人教版新课标B选修4-5排序不等式教案设计

一、教学目标

1．了解排序不等式的数学思想和背景．

2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

1．了解排序不等式的数学思想和背景．

2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．

四、教学难点

1．了解排序不等式的数学思想和背景．

2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．

五、教学过程

（一）导入新课

某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．

【解析】　取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.

所以最少花费为19元，最多花费为25元．

【答案】　19　25

（二）讲授新课

教材整理1　顺序和、乱序和、反序和的概念

设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和                  为顺序和，和                  为乱序和，相反顺序相乘所得积的和                      称为反序和．

教材整理2　排序不等式

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则                    ≤                  ≤                      ，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为       ≤       ≤顺序和．

（三）重难点精讲

题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定)

例1已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：

(1)≥≥；

(2)＋＋≥＋＋.

【精彩点拨】　由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．

【自主解答】　(1)∵a≥b>0，于是≤.

又c>0，∴>0，从而≥，

同理，∵b≥c>0，于是≤，

∴a>0，∴>0，于是得≥，

从而≥≥.

(2)由(1)知≥≥>0且a≥b≥c>0，

∴≥≥，a2≥b2≥c2.

由排序不等式，顺序和≥乱序和得

＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋，

故＋＋≥＋＋.

规律总结：利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．

[再练一题]

1．本例题中条件不变，求证：＋＋≥＋＋.

【证明】　∵a≥b≥c≥0，

∴a5≥b5≥c5，

≥≥＞0.

∴≥≥，

∴≥≥，由顺序和≥乱序和得

＋＋≥＋＋

＝＋＋，

∴＋＋≥＋＋.

题型二、字母大小顺序不定的不等式证明

例2设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋.

【精彩点拨】　(1)题目涉及到与排序有关的不等式；

(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．

【自主解答】　不妨设0<a≤b≤c，则a3≤b3≤c3，

0<≤≤，

由排序原理：乱序和≤顺序和，得

a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·，

a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·.

将上面两式相加得

＋＋≤2，

将不等式两边除以2，

得＋＋≤＋＋.

规律总结：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．

[再练一题]

2．设a1，a2，…，an为正数，求证：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.

【证明】　不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则

a≤a≤…≤a，≥≥…≥.

由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以

＋＋…＋＋≥a·＋a·＋…＋a·，即

＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.

题型三、利用排序不等式求最值

例3　设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表示其对边，求的最小值(A，B，C用弧度制表示)．

【精彩点拨】　不妨设a≥b≥c＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．

【自主解答】　不妨设a≥b≥c，

则A≥B≥C.

由排序不等式，得

aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，

aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，

aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，

将以上三式相加，得

3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，

当且仅当A＝B＝C＝时，等号成立．

∴≥，

即的最小值为.

规律总结：

1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．

2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．

[再练一题]

3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝＋＋的最小值．

【解】　不妨设x≥y≥z>0，则x2≥y2≥z2，≥≥.

由排序不等式，乱序和≥反序和．

＋＋

≥x2·＋y2·＋z2·

＝x＋y＋z.

又x＋y＋z＝1，＋＋≥1，

当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．

故t＝＋＋的最小值为1.

题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题

例4　若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？

【精彩点拨】　这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t1 min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1 min，依此类推，等候的总时间为3t1＋2t2＋t3 min，求其最小值即可．

【自主解答】　设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，

由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，

所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．

规律总结：

1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．

2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．

[再练一题]

4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？

【解】　根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．

即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min依次等水，等待的总时间最少．

（四）归纳小结

排序不等式—

（五）随堂检测

1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是(　　)

A．M>N       B．M≥N       C．M<N       D.M≤N

【解析】　由排序不等式，知M≥N.

【答案】　B

2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是(　　)

A．P>Q       B．P≥Q       C．P<Q       D.P≤Q

【答案】　B

3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________.

【解析】　由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，

∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.

【答案】　32　28

六、板书设计

七、作业布置

八、教学反思