北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件精品巩固练习

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》同步测评（附答案）

一．选择题（共10小题，满分50分）

1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AD、AE三等分∠BAC，D、E在BC边上，则其中的相似三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．6对

2．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）

A．CA平分∠BCD B． C．AC2＝BC•CD D．∠DAC＝∠ABC

3．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（　　）

A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB 

C．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝BC×AC

4．如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中相似三角形有几对（　　）

A．6对 B．5对 C．4对 D．3对

5．如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．

7．下列命题是真命题的是（　　）

A．同旁内角相等，两直线平行     B．对角线相等的四边形是矩形 

C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两角分别相等的两个三角形相似

8．下列条件中，能使△ABC∽△DEF成立的是（　　）

A．∠C＝98°，∠E＝98°， 

B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6 

C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26 

D．∠B＝35°，BC＝10，BC上的高AG＝7，∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH＝3.5

9．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

10．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（　　）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条

二．填空题（共5小题，满分25分）

11．如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为　       　．

12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB中点．若在AC边上取点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为　                　．

13．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上．只需添加一个条件即可证明△ADE∽△ACB，这个条件可以是　               　．（写出一个即可）

14．如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，在△APB、△APC、△APD、△ABC、△ABD、△ACD中写出一对相似三角形　          　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为　                　．

三．解答题（共6小题，满分45分）

16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．

18．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．

（1）求CD的长；

（2）求证：△CDE∽△BDC．

19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，△PBQ的面积为9？

（2）当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？

20．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．

（1）求证：△BEF∽△CDF；

（2）求证：DE•BF＝EF•BC．

21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．

（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？

（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？

参考答案

一．选择题（共10小题，满分50分）

1．解：∵∠B＝∠C＝36°，

∴∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，

∵AD、AE三等分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝36°，

∴∠BAE＝∠CAD＝72°，∠ADE＝∠AED＝72°，

∴△ABC∽△EAC∽△DAB，△ADE∽△BAE∽△CAD．

故选：D．

2．解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，

如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：

①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；

②＝；

故选：C．

3．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；

B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；

C、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC时，结合∠A＝∠A可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；

D、当AB×CP＝AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．

故选：D．

4．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∠BEF＝∠CDF＝90°，

∵∠A＝∠A，∠EFB＝∠DFC，

∴△AEC∽△ADB，△BEF∽△CDF，

∵∠EBF＝∠ABD，∠BEF＝∠ADB＝90°，

∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF，

∴共有6对相似三角形，

故选：A．

5．解：已知给出的三角形的各边分别为 、2、、

只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例．

故选：A．

6．解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；

B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；

C、当AC2＝AD•AB时，即＝，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；

D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意．

故选：D．

7．解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，

故选：D．

8．解：A、∠C＝∠E＝98°，不是对应角相等，故不能判定△ABC∽△DEF；

B、两个三角形的三边不对应成比例，故不能判定△ABC∽△DEF；

C、两个直角三角形的两边不对应成比例，故不能判定△ABC∽△DEF；

D、如图，AG⊥BC，DH⊥EF，

∴∠AGB＝∠DHE＝90°，

∵∠B＝∠E＝35°，

∴△ABG∽△DEH，

∴，

∵BC＝10，EF＝5，

∴，

∴，

∴△ABC∽△DEF．

故选：D．

9．解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；

②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；

③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；

④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．

故选：B．

10．解：∵BA＝BC，

∴∠A＝∠C，

①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．

②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．

③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，

故选：B．

二．填空题（共5小题，满分25分）

11．解：设AP＝x．

∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，

①当时，，解得x＝3．

②当时，，解得x＝1或8，

∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，

故答案为1或3或8．

12．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝＝＝5，

∵D为AB的中点，

∴AD＝AB＝，

当△ADE∽△ABC时，，即，

解得，AE＝2，

当△ADE∽△ACB时，，即，

解得，AE＝，

故答案为：2或．

13．解：添加∠ADE＝∠C，

又∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ACB，

故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．

14．解：∵∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，

∴AB＝AP，AC＝AP，AD＝AP，

∴＝，，

∴，

又∵∠ABC＝∠ABD，

∴△ABC∽△DBA，

故答案为：△ABC∽△DBA．

15．解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，

∴AC＝＝＝4，

∵D为AB的中点，

∴AD＝AB＝4，

∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，

①若△ADE∽△ABC，则＝，

即＝，

解得AE＝2，

②若△AED∽△ABC，则＝，

即＝，

解得AE＝，

综上所述，AE的长为2或．

故答案为：2或．

三．解答题（共6小题，满分45分）

16．证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD．

∵BE＝BD，

∴∠BED＝∠BDE．

∴∠AEB＝∠ADC．

∴△ABE∽△ACD．

17．证明：在△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠EDC＝∠ADE+∠ADC＝∠B+∠BED，∠ADE＝∠B，

∴∠DEB＝∠ADC，

在△ADC和△DEB中，∠ADC＝∠DEB，∠C＝∠B，

∴△ADC∽△DEB．

18．（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6，BC＝6，

∴AC＝＝12；

∴AE＝AC﹣CE＝9，

∵AB∥CD，

∴△CDE∽△ABE；

∴，

∴CD＝＝＝2，

（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，

∴BE＝＝3，

∵AB∥CD，

∴△CDE∽△ABE，

∴，

∴DE＝，

∴BD＝4，

∵，，

∴，

∵∠D＝∠D，

∴△CDE∽△BDC．

19．解：（1）由题意得，AP＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t．

∴S△PBQ＝PB•BQ

＝ （6﹣t）•2t

＝﹣t2+6t，

由题意得﹣t2+6t＝9，

解得t1＝t2＝3，

所以运动时间t为3s；

（2）若当△PBQ∽△ABC时，＝．

即＝，

解得t＝；

当△PBQ∽△CBA时，＝．

即＝，

解得t＝．

综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是或．

20．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，

∴△BEF∽△CDF；

（2）如图，连接DE，

∵∠BEF＝∠CDF＝90°，

∴点B，点C，点D，点E四点共圆，

∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，

∴△DEF∽△CBF，

∴，

∴DE•BF＝EF•BC

21．解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．

×2x（8﹣x）＝×8×10×．

解得x1＝x2＝4．

答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；

（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．

∵∠C＝∠C，

∴可分为两种情况：

①＝，即＝，

解得t＝；

②＝，即＝．

解得t＝．

答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．