专题18等比数列（文理通用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题18  等比数列及其前n项和

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常考点归纳

常考点01 等比数列中的基本运算

【典例1】

1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则

A．16 B．8 C．4 D．2

【考点总结与提高】

（1）等比数列的基本运算方法：

①等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行．

②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．

（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：

①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而解．

②分类讨论思想．等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．

③整体思想．应用等比数列前n项和公式时，常把，当成整体求解.

【变式演练1】

1．已知等比数列满足,,则（ ）

A． B． C． D．

2．已知等比数列满足，，则

A． B． C． D．

常考点02 等比数列基本性质的应用

【典例2】

1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，，则（    ）

A．12 B．24 C．30 D．32

2．已知为等比数列,,,则（ ）

A． B． C． D．

【考点总结与提高】

等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n项和公式的变形应用等.

注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.

【变式演练2】

1．已知数列{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝（    ）

A．5 B．10 C．15 D．20

2．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为___________．

常考点03 等比数列的通项公式及前n项和

【典例3】

1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ）

A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1

2．设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则

A． B． C． D．

【考点总结与提高】

1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：

（1）通项法．设数列的通项公式来求解；

（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为且各项符号相同，则这个数列可设为，…，，，，…，；

若所给等比数列的项数为，则这个数列可设为，…，，…，.

2．当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便.

3．（1）形如的递推关系式，利用待定系数法可化为 ，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．

（2）形如的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列．

【变式演练3】

1．数列{An}中，A1＝2，Am＋n＝AmAn.若Ak＋1＋Ak＋2＋…＋Ak＋10＝215－25，则k＝（    ）

A．2     B．3     C．4     D．5

2．已知是等比数列，，，则（    ）

A． B． C． D．

常考点04 等差等比混合应用

【典例4】

1.等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（    ）

A． B． C． D．

2．已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（    ）

A．     B．       C．       D．

【考点总结与提高】

等差、等比数列混合题型属于常规题型，解题思路基本相同∶按照其中一种数列的通项公式展开已知中的各项，再根据另一种数列的性质列出等式即可;至于使用哪一种数列的通项公式展开已知中的各项，要根据实际题意以及计算方便与否来决定。

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系：

（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；

（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．

【变式演练4】

1．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（    ）

A． B． C． D．58

【冲关突破训练】

1．等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（   ）

A．     B．     C．     D．

2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 (　　)

A．16 B．8 C．4 D．2

3．已知为等比数列，且，与的等差中项为，则（    ）

A．1 B．2 C．31 D．

4．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A． B．5 C．10 D．15

5．已知等比数列的前n项积记为，若，则（    ）.

A．512 B．256 C．81 D．16

6．设等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A．66 B．65 C．64 D．63

7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．

8．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．

9．已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则的最小值是______．

10．已知等比数列中，为其前项之和，，则______

11．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求.

12．已知数列满足，，设．

（1）求；

（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；

（3）求的通项公式．