角形的一个内角，利用sinα+cosα=15∈（0，1），可知此三角形是钝角三角形．
（Ⅱ）已知等式记作①，将已知等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系sin2x+cos2x＝1化简，得出2sinxcosx的值，小于0，可得出sinx大于0，cosx小于0，然后利用完全平方公式化简（sinx﹣cosx）2，再利用同角三角函数间的基本关系化简，并将2sinxcosx的值代入，开方得到sinx﹣cosx的值，记作②，可得出cosx﹣sinx的值；联立①②组成方程组，求出方程组的解得到sinx与cosx的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanx的值，将sinx，cosx及tanx的值代入所求的式子中，化简后即可求出所求式子的值．
【解答】解：（Ⅰ）解：∵α是三角形的一个内角，
∴sinα＞0，
又sinα+cosα=15，
∴（sinα+cosα）2＝1+2sinα•cosα=125，
∴2sinα•cosα=−2425＜0，sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴α为钝角，
∴此三角形是钝角三角形．
（Ⅱ）∵0＜x＜π，sinx+cosx=15①，
∴（sinx+cosx）2=125，即sin2x+2sinxcosx+cos2x＝1+2sinxcosx=125，
∴2sinxcosx=−2425＜0，即sinx＞0，cosx＜0，
∴（sinx﹣cosx）2＝sin2x﹣2sinxcosx+cos2x＝1﹣sin2x=4925，
∴sinx﹣cosx=75②，
则cosx﹣sinx=−75；
联立①②解得：sinx=45，cosx=−35，
∴tanx=sinxcosx=−43，
则 sinxcosx+sin2x1−tanx=45×(−35)−(45)21−(−43)=−1225．
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