专题05 轨迹方程的求法（学生版）-【高考总复习】2022高考数学满分突破之解析几何篇

专题05 轨迹方程的求法

【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：

1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：

（1）直译法：一般步骤为：

①建系,建立适当的坐标系；

②设点,设轨迹上的任一点P(x，y)；

③列式,列出动点P所满足的关系式；

④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；

⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；

(4)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．

2.解轨迹问题注意：

（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.

（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.

【考点精选例题精析】：

例1、 已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.

例2、已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 

例3、【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

例4、已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

例5、【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。

(1)    求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

例6、过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.

例7、设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线    

例8、[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（I）若在线段上，是的中点，证明；

（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

例9、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程  

例10、如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.

例11、双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。

例12、如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.

例13、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

【达标检测】：

1、设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

2．（2021·江苏高二专题练习）已知点、以及直线，设长为的线段在直线l上移动（如图所示），求直线和的交点M的轨迹方程．

3．（2021·全国高二课时练习）求两动直线与的交点的轨迹方程．

4．（2021·梅河口市第五中学高二开学考试）已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍．

（1）求点的轨迹方程：

（2）若点与点关于点对称，求、两点间距离的最大值；

（3）若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．

5．（2021·宁波市北仑中学）如图，已知，直线，是平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M；

①已知，求的值；

②求的最小值．

6．（2021·安徽省怀远县第一中学高二月考（理））已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于、两点，抛物线在点、处的切线分别为、，且与交于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求点的轨迹方程；

（3）是否存在满足的点？若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．

7．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）过点的直线与抛物线交于P、Q两点.

（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；

（2）抛物线C的焦点为F，若，求直线l的斜率的取值范围.

8．（2021·全国高三专题练习（理））设动点在直线和上的射影分别为点和，已知，其中为坐标原点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过直线上的一点作轨迹的两条切线和(，为切点)，求证：直线经过定点.

9．（2021·安徽省舒城中学高三（理））已知点M是圆与x轴负半轴的交点，过点M作圆C的弦，并使弦的中点恰好落在y轴上．

（1）求点N的轨迹E的方程；

（2）过点的动直线l与轨迹E交于A，B两点，在线段上取点D，满足，，证明：点D总在定直线上．

10．（2021·全国高三专题练习（理））在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）设过定点S（﹣2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

11．（2021·全国高三专题练习（理））在直角坐标系中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大．

（1）求动点M的轨迹方程；

（2）当时，记动点M的轨迹为曲线C，过原点且斜率大于零的直线l交曲线C于点P（异于原点O），过点P作圆的切线交C于另一点Q，证明：为定值．

12．（2021·四川南充·高三（理））已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）若在轨迹上，过点作轨迹的弦，，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．

13．（2021·全国高三专题练习（理））线段的长等于，两端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作斜率为的动直线，交曲线于、两点，若为曲线的左顶点，直线、的斜率分别为、，求证：为定值，并求出该定值．

14．（2021·河北张家口·高三）已知，，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数，设动点P的轨迹为曲线.抛物线与在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线于点B.交抛物线于点E(点B，E不同于点A).

（1）求曲线的方程.

（2）是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由.

15．（2021·全国高二专题练习）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线.

（1）求的轨迹方程，并说明其形状；

（2）过直线上的动点分别作的两条切线、（、为切点），为弦的中点，直线：分别与轴、轴交于点、，求的面积的取值范围.

16．（2021·全国高三）在平面直角坐标系中，的两个顶点，的坐标分别为，，平面内两点，同时满足以下3个条件：

①是三条边中线的交点；②是的外心；③．

（Ⅰ）求的顶点的轨迹方程；

（Ⅱ）若点与（Ⅰ）中轨迹上的点，三点共线，求的取值范围．

17．（2021·江西上饶·高三（理））在平面直角坐标系中，已知点，是动点，且直线的斜率与直线的斜率之和等于直线的斜率.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过作斜率为的直线与轨迹相交于点，点，直线与分别交轨迹于点、，设直线的斜率为，是否存在常数，使得，若存在，求出值，若不存在，请说明理由.

18．（2021·河南高三月考（理））已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么样的曲线；

（2）设，是曲线上的两个动点，直线与交于点，.

①求证：点在定直线上；

②求证：直线与直线的斜率之积为定值.

19．（2021·全国高二期末（文））在平面直角坐标系中，已知点，动点满足关系式.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作一直线交于两点，若的面积是的面积的倍，求弦长.

20．（2020·深圳实验学校高二月考）已知直线（）与抛物线 相交于，两点，且以弦为直径的圆恒经过坐标原点．

（1）证明直线过定点，并求出这个定点；

（2）求动圆的圆心的轨迹方程．