2020-2021学年河北省邢台市某校初三（上）期中考试数学试卷

这是一份2020-2021学年河北省邢台市某校初三（上）期中考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若ab=23，则b2a=（ ）
A.13B.3C.43D.34

2. 一元二次方程xx+5=0化成一般形式后，它的常数项是（ ）
A.−5B.5C.0D.1

3. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦函数值（ ）
A.缩小为原来的12B.不变
C.扩大为原来的2倍D.扩大为原来的4倍

4. 如图：已知 AD//BE//CF，若AB=DE，则（ ）

A.AB=BCB.BC=ADC.BC=EFD.AB=EF

5. 一元二次方程x2−4x=2配方后化为x−22=a，则a的值为（ ）
A.18B.10C.6D.4

6. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1:2，点D是AC的中点，则∠BDC的度数为（ ）

A.30∘B.40∘C.45∘D.60∘

7. 在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为α，若csα=35，则这条射线是( )

A.OAB.OBC.OCD.OD

8. 佳佳同学在解一元二次方程3x2−8xx−2=0时，他是这样做的：
解： 3x2−8xx−2=0
3x−8x−2=0 ………………第一步
−5x+16=0 ………………第二步
−5x=16 ………………第三步
x=−516 ……………第四步
佳佳的解法开始出现错误是从（ ）
A.第一步B.第二步C.第三步D.第四步

9. 在同一水平线上有两个观测点P，Q，从点P观测R点，俯角为30∘，从点Q观测R点，俯角为45∘，则符合条件的示意图是( )
A.B.
C.D.

10. 某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：
若把听、说、读、写的成绩按3:3:2:2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（ ）
A.82B.83C.84D.85

11. 某商场统计五个月来甲、乙两种型号洗衣机的销售情况．制成了条形统计图，则在五个月中，下列说法正确的是( )

A.甲销售量比乙销售量稳定
B.乙销售量比甲销售量稳定
C.甲销售量与乙销售量一样稳定
D.无法比较两种洗衣机销售量稳定性

12. 将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸aa>0，若所得新矩形与原矩形相似，则a的值的个数可以是( )

A.1B.2 C.3D.无数个

13. 疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为x，可列得方程为( )
A.5(1+x+1.5x)=7.8B.5(1+x×1.5x)=7.8
C.5(1+x)(1+1.5x)=7.8D.7.8(1−x)(1−1.5x)=5

14. 如图，在 5×6 的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是( )

A.点AB.点BC.点CD.点D

15. 如图，在△ABC中， ∠ACB=90∘,BC=a，AC=b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax−b2=0的一个根（ ）

A.线段BC的长B.线段AD的长C.线段EC的长D.线段AC的长

16. 据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB位于树的西面．山高AB为未知数，山与树CD相距53里，树高9丈5尺，人（用EF表示）站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼（用E点表示）离地7尺，则山AB的高为（保留到整数，1丈=10尺）（ ）

A.166丈B.165丈C.164丈D.163丈
二、填空题

关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0的解是x=1，那么2−a−b的值是________.

为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了20户家庭的月用水量，结果如下表：
则这20户家庭的月用水量的众数是________m3.

如图1，课本中有一道例题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．设PN=xmm，用x的代数式表示AE= mm，由PN//BC，可得△APN∼△ABC，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，可求得PN= mm.
拓展：原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图2，此时， PN= mm．
三、解答题

求证：相似三角形的周长之比等于相似比．
已知：如图，已知△ABC∼△A1B1C1，用L△ABC，L△A1B1C1分别表示△ABC ，△A1B1C1的周长．
求证：…………
证明：…………
请完成以上求证与证明．


在△ABC中，AB=6,BC=4,∠B为锐角且csB=12.

(1)∠B=___________;

(2)求tanC．

在如图所示的方格中，每个小正方形的边长均为1，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．

(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标及△O1A1B1与△OAB的位似比；

(2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2:1，并写出点B的对应点B2的坐标；

某数学课外小组，开展数学“闯关”游戏（游戏一共10关），根据活动结果，制成如下两幅尚不完整的统计图．

(1)数学课外活动小组的总人数为________；a=_________，请补充完整条形统计图；

(2)求数学课外活动小组的平均闯关次数；

(3)再新加入n名同学闯关，已知这n名同学的闯关次数均大于7，若加入后闯关次数的中位数与原闯关次数的中位数相等，求n的最大值．

如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60∘方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30∘方向上．

(1)求A处与小岛C之间的距离；

(2)渔船到达B处后，航向不变，继续航行多长时间与小岛C的距离恰好为20海里？

对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x=n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0．
(1)代数式x2−2的不变值是________，A=________；

(2)说明代数式3x2+1没有不变值；

(3)已知代数式x2−bx+1，若A=0，求b的值．

如图1，在△ABC中， AB=AC=10，tanB=34，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．

(1)求证： △ABD∼△DCE；

(2)当DE//AB时（如图2），求AE的长；

(3)点D在BC边上运动的过程中，当△AEF是等腰三角形时，直接写出BD的长．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省邢台市某校初三（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
比例的性质
【解析】
根据已知设a=2k，b=3k，代入计算即可.
【解答】
解：∵ab=23，
∴设a=2k，b=3k，
∴b2a=3k4k=34.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．
【解答】
解：∵x x+5=0，
x2+5x=0，
∴ 方程xx+5=0化成一般形式后，它的常数项是0．
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，
所以锐角A的正弦函数值也不变．
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】
解：∵AD//BE//CF,
∴ ABBC=DEEF，
∵ AB=DE,
∴ BC=EF.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
方程两边加上4，左边化为完全平方式，右边合并，即可得到结果．
【解答】
解：x2−4x=2，
两边同时加4得：x2−4x+4=6，
配方得：(x−2)2=6．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
等腰直角三角形
【解析】
直接利用坡度的概念求解即可.
【解答】
解：根据题意，Rt△ABC中，设BC=k,
∵tanA=1:2,
∴AC=BCtanA=2BC=2k.
∵D是AC的中点，
∴DC=12AC=k，
∴DC=BC.
∵∠DCB=90∘，
∴ △BDC是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45∘.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
锐角三角函数的定义--利用网格
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图知：cs∠COx=425=255，不符合题意；
cs∠BOx=45，不符合题意；
cs∠AOx=35，符合题意；
cs∠DOx=117=1717，不符合题意.
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
根据一元二次方程的解法一步步对照即可.
【解答】
解：由题意得，
佳佳的解法开始出现错误是从第一步，应为
3x2−8x2+16x=0.
故选A.
9.
【答案】
A
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
根据俯角的定义分析即可解答.
【解答】
解：根据“朝下看时，视线与水平线夹角为俯角”可知只有A正确.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
加权平均数
【解析】
根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
【解答】
解：张明的平均成绩为：
(90×3+80×3+83×2+82×2)÷10=84.
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
条形统计图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图象知，乙销售量比甲销售量波动小，
故乙销售量比甲销售量稳定.
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
相似图形
矩形的性质
【解析】
利用所作出的四个小矩形与原来的矩形相似，故大矩形也与原来的矩形相似，即可得到结论
【解答】
解：如图，
由于①，②，③，④四个小矩形与原来的矩形相似，
故不论a取何值时，所对应的大矩形始终与原来的矩形相似，
故a可取任何正值．
故选D．
13.
【答案】
C
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
设第1周到第2周的订单增长率为x，根据题意表示出两个月的增长率，列出方程即可．
【解答】
解：第1周到第2周的订单增长率为x，且第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，
所以根据题意可得：
5(1+x)(1+1.5x)=7.8.
故选C.
14.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的判定
【解析】
根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可．
【解答】
解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为FGEF=12，
观察各选项，EGDG=525=12，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选D．
15.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
解一元二次方程-公式法
【解析】
根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可．
【解答】
解：由勾股定理得，AB=AC2+BC2=a2+b2，
∴AD=a2+b2−a，
解方程x2+2ax−b2=0得
x=−2a±4a2+4b22=±a2+b2−a，
∴线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根．
故选B.
16.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
由题意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H于是得到BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里．
过E作EG⊥AB于G，交CD于H，
则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，
∵CD//AB，
∴△ECH∼△EAG，
∴CHAG=EHEG，
∴95−7AG=33+53，
∴AG≈164丈，AB=AG+0.7=164.7≈165丈．
故选B．
二、填空题
【答案】
4
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
把x=1代入方程ax2+bx+2=0，得到a+b的值，再把2−a−b变形为2−a+b，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：把x=1代入方程ax2+bx+2=0得a+b+2=0，
∴ a+b=−2，
∴ 2−a−b=2−a+b=2−−2=4.
故答案为：4．
【答案】
5
【考点】
众数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 由表可以看出，月用水量为5m3的户数最多，
∴ 这20户家庭的月用水量的众数是5m3.
故答案为：5.
【答案】
80−x,48,4807
【考点】
相似三角形的应用
正方形的性质
矩形的性质
【解析】
首先根据提示由相似三角形对应高的比等于相似比进行计算，然后根据矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ=x，则PN=2x，AE=80−x，然后与(1)的方法一样求解．
【解答】
解：设PN=xmm，则PN=PQ=ED=xmm，
AE=AD−ED=(80−x)mm.
∵PN//BC，
∴△APN∼△ABC,
∴PNBC=AEAD,
即x120=80−x80，解得x=48,
∴PN=48mm.
拓展：设PQ=xmm，则PN=2xmm，
AE=AD−ED=(80−x)mm.
∵PN//BC，
∴△APN∼△ABC,
∴PNBC=AEAD,
即2x120=80−x80,
解得x=2407,
PN=2x=4807.
故答案为：80−x；48；4807.
三、解答题
【答案】
求证：L△ABCL△A1B1C1=ABA1B1.
证明：∵△ABC∼△A1B1C1，
∴ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1，
设ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1=k，
∴AB+BC+ACA1B1+B1C1+A1C1=k=ABA1B1，
∴L△ABCL△A1B1C1=ABA1B1．
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
求证：L△ABCL△A1B1C1=ABA1B1.
证明：∵△ABC∼△A1B1C1，
∴ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1，
设ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1=k，
∴AB+BC+ACA1B1+B1C1+A1C1=k=ABA1B1，
∴L△ABCL△A1B1C1=ABA1B1．
【答案】
60∘
(2)作AD⊥BC于D，如图所示：
∵∠B=60∘，
∴∠BAD=90∘−60∘=30∘，
∴BD=12AB=3，
∴AD=3BD=33.
∵BC=4，
∴CD=BC−BD=1，
∴tanC=ADCD=331=33.
【考点】
特殊角的三角函数值
锐角三角函数的定义
含30度角的直角三角形
【解析】
（1）由特殊锐角的三角函数值即可得出答案；
（2）作AD⊥BC于D，求出∠BAD=90∘−60∘=30∘，由直角三角形的性质得出BD=12AB=3，得出AD=3BD=33，求出CD的长，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】
解：(1)∵∠B为锐角且csB=12，
∴∠B=60∘.
故答案为：60∘.
(2)作AD⊥BC于D，如图所示：
∵∠B=60∘，
∴∠BAD=90∘−60∘=30∘，
∴BD=12AB=3，
∴AD=3BD=33.
∵BC=4，
∴CD=BC−BD=1，
∴tanC=ADCD=331=33.
【答案】
解：(1)如图，点P即为所求，点P的坐标为(−5,−1).
因为PA1:PA=6:3=2:1，
所以△O1A1B1与△OAB的位似比为2:1.
(2)如图，△OA2B2为所求，
B2的坐标为(2, 6).
【考点】
作图-位似变换
位似的性质
【解析】
（1）连结O1O且延长，连结A1A且延长，它们的交点为点P，由于A1P:AP=2:1，则△O1A1B1与△OAB的相似比为2:1；
（2）延长OA到A2使OA2=2OA，延长OB到B2使OB2=2OB，连结A2B2，则可得到△OA2B2，然后写出B2的坐标；
【解答】
解：(1)如图，点P即为所求，点P的坐标为(−5,−1).
因为PA1:PA=6:3=2:1，
所以△O1A1B1与△OAB的位似比为2:1.
(2)如图，△OA2B2为所求，
B2的坐标为(2, 6).
【答案】
20,15
(2)数学课外活动小组的平均闯关次数为：
5×2+6×5+7×6+8×3+9×420=7.1.
(3)原闯关成绩分别为：5，5，6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，
中位数为7+72=7.
再新加入n名同学闯关后，若中位数仍然为7，需最右侧的7排第13位，这时n取最大值为5.
【考点】
条形统计图
扇形统计图
加权平均数
中位数
【解析】
（1）用闯7关的人数除以对应的百分比即可求出数学课外活动小组的总人数，用闯8关的人数除以总人数即可求出a的值；
（2）利用加权平均法求出数学课外活动小组的平均闯关次数；
（3）利用中位数的定义求出数据的中位数，进而即可解答.
【解答】
解：(1)数学课外活动小组的总人数为6÷30%=20（人），
a%=3÷20×100%=15%，
∴a=15.
故答案为：20；15.
补全条形统计图如图，
(2)数学课外活动小组的平均闯关次数为：
5×2+6×5+7×6+8×3+9×420=7.1.
(3)原闯关成绩分别为：5，5，6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，
中位数为7+72=7.
再新加入n名同学闯关后，若中位数仍然为7，需最右侧的7排第13位，这时n取最大值为5.
【答案】
解：(1)作BH⊥AC于H．
∵ ∠CBA=∠ABE+∠EBC=120∘,∠CAB=30∘，
∴ ∠ACB=∠BAC=30∘，
∴ BA=BC=30×4060=20（海里）．
∵ BH⊥AC，∴ AH=HC=AB⋅cs30∘=103海里，
∴ AC=2AH=203海里 .
(2)作CG⊥AB交AB的延长线于G．
设渔船到达B处后，航向不变，继续航行到E与小岛C的距离恰好为20海里．
即CE=20海里，∴ BC=CE，
∵ ∠CBE=60∘ ，∴ △BCE是等边三角形，
∴ BE=20，∴ 2030=23，
∴ 继续航行23小时与小岛C的距离恰好为20海里 .
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)作BH⊥AC于H．
∵ ∠CBA=∠ABE+∠EBC=120∘,∠CAB=30∘，
∴ ∠ACB=∠BAC=30∘，
∴ BA=BC=30×4060=20（海里）．
∵ BH⊥AC，∴ AH=HC=AB⋅cs30∘=103海里，
∴ AC=2AH=203海里 .
(2)作CG⊥AB交AB的延长线于G．
设渔船到达B处后，航向不变，继续航行到E与小岛C的距离恰好为20海里．
即CE=20海里，∴ BC=CE，
∵ ∠CBE=60∘ ，∴ △BCE是等边三角形，
∴ BE=20，∴ 2030=23，
∴ 继续航行23小时与小岛C的距离恰好为20海里 .
【答案】
−1和2,3
(2)依题意，得：3x2−x+1=0，
∵ Δ=(−1)2−4×3×1=−11<0，
∴ 该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．
(3)依题意，得：方程x2−(b+1)x+1=0有两个相等的实数根，
∴ Δ=[−(b+1)]2−4×1×1=0，
∴ b1=−3，b2=1．
答：b的值为−3或1．
【考点】
根的判别式
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；
（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3x2−x+1＝0没有实数根，进而可得出代数式3x2+1没有不变值；
（3）由A＝0可得出方程x2−(b+1)x+1＝0有两个相等的实数根，进而可得出△＝0，解之即可得出结论．
【解答】
解：(1)依题意，得：x2−x−2=0，
解得：x1=−1，x2=2，
∴ A=2−(−1)=3．
故答案为：−1和2；3．
(2)依题意，得：3x2−x+1=0，
∵ Δ=(−1)2−4×3×1=−11<0，
∴ 该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．
(3)依题意，得：方程x2−(b+1)x+1=0有两个相等的实数根，
∴ Δ=[−(b+1)]2−4×1×1=0，
∴ b1=−3，b2=1．
答：b的值为−3或1．
【答案】
(1)证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB，
∵ ∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴ ∠CDE=∠BAD，
∴ △ABD∼△DCE.
(2)解：如图，作AM⊥​BC于M，
在Rt△ABM中，
∵ tanB=34=AMBM，
∴ 设AM=3k，则BM=4k，
由勾股定理得，AB2=AM2+BM2，
即102=(3k)2+(4k)2，
解得k=2或k=−2(不合题意，舍去)，
∴ AM=6，BM=8，
∵ AB=AC，AM⊥​BC，
∴ BC=2BM=16，∠B=∠ACB，
∵ DE//AB，
∴ ∠BAD=∠ADE，
∵ ∠ADE=∠B,
∴ ∠BAD=∠ACB，
∵ ∠ABD=∠CBA，
∴ △ABD∼△CBA，
∴ ABBC=BDAB，
∴ DB=AB2BC=254，
∵ DE//AB，
∴ AEAC=DBBC，
∴ AE=AC⋅BDBC=12532.
(3)当AE=EF时，如图，
则∠1=∠F，
∵ AF⊥​AD，
∴ ∠FAD=90∘
∴ ∠1+∠EAD=90∘，∠F+∠ADE=90∘，
∴ ∠EAD=∠ADE，
∵ ∠ADE=∠B，
∴ ∠EAD=∠B，
∵ ∠ACD=∠BCA，
∴ △ACD∼△BCA，
∴ CDCA=ACBC，
∵ AB=AC，
由(2)可得，BC=16，
∴ CD=AC2BC=254，
∴ BD=BC−CD=16−254=394；
当AF=AE时，如图，作AN⊥​DF于N，AM⊥​BC于M，
∵ AF⊥​AD，
∴ ∠FAD=90∘，
∵ ∠ADE=∠B，tanB=34，
∴ tan∠ADE=34=AFAD，
∴ 设AF=3a，AD=4a，
则DF=5a，
∴ AE=3a，S△ADF=12AD⋅​AF=12DF⋅​AN，
∴ AN=AD⋅AFDF=12a5，
∴ 在直角△ANE中，EN=AE2−AN2=9a5，
∴ EF=2EN=18a5,
∴ DE=DF−EF=7a5，
∵ ∠ADE=∠B，∠ADE+∠F=90∘，AF=AE,
∴ ∠B+∠F=∠C+∠DEC=90∘,
∴ ∠EDC=90∘,
∴ DE//AM，
∴ CEAC=DEAM，
∴ 10−3a10=7a56，
解得a=158,
∴ AD=152，
MD=AD2−AM2=92，
∴ BD=8+92=252；
当AF=EF时，设AF=3y，则AD=4y，
DE=5y−3y=2y
∵ △ABD∼△DCE，
∴ ADDE=ABCD，
∴ 10CD=4y2y，
解得CD=5,
∴ BD=BC−CD=11.
综上所述，当△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或394或252.
【考点】
相似三角形综合题
等腰三角形的性质
【解析】
根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质和相似三角形的判定来解答即可.
作AM⊥​BC于M，根据锐角三角函数的定义，设AM=3k，则BM=4k，根据勾股定理得出BC的长，再根据相似三角形的判定和性质得出DB的长，再根据平行线分线段成比例定理即可得出答案.
根据等腰三角形的性质分情况来解答即可.
【解答】
(1)证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB，
∵ ∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴ ∠CDE=∠BAD，
∴ △ABD∼△DCE.
(2)解：如图，作AM⊥​BC于M，
在Rt△ABM中，
∵ tanB=34=AMBM，
∴ 设AM=3k，则BM=4k，
由勾股定理得，AB2=AM2+BM2，
即102=(3k)2+(4k)2，
解得k=2或k=−2(不合题意，舍去)，
∴ AM=6，BM=8，
∵ AB=AC，AM⊥​BC，
∴ BC=2BM=16，∠B=∠ACB，
∵ DE//AB，
∴ ∠BAD=∠ADE，
∵ ∠ADE=∠B,
∴ ∠BAD=∠ACB，
∵ ∠ABD=∠CBA，
∴ △ABD∼△CBA，
∴ ABBC=BDAB，
∴ DB=AB2BC=254，
∵ DE//AB，
∴ AEAC=DBBC，
∴ AE=AC⋅BDBC=12532.
(3)当AE=EF时，如图，
则∠1=∠F，
∵ AF⊥​AD，
∴ ∠FAD=90∘
∴ ∠1+∠EAD=90∘，∠F+∠ADE=90∘，
∴ ∠EAD=∠ADE，
∵ ∠ADE=∠B，
∴ ∠EAD=∠B，
∵ ∠ACD=∠BCA，
∴ △ACD∼△BCA，
∴ CDCA=ACBC，
∵ AB=AC，
由(2)可得，BC=16，
∴ CD=AC2BC=254，
∴ BD=BC−CD=16−254=394；
当AF=AE时，如图，作AN⊥​DF于N，AM⊥​BC于M，
∵ AF⊥​AD，
∴ ∠FAD=90∘，
∵ ∠ADE=∠B，tanB=34，
∴ tan∠ADE=34=AFAD，
∴ 设AF=3a，AD=4a，
则DF=5a，
∴ AE=3a，S△ADF=12AD⋅​AF=12DF⋅​AN，
∴ AN=AD⋅AFDF=12a5，
∴ 在直角△ANE中，EN=AE2−AN2=9a5，
∴ EF=2EN=18a5,
∴ DE=DF−EF=7a5，
∵ ∠ADE=∠B，∠ADE+∠F=90∘，AF=AE,
∴ ∠B+∠F=∠C+∠DEC=90∘,
∴ ∠EDC=90∘,
∴ DE//AM，
∴ CEAC=DEAM，
∴ 10−3a10=7a56，
解得a=158,
∴ AD=152，
MD=AD2−AM2=92，
∴ BD=8+92=252；
当AF=EF时，设AF=3y，则AD=4y，
DE=5y−3y=2y
∵ △ABD∼△DCE，
∴ ADDE=ABCD，
∴ 10CD=4y2y，
解得CD=5,
∴ BD=BC−CD=11.
综上所述，当△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或394或252.
听
说
读
写
张明
90
80
83
82
月用水量（m3）
4
5
6
8
9
户数
4
6
5
4
1