2022年中考数学总复习第8讲《一元二次方程及其应用》讲解(含答案) 学案

第8讲　一元二次方程及其应用

1．一元二次方程的概念及解法

2.一元二次方程根的判别式

1．(·温州)若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根，则c的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．－1                  B．1              C．－4              D．4

2．(·舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是(　　)

A．(x＋2)2＝2            B．(x＋1)2＝2      C．(x＋2)2＝3       D．(x＋1)2＝3

3．(·丽水)解方程：(x－3)(x－1)＝3.

【问题】给出以下方程①3x＋1＝0；②x2－2x＝8；③－＝1.

(1)是一元二次方程的是__________；

(2)求出(1)中的一元二次方程的解，并联想还有其他的解法吗？

(3)通过(1)(2)问题解决，你能想到一元二次方程的哪些知识？

　【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一元二次方程的概念以及解法．

类型一　一元二次方程的有关概念

　(1)关于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有实数根，则整数a的最大值是________．

(2)若x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个解，且a≠b，则的值为________．

(3)关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1，(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是________．

【解后感悟】(1)切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；(2)注意解题中的整体代入思想；(3)注意由两个方程的特点进行简便计算．

1．(1)(·南京模拟)关于x的一元二次方程(a2－1)x2＋x－2＝0是一元二次方程，则a满足(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．a≠1               B．a≠－1          C．a≠±1        D．为任意实数

(2)已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为____________________．

类型二　一元二次方程的解法

　解下列方程：

(1)(3x－1)2＝(x＋1)2；

(2)2x2＋x－＝0.

【解后感悟】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．一般没有特别要求的不用配方法．解题关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．

2．解方程：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7；

(2)x(x－2)＋x－2＝0.

类型三　一元二次方程根的判别式

　(1)(·潍坊)若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．

(2)(·台州)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________(填序号)．

【解后感悟】在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，需要把握根的三种存在情况：b2－4ac≥0，方程有实数根(两个相等或两个不相等)；b2－4ac＜0，无实数根．

3．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例是(　　)

A．b＝－1             B．b＝2           C．b＝－2             D．b＝0

4．若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实根，则k的非负整数值是____________________．

5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值．

类型四　与几何相关的综合问题

(1)      在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，则道路的宽为________m.

(2)(·张家口模拟)如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a＝1，则b＝________．

(3)(·广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是________．

【解后感悟】(1)此题关键是将四个矩形以恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．(2)此题是一个信息题目，首先根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．(3)本题关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想．要随时注意三边之间满足的关系“任意两边之和大于第三边”．

6．(1)(·台湾)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？(　　)

A.               B.            C．2－            D．4－2

(2)一个直角三角形的两条边长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，则此直角三角形的面积等于　　　　　　　　.

(3)有一块长32cm，宽24cm的长方形纸片，如图，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是____________________cm.

类型五　一元二次方程在生活中的应用

　(1)(·济宁市任城区模拟)某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为________．

(2)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)计划安排15场比赛，则参加比赛的球队应有________队．

(3)商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是________．

(4)将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货________个．

【解后感悟】(1)若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b；(2)关键是准确找到描述语，根据等量关系准确地列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解；(3)此题打a折转化是解决问题的关键；(4)解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

7．(1)(·宁波市镇海区模拟)毕业典礼后，九年级(1)班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，全班共送贺卡1190张，则九年级(1)班人数为____________________人．

(2)(·山西模拟)将一些半径相同的小圆按如图的规律摆放，请仔细观察，第____________________个图形有94个小圆．

【探索研究题】

1．(1)(·温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是(　　)

A．x1＝1，x2＝3 

B．x1＝1，x2＝－3

C．x1＝－1，x2＝3 

D．x1＝－1，x2＝－3

(2)(·宁波市北仑区模拟)已知m是方程x2－x＋1＝0的一个根，则代数式m2－m＋＋3的值是________．

【方法与对策】(1)此题主要利用了方程结构相同的整体代入的方法求一元二次方程的解；(2)此题主要利用了一元二次方程的解得到已知式，再利用整体代入的方法求值．该题型是中考命题方法之一．

【忽视一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中“a≠0”】

已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是________．

参考答案

第8讲　一元二次方程及其应用

【考点概要】

1．一　2　降次　配方　因式分解　2.b2－4ac　有两个不相等　有两个相等　没有

【考题体验】

1．B　2.B　3.x1＝0，x2＝4.

【知识引擎】

【解析】(1)②；　(2)x1＝4，x2＝－2(配方法)，其他方法：因式分解法、公式法；　(3)一元二次方程的概念以及解法．

【例题精析】

例1　(1)①若a＝6，则方程有实数根，②若a≠6，则Δ≥0，∴64－4×(a－6)×6≥0，整理得：a≤，∴a的最大值为8；(2)∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个解，∴x＝1满足一元二次方程ax2＋bx－40＝0，∴a＋b－40＝0，即a＋b＝40①，＝＝，即＝②，把①代入②，得＝20.(3)∵关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1，(a，m，b均为常数，a≠0)，∴方程a(x＋m＋2)2＋b＝0变形为a[(x＋2)＋m]2＋b＝0，即此方程中x＋2＝－2或x＋2＝1，解得x＝－4或x＝－1.

例2　(1)将方程(3x－1)2＝(x＋1)2移项得，(3x－1)2－(x＋1)2＝0，∴(3x－1＋x＋1)(3x－1－x－1)＝0，∴4x(2x－2)＝0，∴x(x－1)＝0，解得x1＝0，x2＝1.　(2)∵2x2＋x－＝0，可得，a＝2，b＝1，c＝－，∴x＝－±.　例3　(1)∵关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac≥0，即：4－4k≥0，解得：k≤1，∵关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0中k≠0，故答案为：k≤1且k≠0.(2)当m＝0时，x＝－1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2＋x－m＋1＝0是一元二次方程，Δ＝1－4m(1－m)＝1－4m＋4m2＝(2m－1)2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2＋x－m＋1＝0分解为(x＋1)(mx－m＋1)＝0，当x＝－1时，m－1－m＋1＝0，即x＝－1是方程mx2＋x－m＋1＝0的根，③正确；故答案为①③.

例4　(1)设道路的宽为x米．依题意得：(32－x)(20－x)＝135×4，解之得x1＝2，x2＝50(不合题意舍去)，∴道路宽为2m.(2)依题意得(a＋b)2＝b(b＋a＋b)，而a＝1，∴b2－b－1＝0，∴b＝.(3)∵x2－7x＋10＝0，∴(x－2)(x－5)＝0，x1＝2，x2＝5，①等腰三角形的三边是2，2，5，∵2＋2<5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2＋5＋5＝12；即等腰三角形的周长是12.故答案：12.

例5　(1)20%；(2)6；(3)200××＝128，得a＝8；(4)设销售价x元/个，得[500－10(x－50)]·(x－40)＝8000，∴x＝60或x＝80，∴应进货400或200个．

【变式拓展】

1．(1)C　(2)1　

2.       (1)x1＝2，x2＝4　(2)x1＝2，x2＝－1　

3.A　

4.1　

5.       ∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0，b2＝4a.∴＝＝＝.∵a≠0，∴原式＝＝＝＝4.　
6.       (1)D　(2)6或　(3)4　

7.(1)35　(2)9

【热点题型】

【分析与解】(1)先把方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0看作关于2x＋3的一元二次方程，利用题中的解得到2x＋3＝1或2x＋3＝－3，所以x1＝－1，x2＝－3.故选D.　(2)根据一元二次方程根的定义得到m2＝m－1，再利用整体代入的方法得到原式＝m－1－m＋＋3＝－1－m＋m＋3＝2.故答案是2.

【错误警示】

m≤且m≠1，由一元二次方程有实数根，则12－4(m－1)≥0且m－1≠0.∴m≤且m≠1.