高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义教案

导数的概念及几何意义

【学习目标】

1.知识与技能

(1)理解导数的概念，知识瞬时变化率就是导数，能解释具体函数在这一点的导数的实际意义．

(2)通过函数图象直观的理解导数的实际意义，理解曲线在某一点处切线的意义，会求一些简单的初等函数在某点的切线方程．

2.过程与方法

经历导数概念的形成过程，掌握通过逼近无限的数学研究方法；经历由割线得到切线的形成过程，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识．

3.情感、态度与价值观

领悟导数的概念、切线的定义形成过程所体现的具体与抽象、特殊与一般、无限与有限、静止到运动的形成过程，体会导学的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识．

【要点梳理】

要点一：导数的概念

1． 导数的概念

设函数，当自变量从变时，函数值从变到，函数值关于的平均变化率为

，

当趋于，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数在点的导数，通常用符号表示，记作

要点诠释：

（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．

（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从时间到的平均变化率即为到这段时间的平均速度．

（3）增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数．

（4）时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与无限接近．

（5）函数在点的导数还可以用符号表示．

要点二：导数的几何意义

已知点是曲线上一定点，点是曲线上的动点，我们知道平均变化率表示割线的斜率．如图所示：

当点无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率．即：

．

要点诠释：

（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．

（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：

①曲线在点处的切线：点在曲线上，在点处作曲线的切线（是切点），此时数量唯一．如图1．

②曲线经过点处的切线：点位置不确定（在曲线上或曲线外），过点作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点即可），数量不唯一．如图2，无论点在曲线上还是曲线外， 过点都可以作两条直线、与曲线相切．

（3）直线与曲线相切直线和曲线有1个公共点；

有别于直线和圆，如图，直线2与曲线有唯一公共点，但我们不能说直线2与曲线相切；而直线1尽管与曲线相切，却有不止一个公共点．

这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．

要点三：导数的物理意义

在物理学中，如图物体运动的规律是，那么该物体在时刻的瞬时速度就是在时的导数，即；

如果物体运动的速度随时间变化的规律是，那么物体在时刻的瞬时加速度就是在时的导数，即．

要点诠释：表示函数在处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度对时间的变化率；瞬时电流是电量对时间的变化率；瞬时功率是功对时间的变化率；瞬时电动势是磁通量对时间的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度．

【典型例题】

类型一：导数定义的应用

例1． 用导数的定义，求函数在x=1处的导数．

【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值．

【解析】先求增量：

再求平均变化率：

求极限，得导数：．

【变式1】已知函数的图象上的一点及临近一点，则         ，         ．

【解析】 ∵ ，

∴ ，

∴．

【变式2】求函数 在x=1处的导数．

【解析】 ∵，

∴，  ，即．

∴函数在处的导数为6 ．

【变式3】求函数在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

【解析】∵，

∴，

∴．

例2． 已知函数，求．

【解析】先求增量：，

再求平均变化率：．

求极限，得导数：．

【变式1】求函数在内的导函数．

【解析】∵，

∴  

        ∴．

【变式2】已知，求，．

【解析】∵，所以

∴

∴．

当时，．

例3． 若，则________．

【解析】根据导数定义：（这时增量），

所以

【变式1】函数满足，则当无限趋近于0时，

（1）                       ；

（2）                       ．

【答案】（1）

       （2）

【变式2】若

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】

【变式3】设函数在点x0处可导，则________．

【答案】 原式

                 ．

类型二：求曲线的切线方程

例4．求曲线在点处的切线方程．

【解析】

先求切线的斜率：

，

由条件可知，

由点斜式可得，过点的切线方程为：

，即．

【变式】求曲线上一点处的切线方程．

【答案】先求：

∵，

∴，

∴．

再求：

．

由点斜式得切线方程：

，即．

例5．求曲线经过点的切线方程．

【思路点拨】本题要分点是切点和不是切点两类进行求解．

【解析】第一步：先求导函数．

第二步：验证点是否在曲线上．

由于，所以在曲线上．

第三步：分类讨论．

①若点是切点，

则切线的斜率为，于是切线方程为，即；

②若点不是切点，设切点为．

则切线的斜率为，于是切线方程为： ．

由于切线经过点，于是有，整理得：

，解得或（舍去）．

所以切线方程是，即．

综上所述，所求切线方程为或．

【变式1】 已知函数，过点作函数图象的切线． 求切线方程．

【解析】先求导函数：

．

再验证：

，所以点在函数图象上．

最后讨论：

（1）当点是切点时，切线的斜率为，则切线方程为：．

（2）当点不是切点时，设切点坐标为．

则切线的斜率为（），所以切线方程为．

代入点得：

整理得：，

此时切线方程为．

综上所述，所求的切线方程为或．

【变式2】已知曲线．

（1）求曲线过点的切线方程；

（2）求满足斜率为的曲线的切线方程．

【解析】

（1）由于点不在曲线上，设切点坐标为，

则切线的斜率为，切线方程为，

将代入，得．所以所求的切线方程为．

（2）令，解得．

所以斜率为的切线的切点为或．

所以所求的切线方程为或．

【变式3】设函数，（其中，为常数）．已知曲线与在点（2，0）处有相同的切线．求的值，并写出切线的方程．

【答案】

由条件可知：且，

所以切线的方程：．

类型三：导数的实际应用

例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为，其中为体温(单位：℃)，为太阳落山后的时间(单位：min)．计算，并解释它的实际意

【解析】

表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以的速度下降．

【变式1】设一个物体的运动方程是：，其中是初速度（单位：m），是时间（单位：s）．求：时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．

【解析】  

        的瞬时速度是．

【变式2】质点按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）．若质点在时的瞬时速度为8 m / s，求常数的值．

【答案】质点时的瞬时速度为．

∵，

∴．∴，

所以，即=2．