人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教案，共10页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

1. 理解基本不等式的内容及其证明.
2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.
【要点梳理】
要点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
2.由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.
要点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
要点诠释：
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
要点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
要点诠释：
1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
要点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
要点诠释：
1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.
2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.
当a=b取等号，其含义是；
仅当a=b取等号，其含义是.
综合上述两条，a=b是的充要条件.
3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值.
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
【典型例题】
类型一：对公式及的理解
例1.下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，
B．当x>0时，
C．当x≥2时，的最小值为2
D．当0【思路点拨】
利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。
【答案】 B
【解析】 A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不确定，
∴或；
C中，当x≥2时，；
D中，当0【变式1】，，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.
（1）的最小值为；
（2）的最小值为；
（3）的最小值为.
【答案】（1）；（2）
（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（3）∵，∴，
（当且仅当即时取等号）
∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即
【变式2】给出下面四个推导过程：
① ∵，∴；
② ∵，∴；
③ ∵，，∴ ；
④ ∵，，∴.
其中正确的推导为（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案】D
【解析】①∵，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确.
②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的.
③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的.
④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.
类型二：利用基本不等式证明不等式
例2.已知，求证:
【思路点拨】
对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.
【解析】
（当且仅当即,等号成立）.
【变式】已知、都是正数，求证：.
【答案】∵、都是正数 ，∴，，
∴（当且仅当即时,等号成立）
故.
例3. 已知、、都是正数，求证：
【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。
【解析】∵、、都是正数
∴ （当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）
即.
【变式】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：.
【答案】证明： ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴，
，
.
∴.
类型三：利用基本不等式求最值
例4. 若,求的最小值.
【解析】因为，由基本不等式得
（当且仅当即时，取等号）
故当时, 取最小值.
【变式1】若,求的最大值.
【答案】因为,所以, 由基本不等式得:
,
（当且仅当即时, 取等号）
故当时,取得最大值.
【变式2】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？
【答案】∵，∴，∴
（当且仅当即时，取等号）
故当时，的值最小为18.
例5. 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.
【思路点拨】
要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.
【解析】
方法一：∵，∴
∵x＞0，y＞0，∴
（当且仅当，即y=3x时，取等号）
又，∴x=4，y=12
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.
方法二：由，得
∵x＞0，y＞0，∴y＞9
∵y＞9，∴y－9＞0，
∴
（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.
【变式1】若,,且,求的最小值 .
【答案】∵,，
∴
（当且仅当即，时，等号成立）
∴（当且仅当，时，等号成立）
故当，时，的最小值为64.
【变式2】已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为________；
【答案】
类型四：利用基本不等式解应用题
例6. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元).
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
【思路点拨】
对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题。
【解析】（Ⅰ）设矩形的另一边长为m，
则
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
(Ⅱ)
.当且仅当225x=时，等号成立.
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？
【答案】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，
则（当且仅当x=8时取“=”）
此时每人最少交80元.
【变式2】 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
【解析】由题意可得，
∴.
于是，框架用料长度为
.
当，即时等号成立.
此时，，.
故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省.