必修 第三册第二节 决定导体电阻大小的因素学案

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一、电阻定律
1．影响导体电阻的因素
为探究导体电阻与导体长度、横截面积和材料的定量关系，采用控制变量法进行实验．
2．电阻定律
(1)内容：在一定温度下，均匀导体的电阻R与它的长度l成正比，与它的横截面积S成反比．
(2)公式：R＝ρeq \f(l,S)，式中ρ是比例常量，叫作这种材料的电阻率，反映材料对导体电阻的影响．
二、电阻率
1．概念：电阻率是反映材料导电性能的物理量，是导体材料本身的属性，当L、S一定时，电阻率ρ越大，电阻R越大，该材料的导电性能越差．
2．ρ的单位：欧姆米，简称欧米，符号：Ω·m.
3．影响电阻率的两个因素是材料和温度．一般金属材料的电阻率随温度的升高而增大．
4．金属单质的电阻率较小，合金的电阻率较大．
1．判断下列说法的正误．
(1)导体的电阻由导体本身的性质决定，跟导体两端的电压及流过导体的电流的大小无关．( √ )
(2)由R＝ρeq \f(l,S)知，材料相同的两段导体，长度大的导体的电阻一定比长度小的导体的电阻大．( × )
(3)把一根长导线截成等长的三段，则每段的电阻率都不变．( √ )
(4)电阻率是反映材料导电性能好坏的物理量，电阻率越大的导体导电性能越差．( √ )
(5)一般金属材料的电阻率随温度升高而增大．( √ )
2．如图1所示为“探究导体电阻与其影响因素的定量关系”的电路．a、b、c、d是四条不同的金属导体，b、c、d与a相比，分别只有一个因素不同：b与a长度不同，c与a横截面积不同，d与a材料不同．下列操作正确的是( )
图1
A．开关闭合前，移动滑片使滑动变阻器的阻值变小
B．研究电阻与长度的关系时，需分别测量a、b两条导体两端的电压值
C．研究电阻与横截面积的关系时，需分别测量b、c两条导体两端的电压值
D．研究电阻与材料的关系时，需分别测量c、d两条导线两端的电压值
答案 B
解析 开关闭合前，为使电路中的电流在闭合开关瞬间不至过大，滑动变阻器电阻应调至最大，A错误；由控制变量法可知，要研究两个量之间的大小关系，应使其他量均相同，由此可知，选项B正确，C、D错误．
一、电阻定律
导学探究
1．根据图2猜想导体电阻大小与哪些因素有关？
图2
答案 导体的电阻与导体的长度、横截面积、材料有关．
2．探究多个变量之间关系的方法是什么？
答案 控制变量法．
3．实验探究：如图3所示，a、b、c、d是四条不同的金属导体．导体b、c、d在长度、横截面积、材料三个因素方面，分别只有一个因素与导体a不同．
图3
如下表所示为四个串联导体的各方面因素关系及导体两端的电压关系．
(1)四段导体串联接入电路，每段导体两端的电压与电阻有什么关系？
(2)对比导体a和b说明什么？
(3)对比导体a和c说明什么？
(4)对比导体a和d说明什么？
答案 (1)正比 (2)导体电阻和长度成正比 (3)导体电阻和横截面积成反比 (4)导体电阻和材料有关
知识深化
1．电阻定律
(1)导体电阻的决定式R＝ρeq \f(l,S)
l是导体的长度，S是导体的横截面积，ρ是比例常量，与导体的材料有关，叫作电阻率．
(2)适用条件：温度一定，粗细均匀的金属导体或浓度均匀的电解质溶液．
(3)电阻定律是通过大量实验得到的规律．
2．R＝eq \f(U,I)与R＝ρeq \f(l,S)的区别与联系
如图4所示为一块长方体铜块，使电流沿如图I1、I2两个方向通过该铜块，电阻之比为( )
图4
A．1 B.eq \f(a2,c2)
C.eq \f(a2,b2) D.eq \f(b2,c2)
答案 B
解析 若通以电流I1，则导体的长度为a、横截面积为bc，由电阻定律知其电阻为R1＝ρeq \f(a,bc)；若通以电流I2时，则导体的长度为c、横截面积为ab，由电阻定律知其电阻为R2＝ρeq \f(c,ab)，故eq \f(R1,R2)＝eq \f(a2,c2)，故选B.
针对训练1 一段粗细均匀的镍铬丝，横截面的直径为d，电阻为R，把它拉制成直径为eq \f(d,10)的均匀细丝后，它的电阻变为( )
A.eq \f(1,1 000)R B.eq \f(1,100)R
C．100R D．10 000R
答案 D
解析 均匀镍铬丝拉制成d′＝eq \f(d,10)时，其横截面积减小到S′＝eq \f(S,100).由于镍铬丝的体积不变，则其长度变为L′＝100L.
根据电阻定律，拉长后的电阻为R′＝ρeq \f(L′,S′)＝ρeq \f(100L,\f(1,100)S)＝10 000ρeq \f(L,S)＝10 000R，选D.
针对训练2 目前集成电路的集成度很高，要求里面的各种电子元件都微型化．集成度越高，电子元件越微型化、越小．图5中R1和R2是两个材料相同、厚度相同、表面为正方体的导体，但R2的尺寸远远小于R1的尺寸．通过两导体的电流方向如图所示，则关于这两个导体的电阻R1、R2关系的说法正确的是( )
图5
A．R1>R2 B．R1C．R1＝R2 D．无法确定
答案 C
解析 设导体元件边长为a，厚度为h，由R＝ρeq \f(a,ah)得：R＝eq \f(ρ,h)，故R与边长无关，C项正确．
二、电阻率
1．各种材料的电阻率与温度的关系
(1)一般金属材料的电阻率随温度升高而增大．
(2)有些半导体的电阻率随温度升高而减小，且随温度的改变变化较大，常用于制作热敏电阻．
(3)有些合金，如锰铜合金、镍铜合金的电阻率几乎不受温度变化的影响，常用于制作标准电阻．
(4)当温度降低到绝对零度附近时，某些材料的电阻率突然降低到零，成为超导体．
2．电阻率与电阻的比较
下列关于电阻和电阻率的说法中正确的是( )
A．把一根均匀导线等分成等长的三段，则每部分的电阻、电阻率均变为原来的三分之一
B．由ρ＝eq \f(RS,l)可知，ρ∝R，ρ∝eq \f(1,l)
C．材料的电阻率随温度的升高而增大
D．对某一确定的导体，当温度升高时，若不计导体的体积和形状变化，发现它的电阻增大，说明该导体材料的电阻率随温度的升高而增大
答案 D
解析 导体的电阻率由材料本身决定，并随温度的变化而变化，但并不都是随温度的升高而增大， A、B、C错误；若导体温度升高时，电阻增大，又不计体积和形状的变化，就说明该导体材料的电阻率随温度的升高而增大，D正确．
1．电阻率ρ是材料本身的一种属性，反映了材料对电流阻碍能力的强弱．
2．ρ＝eq \f(RS,l)是电阻率的计算式，材料的电阻率与导体的电阻R、长度l和横截面积S均无关，与材料的性质有关，还受到温度的影响．
针对训练3 (多选)根据电阻定律可得电阻率ρ＝eq \f(RS,l)，对于温度一定的金属导线来说，它的电阻率( )
A．跟导线的电阻成正比
B．跟导线的横截面积成反比
C．由所用金属材料的本身特性决定
D．合金的电阻率大于构成该合金的任一纯金属的电阻率
答案 CD
解析 导线的电阻率与导线的电阻大小、横截面积、长度无关，由材料本身特性决定，故C正确；合金的电阻率比构成该合金的任一纯金属的电阻率大，D正确．
1．(电阻定律)(多选)导体的电阻是导体本身的一种性质．对于同种材料的导体，下列说法中正确的是( )
A．横截面积一定，电阻与导体的长度成正比
B．长度一定，电阻与导体的横截面积成反比
C．横截面积一定，电阻与导体的长度无关
D．长度一定，电阻与导体的横截面积无关
答案 AB
2(电阻定律)(2019·泉州高二检测)一阻值为R的均匀电阻丝，长为L，横截面积为S，设温度不变，下列哪种情况下电阻丝的电阻仍为R( )
A．长为2L，横截面半径为原来一半的相同材料的均匀电阻丝
B．横截面积为S，长为2L的相同材料的均匀电阻丝
C．长为2L，横截面积为2S的相同材料的均匀电阻丝
D．长为2L，横截面半径为原来2倍的相同材料的均匀电阻丝
答案 C
解析 由R＝ρeq \f(L,S)可知，长度为2L，横截面半径为原来一半即横截面积变为原来eq \f(1,4)时，有R1＝eq \f(ρ·2L,\f(1,4)S)＝8R，故A项错误；横截面积不变，长度变为二倍时，有R2＝ρeq \f(2L,S)＝2R，故B项错误；长为2L，横截面积为2S的相同材料的均匀电阻丝，有R3＝ρeq \f(2L,2S)＝R，故C项正确；长为2L，横截面半径为原来2倍的相同材料的均匀电阻丝，S变为原来的4倍，则有R4＝ρeq \f(2L,4S)＝eq \f(R,2)，故D项错误．
3．(对电阻率的理解)(多选)下列关于电阻率的说法中正确的是( )
A．电阻率ρ与导体的长度l和横截面积S有关
B．电阻率反映材料导电能力的强弱，由导体的材料决定，且与温度有关
C．电阻率大的导体，电阻一定很大
D．有些合金的电阻率几乎不受温度变化的影响，可用来制作标准电阻
答案 BD
解析 电阻率反映材料导电能力的强弱，只与材料本身及温度有关，与导体的长度l和横截面积S无关，故A错误，B正确；由R＝ρeq \f(l,S)知，电阻率大的导体，电阻不一定大，故C错误；有些合金的电阻率几乎不受温度变化的影响，可用来制作标准电阻，故D正确．
4．(对电阻率的理解)下列关于导体的电阻及电阻率的说法中，正确的是( )
A．导体对电流的阻碍作用叫作导体的电阻，因此，只有导体有电流通过时，才具有电阻
B．由R＝eq \f(U,I)可知，导体的电阻跟导体两端的电压成正比，跟通过导体的电流成反比
C．将一根导线一分为二，则半根导线的电阻和电阻率都是原来的二分之一
D．当温度降低到绝对零度附近时，某些金属、合金和化合物的电阻率会突然减小为零
答案 D
解析 导体的电阻率由材料本身的性质决定，并随温度变化而变化，导体的电阻与长度、横截面积有关，与导体两端的电压及通过导体的电流大小无关，A、B、C错误；当温度降低到绝对零度附近时，某些材料的电阻率会突然减小到零，成为超导体，D正确．
考点一 电阻率
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．由R＝eq \f(U,I)可知，当通过导体的电流不变，加在导体两端的电压变为原来的2倍时，导体的电阻也变为原来的2倍
B．由R＝eq \f(U,I)可知，通过导体的电流改变，加在导体两端的电压也改变，但导体的电阻不变
C．由ρ＝eq \f(RS,l)可知，导体的电阻率与导体的电阻和横截面积的乘积RS成正比，与导体的长度l成反比
D．导体的电阻率与导体的长度l、横截面积S、导体的电阻R皆无关
答案 BD
解析 导体的电阻是由导体本身的性质决定的，与加在导体两端的电压和通过导体的电流无关，所以A错误，B正确；ρ＝eq \f(RS,l)仅是导体电阻率的定义式，电阻率只与导体本身及温度有关，与式中的各物理量都无关，所以C错误，D正确．
2．金属材料的电阻率有以下特点：一般而言，纯金属的电阻率小，合金的电阻率大；金属的电阻率随温度的升高而增大，有的金属电阻率随温度变化而显著变化，有的合金的电阻率几乎不受温度的影响．根据以上的信息，判断下列说法中正确的是( )
A．连接电路用的导线一般用合金来制作
B．电炉、电阻器的电阻丝一般用合金来制作
C．电阻温度计一般用电阻率几乎不受温度影响的合金来制作
D．标准电阻一般用电阻率随温度变化而显著变化的金属材料制作
答案 B
解析 纯金属的电阻率小，故连接电路用的导线一般用纯金属来制作，故A错误；合金的电阻率大，故电炉、电阻器的电阻丝一般用合金来制作，故B正确；有的金属电阻率随温度变化而显著变化，故电阻温度计一般用金属来制作，故C错误；有的合金的电阻率几乎不受温度的影响，故标准电阻一般用合金材料制作，故D错误．
考点二 电阻定律
3．(多选)对于常温下一根阻值为R的金属电阻丝，下列说法正确的是( )
A．常温下，若将电阻丝均匀拉长为原来的10倍，则电阻变为10R
B．常温下，若将电阻丝从中点对折，电阻变为eq \f(R,4)
C．加在电阻丝上的电压从0逐渐加大到U，则在任意状态下的eq \f(U,I)的值不变
D．若把温度降到绝对零度附近，电阻丝的电阻突然变为零，这种现象称为超导现象
答案 BD
解析 常温下，若将电阻丝均匀拉长为原来的10倍，则横截面积变为原来的eq \f(1,10)，根据电阻定律R＝ρeq \f(l,S)，则电阻变为100R，故A错误；常温下，若将电阻丝从中点对折，长度为原来的一半，横截面积为原来的2倍，则电阻变为eq \f(R,4)，故B正确；随着温度变化电阻丝阻值会发生变化，故C错误；根据超导现象知，若把温度降到绝对零度附近，电阻丝的电阻突然变为零，故D正确．
4.如图1所示，长方体铜柱长a＝15 cm，宽b＝5 cm，高c＝3 cm，当将A与B接入电压为U的电路中时，电流为1 A，若将C与D接入电压为U的电路中，则电流为( )
图1
A．9 A B．2 A C.eq \f(1,2) A D.eq \f(1,4) A
答案 A
解析 由欧姆定律可得，当将A与B接入电压为U的电路中时，长方体铜柱的电阻为RAB＝eq \f(U,I)，由电阻定律得RAB＝ρeq \f(a,bc)，解得铜柱的电阻率为ρ＝eq \f(bcU,aI)；当将C与D接入电压为U的电路中时，长方体铜柱的电阻为RCD＝ρeq \f(b,ac)＝eq \f(b2U,a2I)＝eq \f(U,9)，由欧姆定律可得I′＝eq \f(U,RCD)＝9 A，故A正确．
5．一根均匀的导线，现将它均匀拉长，使导体的直径减小为原来的一半，此时它的阻值为64 Ω，则导线原来的电阻值为( )
A．128 Ω B．32 Ω C．4 Ω D．2 Ω
答案 C
解析 一根均匀导线，现将它均匀拉长，使导线的直径减小为原来的一半，则横截面积变为原来的eq \f(1,4)，因为导线的体积不变，则长度变为原来的4倍，根据电阻定律R＝ρeq \f(l,S)知电阻变为原来的16倍，所以导线原来的电阻为4 Ω，选项C正确．
6.如图2所示，某一导体的形状为长方体，其长、宽、高之比a∶b∶c＝5∶3∶2.在此长方体的上下、左右四个面上分别通过导线引出四个接线柱1、2、3、4.在1、2两端加上恒定电压，导体的电阻为R1；在3、4两端加上恒定电压，导体的电阻为R2，则R1∶R2为( )
图2
A．1∶1 B．9∶25
C．25∶4 D．4∶25
答案 D
解析 根据电阻定律R＝ρeq \f(l,S)得，当在1、2两端加上恒定电压时，R1＝ρeq \f(c,ab)，在3、4两端加上恒定的电压时，R2＝ρeq \f(a,bc)，所以eq \f(R1,R2)＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(4,25)，故D正确．
7．将两根长为L、横截面积为S、电阻率为ρ的保险丝串起来作为一根使用，则它的电阻和电阻率分别为( )
A.eq \f(2ρL,S)，ρ B.eq \f(2ρL,S)，eq \f(1,2)ρ
C.eq \f(ρL,2S)，ρ D.eq \f(ρL,2S)，eq \f(1,2)ρ
答案 A
解析 因为两根保险丝的电阻率相同，所以串起来后电阻率不变，串起来后总电阻的长度为2L，横截面积不变，即R＝eq \f(2ρL,S)，故A正确．
8．一根细橡胶管中灌满盐水，两端用短粗铜丝塞住管口，管中盐水柱长为16 cm时，测得电阻为R，若溶液的电阻随长度、横截面积的变化规律与金属导体相同．现将细橡胶管均匀拉长至20 cm(盐水体积不变，仍充满橡胶管)．则盐水柱电阻为( )
A.eq \f(4,5)R B.eq \f(5,4)R
C.eq \f(16,25)R D.eq \f(25,16)R
答案 D
解析 由于总体积不变，设16 cm长时的横截面积为S，所以长度变为20 cm后，横截面积S′＝eq \f(4,5)S，根据电阻定律R＝ρeq \f(l,S)可知：R＝ρ·eq \f(l,S)，R′＝ρeq \f(\f(5,4)l,\f(4,5)S)，联立两式得R′＝eq \f(25,16)R，故D项正确，A、B、C项错误．
9.(多选)温度能影响金属导体和半导体材料的导电性能，在如图3所示的图像中分别为某金属导体和某半导体的电阻随温度变化的关系曲线，则( )
图3
A．图线1反映的是半导体的电阻随温度的变化
B．图线2反映的是金属导体的电阻随温度的变化
C．图线1反映的是金属导体的电阻随温度的变化
D．图线2反映的是半导体的电阻随温度的变化
答案 CD
解析 金属导体随着温度升高，电阻率变大，从而导致电阻增大，对于半导体，电阻随着温度升高而减小，因此由题图可知，图线1表示金属导体的电阻随温度的变化，图线2表示半导体的电阻随温度的变化，故C、D正确，A、B错误．
10．金属铂的电阻值对温度的高低非常“敏感”，下列I－U图像中能表示金属铂电阻情况的是( )
答案 C
解析 在I－U图像中，图像上的点与坐标原点连线的斜率表示电阻的倒数，由于金属铂的电阻率随温度的升高而变大，因此能反映金属铂电阻情况的图像为C.
11．如图4所示，a、b、c为同一种材料做成的电阻，b与a的长度相等但横截面积是a的两倍；c与a的横截面积相等但长度是a的两倍．当开关闭合后，三个理想电压表的示数关系是( )
图4
A．V1的示数是V2的2倍B．V1的示数是V3的2倍
C．V2的示数是V1的2倍D．V2的示数是V3的2倍
答案 A
解析 由题意可知：lc＝2la＝2lb，Sb＝2Sa＝2Sc；设b的电阻Rb＝R，由电阻定律R＝ρeq \f(l,S)得Ra＝2Rb＝2R，Rc＝2Ra＝4R，Rc∶Ra∶Rb＝4∶2∶1.由题中电路图可知，a、b、c三个电阻串联，通过它们的电流相等，由U＝IR得Uc∶Ua∶Ub＝4∶2∶1，V1的示数是V2的2倍，故A正确，C错误；V3的示数是V1的2倍，故B错误；V3的示数是V2的4倍，故D错误．
12.在如图5所示的电路中，AB为粗细均匀、长为L的电阻丝，以A、B上各点相对A点的电压U为纵坐标，各点离A点的距离x为横坐标，则下列图像中正确的是( )
图5
答案 A
解析 由U＝IRx＝I·eq \f(x,L)R，其中I、R、L均不变，故U与x成正比，图像为过坐标原点的直线，A项正确．
13．如图6甲为一测量电解液电阻率的玻璃容器，P、Q为电极，已知a＝1 m，b＝0.2 m，c＝0.1 m，当里面注满某电解液，且P、Q间加上电压后，其U－I图线如图乙所示，当U＝10 V时，电解液的电阻率ρ是多少？
图6
答案 40 Ω·m
解析 由题图乙可知，当U＝10 V时，电解液的电阻为
R＝eq \f(U,I)＝eq \f(10,5×10－3) Ω＝2 000 Ω，
由题图甲可知电解液长为l＝a＝1 m，横截面积为S＝bc＝0.02 m2，结合电阻定律R＝ρeq \f(l,S)得
ρ＝eq \f(RS,l)＝eq \f(2 000×0.02,1) Ω·m＝40 Ω·m.
14.如图7所示，A、B两地相距40 km，从A到B两条输电线的总电阻为800 Ω.若A、B之间的某处E两条线路发生短路．为查明短路地点，在A处接上电源，测得电压表示数为10 V，电流表示数为40 mA.求短路处距A的距离．
图7
答案 距A端12.5 km
解析 设发生短路处到A处距离为x，据题意知，A、B两地间的距离L＝40 km，
电压表的示数U＝10 V，
电流表的示数I＝40 mA＝40×10－3 A，R总＝800 Ω.
根据欧姆定律I＝eq \f(U,R)可得，A端到短路处的两根输电线的电阻Rx＝eq \f(U,I)＝250 Ω
根据电阻定律可知：Rx＝ρeq \f(2x,S)
设A、B两地输电线的电阻为R总，R总＝ρeq \f(2L,S)
由后两式得eq \f(Rx,R总)＝eq \f(x,L)，解得x＝12.5 km. 三个因素及电压
不同导体
长度
横截面积
材料
电压
a
l
S
铁
U
b
2l
S
铁
2U
c
l
2S
铁
eq \f(U,2)
d
l
S
镍铜合金
5U
两个公式
区别与联系
R＝eq \f(U,I)
R＝ρeq \f(l,S)
区别
适用于纯电阻元件
适用于粗细均匀的金属导体或浓度均匀的电解液、等离子体
联系
R＝ρeq \f(l,S)是对R＝eq \f(U,I)的进一步说明，即导体的电阻与U和I无关，而是取决于导体本身的材料、长度和横截面积
电阻率ρ
电阻R
描述对象
材料
导体
物理意义
反映材料导电性的好坏，ρ越大，导电性越差
反映导体对电流阻碍作用的大小，R的值越大，阻碍作用越大
决定因素
由材料、温度决定，与导体形状无关
由材料、温度和导体形状决定
单位
欧姆·米(Ω·m)
欧姆(Ω)
联系
由R＝ρeq \f(l,S)得：ρ＝eq \f(RS,l)，可以通过测量R、S、l来求导体的电阻率.