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2021届一轮复习 必修一 子集与真子集 打地基练习
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这是一份2021届一轮复习 必修一 子集与真子集 打地基练习，共20页。试卷主要包含了已知集合A＝{，欧拉公式等内容，欢迎下载使用。
2021届一轮复习 必修一 子集与真子集 打地基练习
一．选择题（共16小题）
1．已知集合A＝{0，1}，B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．已知集合M＝{0，1，2}，则M的子集有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
3．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜4}，则集合A的非空子集个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
4．集合A＝{﹣2，1，2，3}的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
5．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．16
6．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈N，y∈N}，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．9 C．15 D．16
7．已知集合A＝{x|x2+x＝0，x∈R}，则集合A的非空子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．欧拉公式：eπi+1＝0被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A＝{e，π，i，1，0}，则集合A不含无理数的子集共有（ ）
A．8个 B．7个 C．4个 D．3个
9．集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
10．已知集合A＝{ 1，2}，B＝{x|ax﹣1＝0}，满足B⊆A的实数a组成集合C子集个数是（ ）
A．4 个 B．8 个 C．16 个 D．32个
11．集合A＝{2018，2019，2020}的非空真子集有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
12．集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
13．已知集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x＝，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．63
14．已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
15．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，P＝A∩B，则P的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
16．已知集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以（﹣1）k再求和，例如A＝{2，3，8}，则可求得和为（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）8•8＝7，对S的所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．508 B．512 C．1020 D．1024
二．填空题（共20小题）
17．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{y|ay+2＝0，a∈R}，若满足M∩N＝N的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个 ．
18．集合{1，3，5}的非空真子集的个数为 ．
19．已知集合A＝{x∈N|y＝lg（4﹣x）}，则A的子集个数为 ．
20．有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{2}的“积数”为2，{2，3}的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为 ．
21．设集合I＝{1，2，3，4}，若非空集合A满足：①A⊆I；②card（A）≤min（A）（其中card（A）表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为 ．
22．若集合A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}是B＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}的子集，则a的取值范围是 ．
23．设集合A＝{a1，a2，a3，a4}，若集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B＝{2，5，6，8}，则集合A＝ ．
24．已知集合A＝{x∈Z|1＜x≤3}，则它的真子集有 个．
25．已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝ ．
26．设集合S＝{a1，a2，a3，a4}，若集合S的所有非空子集的元素之和是40，则a1+a2+a3+a4＝ ．
27．集合A＝{x|x＝sin，k∈Z}的真子集的个数是 ．
28．已知集合A＝{﹣1，0，1，7}，则集合A的非空真子集的个数为 ．
29．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为 ．
30．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为 ．
31．满足集合{1，2}⊊M⊊{1，2，3，4，5}的集合M的个数是 ．
32．集合M满足{a，b，c}⊆M⊆{a，b，c，d，e}，则这样的集合M有 个．
33．已知集合A＝{﹣2，0，1，3}，B＝{x|﹣＜x＜}，则A∩B的子集个数为 ．
34．集合A＝{a|a＝2k，k∈N}，集合B＝{b|b＝[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1），n∈Z}，下列A，B间的类系：①A为B的真子集；②B为A的真子集；③A＝B，其中正确的是 ．
35．设A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，若存在非空集合C，使C中的每一个元素加上2变成A的一个子集，且C的每一个元素都减去2变成了B的子集，则集合C所有可能的情况为 ．
36．已知集合A＝{1，a，a2﹣1}，若0∈A，则a＝ ；A的子集有 个．
三．解答题（共5小题）
37．已知集合A＝{1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为Ak，1，Ak，2，Ak，3，…，Ak，m，其中1≤k≤n，k∈N*，m∈N*．
当1≤j≤m，j∈N*时，设Ak，j＝{x1，x2，……，xk}，且x1＜x2＜x3＜…＜xk．
定义：S（Ak，j）＝xk﹣xk﹣1+xk﹣2﹣…+（﹣1）k+1x1；
T[k]＝S（Ak，1）+S（Ak，2）+S（Ak，3）+…+S（Ak，m）．
（Ⅰ）若n＝5，
（ⅰ）写出满足S（A4，j）＝2的一个集合A4，j，并写出j的最大值；
（ⅱ）求T[1]+T[2]+[3]的值；
（Ⅱ）若存在唯一的n∈N*，使得T[1]+T[2]+…+T[n]＝1024，求n的值．
38．对于给定的正整数n（n≥2）若有限集合A＝{a1，a2，…，an}⊆M，且满足a1+a2+....+an＝a1•a2…•an，则称A为集合M的n元“调和子集”．
（Ⅰ）写出有理数集Q的一个2元“调和子集”；
（Ⅱ）证明：自然数集N不存在2元“调和子集”；
（Ⅲ）求出自然数集N的所有3元“调和子集”．
39．已知不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解集为A．
（1）若a＝2，求集合A；
（2）若集合A是集合{x|﹣4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．
40．已知集合A＝{x|x2+2x﹣a＝0}．
（1）若∅是A的真子集，求a的范围；
（2）若B＝{x|x2+x＝0}，且A是B的子集，求实数a的取值范围．
41．设集合An＝{1，2，3，…，n}，其中n∈N*，如果An的一个二元子集B＝{a，b}满足53|（a+b），则称集合B具有性质P，其中53|（a+b）表示a+b能够被53整除．
（1）分别判断集合A26与A101是否存在具有性质P的二元子集（直接写出判断结果）；
（2）求集合A2020的具有性质P的二元子集的个数；
（3）如果集合A2020的一组二元子集都具有性质P，且这组子集中任意两个集合的交集都是空集，那么这组二元子集的个数最多是多少？
2021届一轮复习 必修一 子集与真子集 打地基练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．已知集合A＝{0，1}，B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【分析】先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．
【解答】解：由题意可知，
集合B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}＝{0，1，2}，
则B的子集个数为：23＝8个，
故选：D．
2．已知集合M＝{0，1，2}，则M的子集有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
【分析】若集合M有n个元素，则集合M有2n个子集．
【解答】解：∵集合M＝{0，1，2}，
∴M的子集有23＝8个．
故选：D．
3．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜4}，则集合A的非空子集个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【分析】先求出集合A，再由子集的定义能求出集合A的非空子集个数．
【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜4}＝{0，1，2，3}，
∴集合A的非空子集个数为：24﹣1＝15．
故选：C．
4．集合A＝{﹣2，1，2，3}的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【分析】由含有n个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案．
【解答】解：∵集合A＝{﹣2，1，2，3}；
则集合A真子集的个数为24﹣1＝15个，
故选：B．
5．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．16
【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⊆C⊆B的集合C的个数．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，
∴满足A⊆C⊆B的集合C有：
{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，
共8个．
故选：B．
6．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈N，y∈N}，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．9 C．15 D．16
【分析】可以求出集合A，并可确定集合A所含元素的个数，从而可得出A的子集个数．
【解答】解：∵A＝{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，
∴集合A的子集个数为：24＝16．
故选：D．
7．已知集合A＝{x|x2+x＝0，x∈R}，则集合A的非空子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先求出集合A，再利用集合非空子集个数为（2n﹣1）个即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x2+x＝0，x∈R}＝{0，1}，
集合A的非空子集个数是22﹣1＝3，
故选：C．
8．欧拉公式：eπi+1＝0被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A＝{e，π，i，1，0}，则集合A不含无理数的子集共有（ ）
A．8个 B．7个 C．4个 D．3个
【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集．
【解答】解：集合A＝{e，π，i，1，0}，
∵集合A中不是无理数的有i，1，0，
∴集合A不含无理数的子集共有：23＝8．
故选：A．
9．集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【分析】先求出集合A，再根据集合A的元素个数即可求出集合A的子集个数．
【解答】解：∵A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，
∴集合A的子集个数为23＝8个，
故选：D．
10．已知集合A＝{ 1，2}，B＝{x|ax﹣1＝0}，满足B⊆A的实数a组成集合C子集个数是（ ）
A．4 个 B．8 个 C．16 个 D．32个
【分析】利用分类讨论方法求得满足B⊆A的实数a的可能取值，再根据含有n个元素的集合的子集个数为2n来解答．
【解答】解：当B＝∅时，a＝0；
当B≠∅时，a≠0，B＝{}，
B⊆A，则a＝1或，
∴C＝{0，1，}，
∴集合C的子集有23＝8个．
故选：B．
11．集合A＝{2018，2019，2020}的非空真子集有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】若集合中有n个元素，则集合A有2n﹣2个元素．
【解答】解：集合A＝{2018，2019，2020}的非空真子集有：
23﹣2＝6（个）．
故选：B．
12．集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】根据条件，让x从0开始取值，求出对应的y值：x＝0，y＝6；x＝1，y＝5；x＝2，y＝2；x＝3，y＝﹣3，显然x往后取值对应的y值都小于0，所以集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}，这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数．
【解答】解：x＝0时，y＝6；
x＝1时，y＝5；
x＝2时，y＝2；
x＝3时，y＝﹣3；
∵函数y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；
∴x≥3时，y＜0；
∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}；
∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；
∴该集合的真子集个数为7．
故选：C．
13．已知集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x＝，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．63
【分析】由集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x＝，a∈M，b∈N}，求出集合P，由此能求出集合P的子集个数．
【解答】解：集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，
P＝{x|x＝，a∈M，b∈N}，
∴P＝{1，2，4，8}，
∴集合P的子集个数为：24＝16．
故选：C．
14．已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据集合的基本运算进行求解．
【解答】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，
则A∩B＝{8，14}，
故集合A∩B中元素的个数为2个．
故选：D．
15．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，P＝A∩B，则P的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【分析】进行交集的运算即可求出P＝{2}，然后即可得出P的子集的个数．
【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，3}，
∴P＝A∩B＝{2}，
∴P的子集共有21＝2个．
故选：A．
16．已知集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以（﹣1）k再求和，例如A＝{2，3，8}，则可求得和为（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）8•8＝7，对S的所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．508 B．512 C．1020 D．1024
【分析】根据集合S，求出它的非空子集A的个数，在所有子集中，各个元素出现的次数，即可解答．
【解答】解：S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对它的非空子集A共有255个，
其中1，2，3，4，5，6，7，8都出现了27次
依题意得：27[（﹣1）1•1+（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）4•4+（﹣1）5•5+（﹣1）6•6+（﹣1）7•7+（﹣1）8•8]＝512．
故选：B．
二．填空题（共20小题）
17．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{y|ay+2＝0，a∈R}，若满足M∩N＝N的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个 8 ．
【分析】求出集合M＝{﹣3，2}，N＝{﹣}，由M∩N＝N，得N⊂M，从而﹣不存在，或﹣＝﹣3，或﹣，进而求出集合A，由此能求出A的子集个数．
【解答】解：∵集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，
N＝{y|ay+2＝0，a∈R}＝{﹣}，
∵M∩N＝N，∴N⊂M，
∴﹣不存在，或﹣＝﹣3，或﹣，
解得a＝0或a＝或a＝﹣1，
∴集合A＝{﹣1，0，}，
∴A的子集有23＝8个．
故答案为：8．
18．集合{1，3，5}的非空真子集的个数为 6 ．
【分析】利用真子集的定义直接求解．
【解答】解：集合{1，3，5}的非空真子集有：
{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共6个．
故答案为：6．
19．已知集合A＝{x∈N|y＝lg（4﹣x）}，则A的子集个数为 16 ．
【分析】可以求出集合A，根据集合A的元素个数即可得出A的子集个数．
【解答】解：∵A＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}，
∴A的子集个数为24＝16．
故答案为：16．
20．有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{2}的“积数”为2，{2，3}的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为 1010 ．
【分析】先运用数学归纳法证明：对于有限非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}，“积数”的和为Sn＝（1+a1）（1+a2）…（1+an）﹣1．计算即可得到所求和．
【解答】解：先证明一个结论：对于有限非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}，“积数”的和为Sn＝（1+a1）（1+a2）…（1+an）﹣1．
运用数学归纳法证明：①当n＝1时，Sn＝1+a1﹣1＝a1＝S1，成立；
②假设n＝k（k≥1）时，Sk＝（1+a1）（1+a2）…（1+ak）﹣1，
当n＝k+1时，Sk+1＝Sk+ak+1+Sk•ak+1＝Sk+（Sk+1）ak+1＝（1+a1）（1+a2）…（1+ak）﹣1+（1+a1）（1+a2）…（1+ak）ak+1，
＝（1+a1）（1+a2）…（1+ak）（1+ak+1）﹣1，成立．
综上可得，∀n∈N*，Sn＝（1+a1）（1+a2）…（1+an）﹣1．
则数集的所有非空子集的“积数”的和为（1+）（1+）（1+）…（1+）﹣1
＝×××…×﹣1＝﹣1＝1010．
21．设集合I＝{1，2，3，4}，若非空集合A满足：①A⊆I；②card（A）≤min（A）（其中card（A）表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为 7 ．
【分析】集合I＝{1，2，3，4}，非空集合A共有24﹣1＝15个，根据card（A）≤min（A）即可得出I的所有好子集的个数．
【解答】解：集合I＝{1，2，3，4}，非空集合A共有24﹣1＝15个，
其中满足card（A）≤min（A）的共有7个，
分别为{1}，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}．
∴I的所有好子集的个数为7．
故答案为：7．
22．若集合A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}是B＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}的子集，则a的取值范围是 {a|a≤3} ．
【分析】由题意分类讨论集合A为空集和非空集合两种情况确定实数a的取值范围即可．
【解答】解：当a+1＞2a﹣1，即a＜2时，集合A为空集，满足题意，
当集合A非空，即a≥2时，由于集合B＝{x|﹣2≤x≤5}，
此时应满足：，即，据此可得：2≤a≤3．
综上可得，实数a的取值范围是{a|a≤3}．
故答案为：{a|a≤3}．
23．设集合A＝{a1，a2，a3，a4}，若集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B＝{2，5，6，8}，则集合A＝ {﹣1，1，2，5} ．
【分析】由集合A的所有三元子集中，每个元素均出现3次，推导出a1+a2+a3+a4＝7，由此能求出集合A．
【解答】解：集合A的所有三元子集中，每个元素均出现3次，
所以3（a1+a2+a3+a4）＝2+5+6+8＝21，
故a1+a2+a3+a4＝7，
所以不妨设a1＝7﹣（a2+a3+a4）＝7﹣8＝﹣1，
a2＝7﹣（a1+a3+a4）＝7﹣6＝1，
a3＝7﹣（a2+a1+a4）＝7﹣5＝2，
a4＝7﹣（a2+a3+a1）＝7﹣2＝5，
∴A＝{﹣1，1，2，5}．
故答案为：{﹣1，1，2，5}．
24．已知集合A＝{x∈Z|1＜x≤3}，则它的真子集有 3 个．
【分析】求出集合A，求出A的子集即可．
【解答】解：集合A＝{x∈Z|1＜x≤3}＝{2，3}，
则它的真子集有∅，{2}，{3}共3个，
故答案为：3．
25．已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝ 1或﹣ ．
【分析】推导出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a﹣1）＝0，由此能求出实数a的值．
【解答】解：∵集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，且A的子集个数为2个，
∴（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，
当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，解得x＝，
当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，
△＝9+8（a﹣1）＝0，解得a＝﹣．
∴实数a的值为1或﹣．
故答案为：1或﹣．
26．设集合S＝{a1，a2，a3，a4}，若集合S的所有非空子集的元素之和是40，则a1+a2+a3+a4＝ 5 ．
【分析】利用集合的非空子集个数先求出含每个元素的集合个数，在进行求和即可．
【解答】解：设集合S＝{a1，a2，a3，a4}，
由一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，非空子集有（2n﹣1）个可得：
含有元素a1的集合有23＝8个，
含有元素a2的集合有23＝8个，
含有元素a3的集合有23＝8个，
含有元素a4的集合有23＝8个，
若集合S的所有非空子集的元素之和是40，
则集合S的所有元素和为8（a1+a2+a3+a4）＝40，
则a1+a2+a3+a4＝5；
故答案为：5．
27．集合A＝{x|x＝sin，k∈Z}的真子集的个数是 7 ．
【分析】先结合正弦函数的周期性解出集合A，再通过真子集个数的计算公式即可得出答案．
【解答】解：因为正弦函数y＝sinx的周期为2π，不妨让k取1，2，3，4，
得到集合A＝{1，0，﹣1}，集合A中共有3个元素，
故集合A得真子集得个数是23﹣1＝7个．
故答案为：7．
28．已知集合A＝{﹣1，0，1，7}，则集合A的非空真子集的个数为 14 ．
【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣2个非空真子集．
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，7}，
∴集合A的非空真子集的个数为：24﹣2＝14．
故答案为：14．
29．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为 {0，1，﹣1} ．
【分析】由集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，说明集合中元素只有一个，同理讨论二次项系数与0的关系，结合根与系数得到关系求m．
【解答】解：由题意，①当m＝0时，方程为﹣2x＝0，解得x＝0，满足A＝{0}仅有两个子集；
②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以△＝4﹣4m2＝0，解得m＝±1；
所以实数m的取值构成的集合为：{0，1，﹣1}．
故答案为：{0，1，﹣1}．
30．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为 196 ．
【分析】根据题意得到满足题意的集合所含的元素至少在{1，2，3}中取一个，至少在{6，7，8}中取一个，集合{4，5}中的元素可取或不取，求解即可．
【解答】解：∵A∪B＝U，A∩B＝{4，5}，
∴满足题意的集合所含的元素至少在{1，2，3}中取一个，
且至少在{6，7，8}中取一个，集合{4，5}中的元素可取或不取，
∴满足题意的集合共有（23﹣1）（23﹣1）×22＝196．
故答案为：196．
31．满足集合{1，2}⊊M⊊{1，2，3，4，5}的集合M的个数是 6 ．
【分析】根据真子集的定义可知，M至少含有三个元素，根据子集的定义知M最多含有四个元素，采用列举法进行求解．
【解答】解：∵集合{1，2}⊊M⊊{1，2，3，4，5}，
∴M中至少含有三个元素且必有1，2，
而M为集合{1，2，3，4，5}的真子集，故最多四个元素，
∴M＝{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，5}或{1，2，3，4}，
或{1，2，3，5}，或{1，2，4，5}，共6个，
故答案为：6．
32．集合M满足{a，b，c}⊆M⊆{a，b，c，d，e}，则这样的集合M有 4 个．
【分析】集合M中一定含有元素a，b，c，然后写出集合{a，b，c，d，e}的含有元素a、b，c的所有子集．
【解答】解：满足条件{a，b，c}⊆M⊆{a，b，c，d，e}的集合M有：{a，b，c}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，c，d，e}．共4个．
故答案为：4．
33．已知集合A＝{﹣2，0，1，3}，B＝{x|﹣＜x＜}，则A∩B的子集个数为 8 ．
【分析】进行交集的运算求出A∩B，从而得出A∩B的元素个数，进而可得出A∩B的子集个数．
【解答】解：∵A＝{﹣2，0，1，3}，B＝{x|﹣＜x＜}，
∴A∩B＝{﹣2，0，1}，
∴A∩B的子集个数为：23＝8个．
故答案为：8．
34．集合A＝{a|a＝2k，k∈N}，集合B＝{b|b＝[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1），n∈Z}，下列A，B间的类系：①A为B的真子集；②B为A的真子集；③A＝B，其中正确的是 ② ．
【分析】利用列举法求出集合A，B，再利用集合关系的定义判断即可．
【解答】解：A＝{a|a＝2k，k∈N}＝{0，2，4，6，8...}，
∵B＝{b|b＝[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1），n∈Z}＝，
∴B＝{0，2，6，12，...}，
∴B为A的真子集，
故答案为：②．
35．设A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，若存在非空集合C，使C中的每一个元素加上2变成A的一个子集，且C的每一个元素都减去2变成了B的子集，则集合C所有可能的情况为 {4}或{7}或{4，7} ．
【分析】将集合A中的每一个元素减去2，组成集合{0，2，4，6，7}；将集合B中的每一个元素加上2，组成集合{3，4，5，7，10}，则集合C为集合{4，7}的非空子集，从而求出集合C所有可能的情况．
【解答】解：由题意可知，集合C≠∅，
将集合A中的每一个元素减去2，组成集合{0，2，4，6，7}；将集合B中的每一个元素加上2，组成集合{3，4，5，7，10}，
设集合D＝{0，2，4，6，7}∩{3，5，6，7，10}＝{4，7}，
则集合C为集合D的非空子集，即集合C＝{4}或{7}或{4，7}，
故答案为：{4}或{7}或{4，7}．
36．已知集合A＝{1，a，a2﹣1}，若0∈A，则a＝ 0或﹣1 ；A的子集有 8 个．
【分析】由0∈A，得到a＝0或，由此能求出a；由A中有3个元素，能求出A的子集的个数．
【解答】解：∵集合A＝{1，a，a2﹣1}，0∈A，
∴a＝0或，
解得a＝0或a＝﹣1．
A的子集有23＝8个．
故答案为：0或﹣1，8．
三．解答题（共5小题）
37．已知集合A＝{1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为Ak，1，Ak，2，Ak，3，…，Ak，m，其中1≤k≤n，k∈N*，m∈N*．
当1≤j≤m，j∈N*时，设Ak，j＝{x1，x2，……，xk}，且x1＜x2＜x3＜…＜xk．
定义：S（Ak，j）＝xk﹣xk﹣1+xk﹣2﹣…+（﹣1）k+1x1；
T[k]＝S（Ak，1）+S（Ak，2）+S（Ak，3）+…+S（Ak，m）．
（Ⅰ）若n＝5，
（ⅰ）写出满足S（A4，j）＝2的一个集合A4，j，并写出j的最大值；
（ⅱ）求T[1]+T[2]+[3]的值；
（Ⅱ）若存在唯一的n∈N*，使得T[1]+T[2]+…+T[n]＝1024，求n的值．
【分析】理解定义：S（Ak，j）＝xk﹣xk﹣1+xk﹣2﹣…+（﹣1）k+1x1，T[k]＝S（Ak，1）+S（Ak，2）+S（Ak，3）+…+S（Ak，m）．（Ⅰ）用特殊值和枚举法解题，（Ⅱ）分类讨论．
【解答】解：（Ⅰ）若n＝5，
（i）取A4，j＝{1，2，3，4}，S（A4，j）＝4﹣3+2﹣1＝2．
j的最大值为3．
（ii）枚举法：集合A含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，则T[1]＝15；
集合A含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，则T[2]＝20；
集合A含有3个元素的子集有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，则T[3]＝30；
∴T[1]+T[2]+T[3]＝65．
（Ⅱ）对于集合A的子集，可以分两类，一类含n，一类不含n；
如果有集合{x1，x2，...，xk，n}（x1，x2，...，xk，n∈Z，且x1＜x2＜...＜xk＜n），则存在唯一与之对应的集合{x1，x2，...，xk}，
满足S（{x1，x2，...，xk}）+S（{x1，x2，...，xk，n}）＝n，且这样的集合有（1≤k＜n）组，最后还剩下集合{n}；
∴T[1]+T[2]+…+T[n]＝n（++...+）+n＝2n﹣1•n，
令2n﹣1•n＝1024，得n＝8．
38．对于给定的正整数n（n≥2）若有限集合A＝{a1，a2，…，an}⊆M，且满足a1+a2+....+an＝a1•a2…•an，则称A为集合M的n元“调和子集”．
（Ⅰ）写出有理数集Q的一个2元“调和子集”；
（Ⅱ）证明：自然数集N不存在2元“调和子集”；
（Ⅲ）求出自然数集N的所有3元“调和子集”．
【分析】（Ⅰ）根据“调和子集”的定义求解即可；
（Ⅱ）设A＝{a1，a2}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1＜a2，分a1＝0和a1∈N*两种情况，分别进行讨论求解，即可证明；
（Ⅲ）设A＝{a1，a2，a3}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1＜a2＜a3，分a1＝0和a1∈N*两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为﹣1+，又{﹣1，}⊆Q，
所以A＝{﹣1，}是有理数集Q的一个2元“调和子集”；
（Ⅱ）证明：设A＝{a1，a2}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1＜a2，
①若a1＝0，则a2∈N*，故a1+a2＝a1a2不成立；
②若a1∈N*，由a1+a2＝a1a2，可得a1＝a1a2﹣a2＝a2（a1﹣1），
所以，
因为a1，a2∈N*，且a1＜a2，所以，a1﹣1∈N，
故不成立，
综上所述，自然数集N不存在2元“调和子集”；
（Ⅲ）设A＝{a1，a2，a3}是自然数集N上的一个3元“调和子集”，不妨设a1＜a2＜a3，
①若a1＝0，则a2∈N*，故a1+a2+a3＝a1a2a3不成立；
②若a1∈N*，则a1a2a3＝a1+a2+a3＜3a3，可得a1a2＜3，
满足a1a2＜3的正整数只能是a1＝1，a2＝2，
代入a1a2a3＝a1+a2+a3，可得a3＝3，
所以自然数集N的所有3元“调和子集”为{1，2，3}．
39．已知不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解集为A．
（1）若a＝2，求集合A；
（2）若集合A是集合{x|﹣4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．
【分析】（1）代入a的值，根据一元二次不等式的解法即可求解；
（2）对a分类讨论，进而可以确定集合A，再根据集合的子集关系即可求解．
【解答】解：（1）由题意，当a＝2时，不等式x2﹣（a+1）x+a≤0，即x2﹣3x+2≤0，
解得1≤x≤2，所以集合A＝{x|1≤x≤2}；
（2）设集合B＝{x|﹣4≤x≤2}，
由x2﹣（a+1）x+a≤0，可得（x﹣1）（x﹣a）≤0，
当a＜1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|a≤x≤1}，
由已知A⊆B可得a≥﹣4，所以﹣4≤a＜1；
当a＝1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|x＝1}，满足题意；
当a＞1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|1≤x≤a}，
由A⊆B可得a≤2，所以1＜a≤2；
综上可得﹣4≤a≤2，即实数a的取值范围为[﹣4，2]．
40．已知集合A＝{x|x2+2x﹣a＝0}．
（1）若∅是A的真子集，求a的范围；
（2）若B＝{x|x2+x＝0}，且A是B的子集，求实数a的取值范围．
【分析】（1）若∅是A的真子集，则A＝{x|x2+2x﹣a＝0}≠∅，由根的判别式能求出结果；
（2）由A⊆B，得A＝∅，{0}，{﹣1}，{0，﹣1}，由此分类讨论，能求出结果．
【解答】解：（1）∵若∅是A的真子集，
∴A＝{x|x2+2x﹣a＝0}≠∅，
∴Δ＝4+4a≥0，
∴a≥﹣1；
（2）B＝{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}，
∵A⊆B，∴A＝∅，{0}，{﹣1}，{0，﹣1}，A＝∅，则Δ＝4+4a＜0，
∴a＜﹣1；A是单元素集合，Δ＝4+4a＝0，∴a＝﹣1此时A＝{﹣1}，符合题意；
A＝{0，﹣1}，0﹣1＝﹣1≠﹣2不符合．
综上，a≤﹣1．
41．设集合An＝{1，2，3，…，n}，其中n∈N*，如果An的一个二元子集B＝{a，b}满足53|（a+b），则称集合B具有性质P，其中53|（a+b）表示a+b能够被53整除．
（1）分别判断集合A26与A101是否存在具有性质P的二元子集（直接写出判断结果）；
（2）求集合A2020的具有性质P的二元子集的个数；
（3）如果集合A2020的一组二元子集都具有性质P，且这组子集中任意两个集合的交集都是空集，那么这组二元子集的个数最多是多少？
【分析】（1）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，
（2）由题意知，利用除53的余数对集合划分即可求解，
（3）利用性质P的定义进行分析即可求解．
【解答】解：（1）集合A26不存在具有性质的二元子集，集合A101存在具有性质的二元子集．
（2）将1，2，3，…，2020按被53除的余数分为53类，并分别记为：
{53，106，159，…，2014}＝[0]
{1，54，107，160，…，2015}＝[1]
…
{52，105，158，211，…2013}＝[52]
因为2020＝53×38+6，故[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]中各有39个数；
[7]，[8]，[9]，…，[51]，[52]和[0]各有38个数．
①a，b∈[0]时，具有性质P的子集数为＝703个
②当a∈[k]，b∈[53﹣k]，k＝1，2，34，5，6时，具有性质P的子集数为＝1482个；
a∈[k]，b∈[53﹣k]，k＝7，8，…46时，具有性质P的子集数为＝1444个，
所以，集合A2020的具有性质P的二元子集的个数为
703+6×1482+20×1444＝38475．
故答案为38475．
（3）为了使二元子集不相交，当a，b∈[0]时，可搭配出38个子集；
当a∈[k]，b∈[53﹣k]，k＝7，8，…46时，各可搭配38个子集，
因此具有性质的两两不相交子集共有19+6×38+20×38＝1007．
故答案为1007．
2021届一轮复习 必修一 子集与真子集 打地基练习
一．选择题（共16小题）
1．已知集合A＝{0，1}，B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．已知集合M＝{0，1，2}，则M的子集有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
3．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜4}，则集合A的非空子集个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
4．集合A＝{﹣2，1，2，3}的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
5．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．16
6．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈N，y∈N}，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．9 C．15 D．16
7．已知集合A＝{x|x2+x＝0，x∈R}，则集合A的非空子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．欧拉公式：eπi+1＝0被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A＝{e，π，i，1，0}，则集合A不含无理数的子集共有（ ）
A．8个 B．7个 C．4个 D．3个
9．集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
10．已知集合A＝{ 1，2}，B＝{x|ax﹣1＝0}，满足B⊆A的实数a组成集合C子集个数是（ ）
A．4 个 B．8 个 C．16 个 D．32个
11．集合A＝{2018，2019，2020}的非空真子集有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
12．集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
13．已知集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x＝，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．63
14．已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
15．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，P＝A∩B，则P的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
16．已知集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以（﹣1）k再求和，例如A＝{2，3，8}，则可求得和为（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）8•8＝7，对S的所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．508 B．512 C．1020 D．1024
二．填空题（共20小题）
17．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{y|ay+2＝0，a∈R}，若满足M∩N＝N的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个 ．
18．集合{1，3，5}的非空真子集的个数为 ．
19．已知集合A＝{x∈N|y＝lg（4﹣x）}，则A的子集个数为 ．
20．有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{2}的“积数”为2，{2，3}的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为 ．
21．设集合I＝{1，2，3，4}，若非空集合A满足：①A⊆I；②card（A）≤min（A）（其中card（A）表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为 ．
22．若集合A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}是B＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}的子集，则a的取值范围是 ．
23．设集合A＝{a1，a2，a3，a4}，若集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B＝{2，5，6，8}，则集合A＝ ．
24．已知集合A＝{x∈Z|1＜x≤3}，则它的真子集有 个．
25．已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝ ．
26．设集合S＝{a1，a2，a3，a4}，若集合S的所有非空子集的元素之和是40，则a1+a2+a3+a4＝ ．
27．集合A＝{x|x＝sin，k∈Z}的真子集的个数是 ．
28．已知集合A＝{﹣1，0，1，7}，则集合A的非空真子集的个数为 ．
29．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为 ．
30．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为 ．
31．满足集合{1，2}⊊M⊊{1，2，3，4，5}的集合M的个数是 ．
32．集合M满足{a，b，c}⊆M⊆{a，b，c，d，e}，则这样的集合M有 个．
33．已知集合A＝{﹣2，0，1，3}，B＝{x|﹣＜x＜}，则A∩B的子集个数为 ．
34．集合A＝{a|a＝2k，k∈N}，集合B＝{b|b＝[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1），n∈Z}，下列A，B间的类系：①A为B的真子集；②B为A的真子集；③A＝B，其中正确的是 ．
35．设A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，若存在非空集合C，使C中的每一个元素加上2变成A的一个子集，且C的每一个元素都减去2变成了B的子集，则集合C所有可能的情况为 ．
36．已知集合A＝{1，a，a2﹣1}，若0∈A，则a＝ ；A的子集有 个．
三．解答题（共5小题）
37．已知集合A＝{1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为Ak，1，Ak，2，Ak，3，…，Ak，m，其中1≤k≤n，k∈N*，m∈N*．
当1≤j≤m，j∈N*时，设Ak，j＝{x1，x2，……，xk}，且x1＜x2＜x3＜…＜xk．
定义：S（Ak，j）＝xk﹣xk﹣1+xk﹣2﹣…+（﹣1）k+1x1；
T[k]＝S（Ak，1）+S（Ak，2）+S（Ak，3）+…+S（Ak，m）．
（Ⅰ）若n＝5，
（ⅰ）写出满足S（A4，j）＝2的一个集合A4，j，并写出j的最大值；
（ⅱ）求T[1]+T[2]+[3]的值；
（Ⅱ）若存在唯一的n∈N*，使得T[1]+T[2]+…+T[n]＝1024，求n的值．
38．对于给定的正整数n（n≥2）若有限集合A＝{a1，a2，…，an}⊆M，且满足a1+a2+....+an＝a1•a2…•an，则称A为集合M的n元“调和子集”．
（Ⅰ）写出有理数集Q的一个2元“调和子集”；
（Ⅱ）证明：自然数集N不存在2元“调和子集”；
（Ⅲ）求出自然数集N的所有3元“调和子集”．
39．已知不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解集为A．
（1）若a＝2，求集合A；
（2）若集合A是集合{x|﹣4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．
40．已知集合A＝{x|x2+2x﹣a＝0}．
（1）若∅是A的真子集，求a的范围；
（2）若B＝{x|x2+x＝0}，且A是B的子集，求实数a的取值范围．
41．设集合An＝{1，2，3，…，n}，其中n∈N*，如果An的一个二元子集B＝{a，b}满足53|（a+b），则称集合B具有性质P，其中53|（a+b）表示a+b能够被53整除．
（1）分别判断集合A26与A101是否存在具有性质P的二元子集（直接写出判断结果）；
（2）求集合A2020的具有性质P的二元子集的个数；
（3）如果集合A2020的一组二元子集都具有性质P，且这组子集中任意两个集合的交集都是空集，那么这组二元子集的个数最多是多少？
2021届一轮复习 必修一 子集与真子集 打地基练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．已知集合A＝{0，1}，B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【分析】先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．
【解答】解：由题意可知，
集合B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}＝{0，1，2}，
则B的子集个数为：23＝8个，
故选：D．
2．已知集合M＝{0，1，2}，则M的子集有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
【分析】若集合M有n个元素，则集合M有2n个子集．
【解答】解：∵集合M＝{0，1，2}，
∴M的子集有23＝8个．
故选：D．
3．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜4}，则集合A的非空子集个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【分析】先求出集合A，再由子集的定义能求出集合A的非空子集个数．
【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜4}＝{0，1，2，3}，
∴集合A的非空子集个数为：24﹣1＝15．
故选：C．
4．集合A＝{﹣2，1，2，3}的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【分析】由含有n个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案．
【解答】解：∵集合A＝{﹣2，1，2，3}；
则集合A真子集的个数为24﹣1＝15个，
故选：B．
5．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．16
【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⊆C⊆B的集合C的个数．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，
∴满足A⊆C⊆B的集合C有：
{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，
共8个．
故选：B．
6．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈N，y∈N}，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．9 C．15 D．16
【分析】可以求出集合A，并可确定集合A所含元素的个数，从而可得出A的子集个数．
【解答】解：∵A＝{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，
∴集合A的子集个数为：24＝16．
故选：D．
7．已知集合A＝{x|x2+x＝0，x∈R}，则集合A的非空子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先求出集合A，再利用集合非空子集个数为（2n﹣1）个即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x2+x＝0，x∈R}＝{0，1}，
集合A的非空子集个数是22﹣1＝3，
故选：C．
8．欧拉公式：eπi+1＝0被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A＝{e，π，i，1，0}，则集合A不含无理数的子集共有（ ）
A．8个 B．7个 C．4个 D．3个
【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集．
【解答】解：集合A＝{e，π，i，1，0}，
∵集合A中不是无理数的有i，1，0，
∴集合A不含无理数的子集共有：23＝8．
故选：A．
9．集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【分析】先求出集合A，再根据集合A的元素个数即可求出集合A的子集个数．
【解答】解：∵A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，
∴集合A的子集个数为23＝8个，
故选：D．
10．已知集合A＝{ 1，2}，B＝{x|ax﹣1＝0}，满足B⊆A的实数a组成集合C子集个数是（ ）
A．4 个 B．8 个 C．16 个 D．32个
【分析】利用分类讨论方法求得满足B⊆A的实数a的可能取值，再根据含有n个元素的集合的子集个数为2n来解答．
【解答】解：当B＝∅时，a＝0；
当B≠∅时，a≠0，B＝{}，
B⊆A，则a＝1或，
∴C＝{0，1，}，
∴集合C的子集有23＝8个．
故选：B．
11．集合A＝{2018，2019，2020}的非空真子集有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】若集合中有n个元素，则集合A有2n﹣2个元素．
【解答】解：集合A＝{2018，2019，2020}的非空真子集有：
23﹣2＝6（个）．
故选：B．
12．集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】根据条件，让x从0开始取值，求出对应的y值：x＝0，y＝6；x＝1，y＝5；x＝2，y＝2；x＝3，y＝﹣3，显然x往后取值对应的y值都小于0，所以集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}，这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数．
【解答】解：x＝0时，y＝6；
x＝1时，y＝5；
x＝2时，y＝2；
x＝3时，y＝﹣3；
∵函数y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；
∴x≥3时，y＜0；
∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}；
∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；
∴该集合的真子集个数为7．
故选：C．
13．已知集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x＝，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．63
【分析】由集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x＝，a∈M，b∈N}，求出集合P，由此能求出集合P的子集个数．
【解答】解：集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，
P＝{x|x＝，a∈M，b∈N}，
∴P＝{1，2，4，8}，
∴集合P的子集个数为：24＝16．
故选：C．
14．已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据集合的基本运算进行求解．
【解答】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，
则A∩B＝{8，14}，
故集合A∩B中元素的个数为2个．
故选：D．
15．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，P＝A∩B，则P的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【分析】进行交集的运算即可求出P＝{2}，然后即可得出P的子集的个数．
【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，3}，
∴P＝A∩B＝{2}，
∴P的子集共有21＝2个．
故选：A．
16．已知集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以（﹣1）k再求和，例如A＝{2，3，8}，则可求得和为（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）8•8＝7，对S的所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．508 B．512 C．1020 D．1024
【分析】根据集合S，求出它的非空子集A的个数，在所有子集中，各个元素出现的次数，即可解答．
【解答】解：S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对它的非空子集A共有255个，
其中1，2，3，4，5，6，7，8都出现了27次
依题意得：27[（﹣1）1•1+（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）4•4+（﹣1）5•5+（﹣1）6•6+（﹣1）7•7+（﹣1）8•8]＝512．
故选：B．
二．填空题（共20小题）
17．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{y|ay+2＝0，a∈R}，若满足M∩N＝N的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个 8 ．
【分析】求出集合M＝{﹣3，2}，N＝{﹣}，由M∩N＝N，得N⊂M，从而﹣不存在，或﹣＝﹣3，或﹣，进而求出集合A，由此能求出A的子集个数．
【解答】解：∵集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，
N＝{y|ay+2＝0，a∈R}＝{﹣}，
∵M∩N＝N，∴N⊂M，
∴﹣不存在，或﹣＝﹣3，或﹣，
解得a＝0或a＝或a＝﹣1，
∴集合A＝{﹣1，0，}，
∴A的子集有23＝8个．
故答案为：8．
18．集合{1，3，5}的非空真子集的个数为 6 ．
【分析】利用真子集的定义直接求解．
【解答】解：集合{1，3，5}的非空真子集有：
{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共6个．
故答案为：6．
19．已知集合A＝{x∈N|y＝lg（4﹣x）}，则A的子集个数为 16 ．
【分析】可以求出集合A，根据集合A的元素个数即可得出A的子集个数．
【解答】解：∵A＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}，
∴A的子集个数为24＝16．
故答案为：16．
20．有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{2}的“积数”为2，{2，3}的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为 1010 ．
【分析】先运用数学归纳法证明：对于有限非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}，“积数”的和为Sn＝（1+a1）（1+a2）…（1+an）﹣1．计算即可得到所求和．
【解答】解：先证明一个结论：对于有限非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}，“积数”的和为Sn＝（1+a1）（1+a2）…（1+an）﹣1．
运用数学归纳法证明：①当n＝1时，Sn＝1+a1﹣1＝a1＝S1，成立；
②假设n＝k（k≥1）时，Sk＝（1+a1）（1+a2）…（1+ak）﹣1，
当n＝k+1时，Sk+1＝Sk+ak+1+Sk•ak+1＝Sk+（Sk+1）ak+1＝（1+a1）（1+a2）…（1+ak）﹣1+（1+a1）（1+a2）…（1+ak）ak+1，
＝（1+a1）（1+a2）…（1+ak）（1+ak+1）﹣1，成立．
综上可得，∀n∈N*，Sn＝（1+a1）（1+a2）…（1+an）﹣1．
则数集的所有非空子集的“积数”的和为（1+）（1+）（1+）…（1+）﹣1
＝×××…×﹣1＝﹣1＝1010．
21．设集合I＝{1，2，3，4}，若非空集合A满足：①A⊆I；②card（A）≤min（A）（其中card（A）表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为 7 ．
【分析】集合I＝{1，2，3，4}，非空集合A共有24﹣1＝15个，根据card（A）≤min（A）即可得出I的所有好子集的个数．
【解答】解：集合I＝{1，2，3，4}，非空集合A共有24﹣1＝15个，
其中满足card（A）≤min（A）的共有7个，
分别为{1}，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}．
∴I的所有好子集的个数为7．
故答案为：7．
22．若集合A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}是B＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}的子集，则a的取值范围是 {a|a≤3} ．
【分析】由题意分类讨论集合A为空集和非空集合两种情况确定实数a的取值范围即可．
【解答】解：当a+1＞2a﹣1，即a＜2时，集合A为空集，满足题意，
当集合A非空，即a≥2时，由于集合B＝{x|﹣2≤x≤5}，
此时应满足：，即，据此可得：2≤a≤3．
综上可得，实数a的取值范围是{a|a≤3}．
故答案为：{a|a≤3}．
23．设集合A＝{a1，a2，a3，a4}，若集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B＝{2，5，6，8}，则集合A＝ {﹣1，1，2，5} ．
【分析】由集合A的所有三元子集中，每个元素均出现3次，推导出a1+a2+a3+a4＝7，由此能求出集合A．
【解答】解：集合A的所有三元子集中，每个元素均出现3次，
所以3（a1+a2+a3+a4）＝2+5+6+8＝21，
故a1+a2+a3+a4＝7，
所以不妨设a1＝7﹣（a2+a3+a4）＝7﹣8＝﹣1，
a2＝7﹣（a1+a3+a4）＝7﹣6＝1，
a3＝7﹣（a2+a1+a4）＝7﹣5＝2，
a4＝7﹣（a2+a3+a1）＝7﹣2＝5，
∴A＝{﹣1，1，2，5}．
故答案为：{﹣1，1，2，5}．
24．已知集合A＝{x∈Z|1＜x≤3}，则它的真子集有 3 个．
【分析】求出集合A，求出A的子集即可．
【解答】解：集合A＝{x∈Z|1＜x≤3}＝{2，3}，
则它的真子集有∅，{2}，{3}共3个，
故答案为：3．
25．已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝ 1或﹣ ．
【分析】推导出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a﹣1）＝0，由此能求出实数a的值．
【解答】解：∵集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，且A的子集个数为2个，
∴（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，
当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，解得x＝，
当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，
△＝9+8（a﹣1）＝0，解得a＝﹣．
∴实数a的值为1或﹣．
故答案为：1或﹣．
26．设集合S＝{a1，a2，a3，a4}，若集合S的所有非空子集的元素之和是40，则a1+a2+a3+a4＝ 5 ．
【分析】利用集合的非空子集个数先求出含每个元素的集合个数，在进行求和即可．
【解答】解：设集合S＝{a1，a2，a3，a4}，
由一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，非空子集有（2n﹣1）个可得：
含有元素a1的集合有23＝8个，
含有元素a2的集合有23＝8个，
含有元素a3的集合有23＝8个，
含有元素a4的集合有23＝8个，
若集合S的所有非空子集的元素之和是40，
则集合S的所有元素和为8（a1+a2+a3+a4）＝40，
则a1+a2+a3+a4＝5；
故答案为：5．
27．集合A＝{x|x＝sin，k∈Z}的真子集的个数是 7 ．
【分析】先结合正弦函数的周期性解出集合A，再通过真子集个数的计算公式即可得出答案．
【解答】解：因为正弦函数y＝sinx的周期为2π，不妨让k取1，2，3，4，
得到集合A＝{1，0，﹣1}，集合A中共有3个元素，
故集合A得真子集得个数是23﹣1＝7个．
故答案为：7．
28．已知集合A＝{﹣1，0，1，7}，则集合A的非空真子集的个数为 14 ．
【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣2个非空真子集．
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，7}，
∴集合A的非空真子集的个数为：24﹣2＝14．
故答案为：14．
29．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为 {0，1，﹣1} ．
【分析】由集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，说明集合中元素只有一个，同理讨论二次项系数与0的关系，结合根与系数得到关系求m．
【解答】解：由题意，①当m＝0时，方程为﹣2x＝0，解得x＝0，满足A＝{0}仅有两个子集；
②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以△＝4﹣4m2＝0，解得m＝±1；
所以实数m的取值构成的集合为：{0，1，﹣1}．
故答案为：{0，1，﹣1}．
30．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为 196 ．
【分析】根据题意得到满足题意的集合所含的元素至少在{1，2，3}中取一个，至少在{6，7，8}中取一个，集合{4，5}中的元素可取或不取，求解即可．
【解答】解：∵A∪B＝U，A∩B＝{4，5}，
∴满足题意的集合所含的元素至少在{1，2，3}中取一个，
且至少在{6，7，8}中取一个，集合{4，5}中的元素可取或不取，
∴满足题意的集合共有（23﹣1）（23﹣1）×22＝196．
故答案为：196．
31．满足集合{1，2}⊊M⊊{1，2，3，4，5}的集合M的个数是 6 ．
【分析】根据真子集的定义可知，M至少含有三个元素，根据子集的定义知M最多含有四个元素，采用列举法进行求解．
【解答】解：∵集合{1，2}⊊M⊊{1，2，3，4，5}，
∴M中至少含有三个元素且必有1，2，
而M为集合{1，2，3，4，5}的真子集，故最多四个元素，
∴M＝{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，5}或{1，2，3，4}，
或{1，2，3，5}，或{1，2，4，5}，共6个，
故答案为：6．
32．集合M满足{a，b，c}⊆M⊆{a，b，c，d，e}，则这样的集合M有 4 个．
【分析】集合M中一定含有元素a，b，c，然后写出集合{a，b，c，d，e}的含有元素a、b，c的所有子集．
【解答】解：满足条件{a，b，c}⊆M⊆{a，b，c，d，e}的集合M有：{a，b，c}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，c，d，e}．共4个．
故答案为：4．
33．已知集合A＝{﹣2，0，1，3}，B＝{x|﹣＜x＜}，则A∩B的子集个数为 8 ．
【分析】进行交集的运算求出A∩B，从而得出A∩B的元素个数，进而可得出A∩B的子集个数．
【解答】解：∵A＝{﹣2，0，1，3}，B＝{x|﹣＜x＜}，
∴A∩B＝{﹣2，0，1}，
∴A∩B的子集个数为：23＝8个．
故答案为：8．
34．集合A＝{a|a＝2k，k∈N}，集合B＝{b|b＝[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1），n∈Z}，下列A，B间的类系：①A为B的真子集；②B为A的真子集；③A＝B，其中正确的是 ② ．
【分析】利用列举法求出集合A，B，再利用集合关系的定义判断即可．
【解答】解：A＝{a|a＝2k，k∈N}＝{0，2，4，6，8...}，
∵B＝{b|b＝[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1），n∈Z}＝，
∴B＝{0，2，6，12，...}，
∴B为A的真子集，
故答案为：②．
35．设A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，若存在非空集合C，使C中的每一个元素加上2变成A的一个子集，且C的每一个元素都减去2变成了B的子集，则集合C所有可能的情况为 {4}或{7}或{4，7} ．
【分析】将集合A中的每一个元素减去2，组成集合{0，2，4，6，7}；将集合B中的每一个元素加上2，组成集合{3，4，5，7，10}，则集合C为集合{4，7}的非空子集，从而求出集合C所有可能的情况．
【解答】解：由题意可知，集合C≠∅，
将集合A中的每一个元素减去2，组成集合{0，2，4，6，7}；将集合B中的每一个元素加上2，组成集合{3，4，5，7，10}，
设集合D＝{0，2，4，6，7}∩{3，5，6，7，10}＝{4，7}，
则集合C为集合D的非空子集，即集合C＝{4}或{7}或{4，7}，
故答案为：{4}或{7}或{4，7}．
36．已知集合A＝{1，a，a2﹣1}，若0∈A，则a＝ 0或﹣1 ；A的子集有 8 个．
【分析】由0∈A，得到a＝0或，由此能求出a；由A中有3个元素，能求出A的子集的个数．
【解答】解：∵集合A＝{1，a，a2﹣1}，0∈A，
∴a＝0或，
解得a＝0或a＝﹣1．
A的子集有23＝8个．
故答案为：0或﹣1，8．
三．解答题（共5小题）
37．已知集合A＝{1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为Ak，1，Ak，2，Ak，3，…，Ak，m，其中1≤k≤n，k∈N*，m∈N*．
当1≤j≤m，j∈N*时，设Ak，j＝{x1，x2，……，xk}，且x1＜x2＜x3＜…＜xk．
定义：S（Ak，j）＝xk﹣xk﹣1+xk﹣2﹣…+（﹣1）k+1x1；
T[k]＝S（Ak，1）+S（Ak，2）+S（Ak，3）+…+S（Ak，m）．
（Ⅰ）若n＝5，
（ⅰ）写出满足S（A4，j）＝2的一个集合A4，j，并写出j的最大值；
（ⅱ）求T[1]+T[2]+[3]的值；
（Ⅱ）若存在唯一的n∈N*，使得T[1]+T[2]+…+T[n]＝1024，求n的值．
【分析】理解定义：S（Ak，j）＝xk﹣xk﹣1+xk﹣2﹣…+（﹣1）k+1x1，T[k]＝S（Ak，1）+S（Ak，2）+S（Ak，3）+…+S（Ak，m）．（Ⅰ）用特殊值和枚举法解题，（Ⅱ）分类讨论．
【解答】解：（Ⅰ）若n＝5，
（i）取A4，j＝{1，2，3，4}，S（A4，j）＝4﹣3+2﹣1＝2．
j的最大值为3．
（ii）枚举法：集合A含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，则T[1]＝15；
集合A含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，则T[2]＝20；
集合A含有3个元素的子集有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，则T[3]＝30；
∴T[1]+T[2]+T[3]＝65．
（Ⅱ）对于集合A的子集，可以分两类，一类含n，一类不含n；
如果有集合{x1，x2，...，xk，n}（x1，x2，...，xk，n∈Z，且x1＜x2＜...＜xk＜n），则存在唯一与之对应的集合{x1，x2，...，xk}，
满足S（{x1，x2，...，xk}）+S（{x1，x2，...，xk，n}）＝n，且这样的集合有（1≤k＜n）组，最后还剩下集合{n}；
∴T[1]+T[2]+…+T[n]＝n（++...+）+n＝2n﹣1•n，
令2n﹣1•n＝1024，得n＝8．
38．对于给定的正整数n（n≥2）若有限集合A＝{a1，a2，…，an}⊆M，且满足a1+a2+....+an＝a1•a2…•an，则称A为集合M的n元“调和子集”．
（Ⅰ）写出有理数集Q的一个2元“调和子集”；
（Ⅱ）证明：自然数集N不存在2元“调和子集”；
（Ⅲ）求出自然数集N的所有3元“调和子集”．
【分析】（Ⅰ）根据“调和子集”的定义求解即可；
（Ⅱ）设A＝{a1，a2}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1＜a2，分a1＝0和a1∈N*两种情况，分别进行讨论求解，即可证明；
（Ⅲ）设A＝{a1，a2，a3}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1＜a2＜a3，分a1＝0和a1∈N*两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为﹣1+，又{﹣1，}⊆Q，
所以A＝{﹣1，}是有理数集Q的一个2元“调和子集”；
（Ⅱ）证明：设A＝{a1，a2}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1＜a2，
①若a1＝0，则a2∈N*，故a1+a2＝a1a2不成立；
②若a1∈N*，由a1+a2＝a1a2，可得a1＝a1a2﹣a2＝a2（a1﹣1），
所以，
因为a1，a2∈N*，且a1＜a2，所以，a1﹣1∈N，
故不成立，
综上所述，自然数集N不存在2元“调和子集”；
（Ⅲ）设A＝{a1，a2，a3}是自然数集N上的一个3元“调和子集”，不妨设a1＜a2＜a3，
①若a1＝0，则a2∈N*，故a1+a2+a3＝a1a2a3不成立；
②若a1∈N*，则a1a2a3＝a1+a2+a3＜3a3，可得a1a2＜3，
满足a1a2＜3的正整数只能是a1＝1，a2＝2，
代入a1a2a3＝a1+a2+a3，可得a3＝3，
所以自然数集N的所有3元“调和子集”为{1，2，3}．
39．已知不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解集为A．
（1）若a＝2，求集合A；
（2）若集合A是集合{x|﹣4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．
【分析】（1）代入a的值，根据一元二次不等式的解法即可求解；
（2）对a分类讨论，进而可以确定集合A，再根据集合的子集关系即可求解．
【解答】解：（1）由题意，当a＝2时，不等式x2﹣（a+1）x+a≤0，即x2﹣3x+2≤0，
解得1≤x≤2，所以集合A＝{x|1≤x≤2}；
（2）设集合B＝{x|﹣4≤x≤2}，
由x2﹣（a+1）x+a≤0，可得（x﹣1）（x﹣a）≤0，
当a＜1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|a≤x≤1}，
由已知A⊆B可得a≥﹣4，所以﹣4≤a＜1；
当a＝1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|x＝1}，满足题意；
当a＞1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|1≤x≤a}，
由A⊆B可得a≤2，所以1＜a≤2；
综上可得﹣4≤a≤2，即实数a的取值范围为[﹣4，2]．
40．已知集合A＝{x|x2+2x﹣a＝0}．
（1）若∅是A的真子集，求a的范围；
（2）若B＝{x|x2+x＝0}，且A是B的子集，求实数a的取值范围．
【分析】（1）若∅是A的真子集，则A＝{x|x2+2x﹣a＝0}≠∅，由根的判别式能求出结果；
（2）由A⊆B，得A＝∅，{0}，{﹣1}，{0，﹣1}，由此分类讨论，能求出结果．
【解答】解：（1）∵若∅是A的真子集，
∴A＝{x|x2+2x﹣a＝0}≠∅，
∴Δ＝4+4a≥0，
∴a≥﹣1；
（2）B＝{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}，
∵A⊆B，∴A＝∅，{0}，{﹣1}，{0，﹣1}，A＝∅，则Δ＝4+4a＜0，
∴a＜﹣1；A是单元素集合，Δ＝4+4a＝0，∴a＝﹣1此时A＝{﹣1}，符合题意；
A＝{0，﹣1}，0﹣1＝﹣1≠﹣2不符合．
综上，a≤﹣1．
41．设集合An＝{1，2，3，…，n}，其中n∈N*，如果An的一个二元子集B＝{a，b}满足53|（a+b），则称集合B具有性质P，其中53|（a+b）表示a+b能够被53整除．
（1）分别判断集合A26与A101是否存在具有性质P的二元子集（直接写出判断结果）；
（2）求集合A2020的具有性质P的二元子集的个数；
（3）如果集合A2020的一组二元子集都具有性质P，且这组子集中任意两个集合的交集都是空集，那么这组二元子集的个数最多是多少？
【分析】（1）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，
（2）由题意知，利用除53的余数对集合划分即可求解，
（3）利用性质P的定义进行分析即可求解．
【解答】解：（1）集合A26不存在具有性质的二元子集，集合A101存在具有性质的二元子集．
（2）将1，2，3，…，2020按被53除的余数分为53类，并分别记为：
{53，106，159，…，2014}＝[0]
{1，54，107，160，…，2015}＝[1]
…
{52，105，158，211，…2013}＝[52]
因为2020＝53×38+6，故[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]中各有39个数；
[7]，[8]，[9]，…，[51]，[52]和[0]各有38个数．
①a，b∈[0]时，具有性质P的子集数为＝703个
②当a∈[k]，b∈[53﹣k]，k＝1，2，34，5，6时，具有性质P的子集数为＝1482个；
a∈[k]，b∈[53﹣k]，k＝7，8，…46时，具有性质P的子集数为＝1444个，
所以，集合A2020的具有性质P的二元子集的个数为
703+6×1482+20×1444＝38475．
故答案为38475．
（3）为了使二元子集不相交，当a，b∈[0]时，可搭配出38个子集；
当a∈[k]，b∈[53﹣k]，k＝7，8，…46时，各可搭配38个子集，
因此具有性质的两两不相交子集共有19+6×38+20×38＝1007．
故答案为1007．
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