考点58 数系的扩充与复数的引入-备战2022年高考数学（理）考点一遍过

这是一份考点58 数系的扩充与复数的引入-备战2022年高考数学（理）考点一遍过，共31页。主要包含了复数的概念，复数的几何意义，复数的代数运算等内容，欢迎下载使用。

（十九）数系的扩充与复数的引入
1．复数的概念
（1）理解复数的基本概念.
（2）理解复数相等的充要条件.
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义.
2．复数的四则运算
（1）会进行复数代数形式的四则运算.
（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
一、复数的概念
二、复数的几何意义
1．复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
（1）复数z=a＋bi复平面内的点(a，b∈R)．
（2）复数z=a＋bi(a，b∈R)平面向量.
2．复数加、减法的几何意义
（1）复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量不共线，则复数z1＋z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
（2）复数减法的几何意义：复数z1−z2是所对应的复数．
三、复数的代数运算
1．复数的运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则
设，则
①加法：；
②减法：；
③乘法：；
④除法：．
（2）复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有．
（3）复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有，，.
2．常用结论
（1）；eq \f(1＋i,1－i)=；eq \f(1－i,1＋i)=.
（2）．
（3）．
（4）．
（5）模的运算性质：①；②；③.
考向一 复数的有关概念
求解与复数概念相关问题的技巧：
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解.
典例1 已知是虚数单位，复数，复数的共轭复数.
（1）若，求实数的值；
（2）若是纯虚数，求.
【答案】（1）4；（2）.
【解析】.
（1）由已知得.
.
（2）由已知得，
是纯虚数，
,解得，
.
【名师点睛】本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.熟记结论：若z=a＋bi(a，b∈R)，则b=0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a=0且b≠0时，z是纯虚数．对于本题，（1）先求出，再根据，求出实数的值；（2）由已知得，再根据是纯虚数求出a的值即得解.
1．设是虚数单位，如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数的值为
A．B．
C．D．
考向二 复数的几何意义
复数的几何意义及应用：
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z=a＋bi(a，b∈R)Z(a，b).
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【注意】|z|的几何意义：令z=x＋yi(x，y∈R)，则|z|=eq \r(x2＋y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1−z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.
典例2 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】,对应点为,位于第二象限.
故选B.
典例3 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，−2＋4i.
试求：
（1）所表示的复数；
（2）对角线所表示的复数；
（3）求B点对应的复数．
【答案】（1）所表示的复数为−3−2i，所表示的复数为；（2）5−2i；（3）1＋6i.
【解析】（1）∵，
∴所表示的复数为.
∵，
∴所表示的复数为.
（2）∵eq \(CA,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))−eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(CA,\s\up6(→))所表示的复数为.
（3）∵eq \(OB,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(OB,\s\up6(→))所表示的复数为(3＋2i)＋(−2＋4i)=1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.
【名师点睛】结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．
2．复数，则的共轭复数在复平面内的对应点在
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．如果复数满足，那么的最小值是________.
考向三 复数的四则运算
复数代数形式的四则运算是每年高考考查的一个重要考向，常利用复数的加减乘运算求复数，利用复数的相等或除法运算求复数等，题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题，复数代数形式的运算问题常见题型及解题策略：
(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可．
(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简．
(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.
典例4
A．1＋i B．1−i
C．−1＋i D．−1−i
【答案】D
【解析】.
故选D.
典例5 已知为虚数单位，则等于
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由于，
则的周期为4，且，
所以原式=.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查复数的计算和的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.对于本题，利用的周期求解即可.
4．若，则
A．−2B．2
C．D．
1．
A．B．
C．−1D．1
2．若，则
A．B．
C．−1D．1
3．设i为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第二象限D．第四象限
5．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于
A．−2B．2
C．D．−1
6．已知，，则
A．B．
C．2D．
7．已知复数的实部为1，且的模长为2，则
A．B．
C．D．
8．设复数在复平面内对应的点为，，若复数的实部与虚部的和为，则
A．B．
C．D．
9．已知a，b∈R，i为虚数单位，(2a+i)(1+3i)=3+bi，则a+b=
A．22B．−16
C．9D．−9
10．若复数（）不是纯虚数，则
A．B．
C．D．且
11．已知，，是关于的方程的一个根，则
A．B．
C．D．
12．若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则
A．B．
C．D．
13．设是复数，则下列命题中的假命题是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
14．下列命题正确的是
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
15．欧拉公式(为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数的模为
A．B．
C．D．
16．__________．
17．复数的虚部为________.
18．已知复数，为虚数单位，若在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围是___________．
19．若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数=___________．
20．设是复数，表示满足时的最小正整数，是虚数单位，则________.
1．【2019年高考北京卷理数】已知复数，则
A．B．
C．D．
2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．B．
C．D．
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设z=–3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】若，则z=
A．B．
C．D．
5．【2018年高考浙江卷】复数(i为虚数单位)的共轭复数是
A．1+iB．1−i
C．−1+iD．−1−i
6．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设，则
A．B．
C．D．
7．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】
A．B．
C．D．
8．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】
A．B．
C．D．
9．【2018年高考北京卷理数】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则．
其中的真命题为
A．B．
C．D．
11．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】
A．B．
C．D．
12．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
A．B．
C．D．2
13．【2017年高考北京卷理数】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A．B．
C．D．
14．【2019年高考天津卷理数】是虚数单位，则的值为______________．
15．【2019年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则=______________．
16．【2019年高考江苏卷】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是______________．
17．【2018年高考天津卷理数】i是虚数单位，复数______________．
18．【2018年高考江苏卷】若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为______________．
19．【2017年高考天津卷理数】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为______________．
20．【2017年高考浙江卷】已知，（i是虚数单位），则______________，______________．
21．【2017年高考江苏卷】已知复数，其中i是虚数单位，则的模是______________．
变式拓展
1．【答案】D
【解析】==，
∵复数的实部与虚部互为相反数，∴，即a=．
故选D．
【名师点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的实部与虚部的概念，属于基础题．求解时，由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由已知条件列出方程，求解即可得答案．
2．【答案】A
【解析】，在复平面内的对应点为，
故选A.
【名师点睛】本题考查复数，属于基础题.求解时，化简，写出共轭复数即可根据复平面的定义选出答案.
3．【答案】
【解析】设，由复数模的三角不等式可得，
所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段，的几何意义为复数对应的点到点的距离，如下图所示：
当时，则取得最小值.
故答案为：.
【名师点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.求解本题时，先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段，的几何意义为复数对应的点到点的距离，利用数形结合思想可得出的最小值.
4．【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，故选C．
【名师点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.求解时，根据共轭复数的性质可知，直接利用复数模的性质即可求解.
考点冲关
1．【答案】A
【解析】，故选A．
【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．由题意利用复数的运算法则计算所给的复数即可.对于此类问题，要熟记下列公式：设，则，.
2．【答案】D
【解析】由.
故选D.
【名师点睛】本题考查复数的基本运算，处理技巧在于变形成除法运算形式.求解时，需对运算公式进行变形，再进行化简即可.
3．【答案】B
【解析】复数是纯虚数，则或，所以“复数是纯虚数”不是“”的充分条件；
当时，复数为，是纯虚数，“复数是纯虚数”是“”的必要条件，
所以“复数是纯虚数”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【名师点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题，直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可．求解时，先求得“复数是纯虚数”时的值，再根据充分、必要条件的判断依据，判断出正确选项.
4．【答案】A
【解析】，所以，故选A．
【名师点睛】本题考查复数运算，共轭复数及其坐标表示.属于基础题.求解时，化简计算出，写出其共轭复数，即可选出答案.
5．【答案】C
【解析】是纯虚数，所以，故选C．
6．【答案】D
【解析】因为且，
所以，所以，
故选D．
【名师点睛】本题考查了复数的基本运算，复数的模，复数相等的概念，属基础题.求解时，先由复数相等的定义得到，再求值.
7．【答案】D
【解析】设z＝1+mi（m∈R），则||＝||，解得m．∴z＝1．故选D．
【名师点睛】本题主要考查复数的定义以及复数模的公式应用.求解时，由已知设z＝1+mi（m∈R），代入，再由模长为2列式求得m值，则z可求．
8．【答案】C
【解析】因为，，复数的实部与虚部的和为，
所以，故选C．
【名师点睛】本题考查复数的四则运算及实部、虚部的概念，属于基础题.根据复数的乘法运算和复数的概念求解.
9．【答案】A
【解析】∵（2a+i）（1+3i）＝3+bi，∴2a﹣3+（6a+1）i＝3+bi，
∴，解得a＝3，b＝19，
∴a+b＝3+19＝22，
故选A．
【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．求解时，直接利用复数的乘法运算及复数相等的条件列式求得a，b的值．
10．【答案】A
【解析】若复数（）是纯虚数，
根据纯虚数的定义有：，
则复数（）不是纯虚数，，
故选A.
【名师点睛】本题考查虚数的分类，属于基础题.求解时，先解出复数（）是纯虚数时的值，即可得出答案.
11．【答案】A
【解析】依题意，复数是关于的方程的一个根，
可得，即，
所以，解得，所以，故选A．
【名师点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解时，由是关于的方程的一个根，代入方程化简得，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.
12．【答案】B
【解析】∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，，∴，
则.
本题选择B选项.
13．【答案】D
【解析】对于A，若，则，所以为真；
对于B，若，则和互为共轭复数，所以为真；
对于C，设，若，则，
，所以为真；
对于D，若，则为真，而，所以为假．
故选D．
14．【答案】B
【解析】选项A中，当时，复数是纯虚数，故错误；
选项B中，时，复数，为纯虚数，故正确；
选项C中，是纯虚数，则，即，得，故错误；
选项D中，没有给出为实数，当，时，也可以是虚数，故错误.
所以选B项.
【名师点睛】本题考查复数的定义和纯虚数的概念，判断命题的正确，属于简单题.求解时，分别对四个选项进行判断，得到正确的选项.
15．【答案】C
【解析】由题意，=cs+isin，
∴，
∴表示的复数的模为．
故选C．
【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．直接由题意可得，再由复数模的计算公式得答案．
16．【答案】1
【解析】，即该复数的模长为1.
故答案为1.
17．【答案】
【解析】，因此，复数的虚部为.
故答案为：.
【名师点睛】本题考查复数的虚部的求解，考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.求解时，利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部.
18．【答案】
【解析】由题得，若在复平面内对应的点位于第一象限，则且，解得，即的取值范围为.
19．【答案】
【解析】因为= ，其为纯虚数，所以，解得=1.故答案为.
20．【答案】4
【解析】∵，∴，
∵表示满足的最小正整数，∴当时满足第一次成立，∴，
故答案为.
直通高考
1．【答案】D
【解析】由题，则，故选D．
2．【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案为C．
【答案】C
【解析】由题可得则．故选C．
3．【答案】C
【解析】由得则对应的点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
4．【答案】D
【解析】．故选D．
【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
5．【答案】B
【解析】，∴共轭复数为，故选B．
6．【答案】C
【解析】因为，
所以，故选C．
7．【答案】D
【解析】由题可得，故选D．
8．【答案】D
【解析】，故选D．
9．【答案】D
【解析】的共轭复数为，
对应点为，在第四象限．故选D．
【名师点睛】此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分．将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限．
10．【答案】B
【解析】令，
则由得，所以，故正确；
当时，因为，而知，故不正确；
当时，满足，但，故不正确；
对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确．
故选B．
【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可．
11．【答案】D
【解析】由复数除法的运算法则有：，故选D．
【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2=|z1|2=|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．
12．【答案】C
【解析】由题意可得，由复数求模的法则可得，
则．故选C．
【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
13．【答案】B
【解析】，
因为对应的点在第二象限，所以，解得，
故实数a的取值范围是，故选B．
14．【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
【答案】
【解析】．
15．【分析】本题先计算，而后求其模．或直接利用模的性质计算． 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．
【答案】
【解析】由题可得．
16．【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值．
【答案】
【解析】，
令，解得．
【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
17．【答案】4–i
【解析】由复数的运算法则得：．
【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果．
18．【答案】2
【解析】因为，则，则的实部为．
19．【答案】
【解析】因为为实数，
所以，解得．
20．【答案】5 2
【解析】由题意可得，
则，解得，
则．
21．【答案】
【解析】，故答案为．
【名师点睛】（1）对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．
（2）其次要熟悉复数相关概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．