2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第二章第四讲　指数与指数函数学案

第四讲　指数与指数函数

1.[多选题]下列说法正确的为 (　　)

A.=()n=a(n∈N*)

B.函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数

C.若am<an(a>0,且a≠1),则m<n

D.指数函数的图象恒过定点(0,1)

2.[2020贵阳市高三测试]设a=0.60.3,b=0.30.6,c=0.30.3,则a,b,c的大小关系为 (　　)

A.b<a<c                 B.a<c<b

C.b<c<a                 D.c<b<a

3.[2019北京高考]设函数f (x)=ex+ae - x(a为常数).若f (x)为奇函数,则a=　　　　;若f (x)是R上的增函数,则a的取值范围是　　　　. 

4.[2015山东高考]已知函数f (x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[ - 1,0],则a+b=　　　. 

5.[2015福建高考]若函数f (x)=2|x - a|(a∈R)满足f (1+x)=f (1 - x),且f (x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于　　　. 

考法1   指数幂的运算

1计算:

(1)( - 30.002 - 10 - 2) - 1()0;

(2)(a>0,b>0);

(3)若=3,求的值.

(1)原式=( - 1(3(1=(50 - 10(2)1=10 - 10 - 201= - .

(2)原式=·=ab - 1.

(3)由=3,两边平方,得xx - 1=7,

∴x2x - 2=47.∴x2x - 2 - 2=45.

由()3=33,得33=27.

∴=18,∴ - 3=15.

∴.

考法2    指数函数的图象及应用

2(1)已知函数y=kx+a的图象如图2 - 4 - 2所示,则函数y=ax+k的图象可能是

图2 - 4 - 2

(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是　　　　. 

(1)由y=kx+a的图象→确定k,a的取值范围→y=ax+k的图象

(2)函数y=2x+1的图象→作关于x轴对称的图形→|y|=2x+1即为上述曲线→观察与y=b相交情况→求b的取值范围

(1)由函数y=kx+a的图象可得k<0,0<a<1.因为函数的图象与x轴交点的横坐标大于1,所以k> - 1,所以 - 1<k<0.函数y=ax+k的图象可以看成把y=ax的图象向右平移 - k个单位长度得到的,且函数y=ax+k是减函数,故此函数的图象与y轴交点的纵坐标大于1,结合所给的选项,选B.

(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图2 - 4 - 3所示,由图象可得:如果曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[ - 1,1].                                                                                                                           图2 - 4 - 3

1.(1)若将示例2(2)中“曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点”改为“曲线y=|2x - 1|与直线y=b有两个公共点”,则b的取值范围为　　　　. 

(2)若将示例2(2)改为:函数y=|2x - 1|在( - ∞,k]上单调递减,则k的取值范围是　　　　. 

(3)若将示例2(2)改为:直线y=2a与函数y=|ax - 1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是　　　　. 

考法3    指数函数的性质及应用

命题角度1　比较大小

3 [2016全国卷Ⅲ]已知a=,b=,c=2,则 (　　)

A.b<a<c     B.a<b<c C.b<c<a        D.c<a<b

因为a=,b==1,c=,且幂函数y=在R上单调递增,指数函数y=16x在R上单调递增,所以b<a<c.

A

2.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,1<bx<ax,则 (　　)

A.0<b<a<1 B.0<a<b<1

C.1<b<a               D.1<a<b

命题角度2　指数函数性质的综合问题

4(1) [2017北京高考]已知函数f (x)=3x - ()x,则f (x) (　　)

A.是奇函数,且在R上是增函数

B.是偶函数,且在R上是增函数

C.是奇函数,且在R上是减函数

D.是偶函数,且在R上是减函数

(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈( - ∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围为　　　　. 

(1)因为f (x)=3x - ()x,且定义域为R,所以f ( - x)=3 - x - () - x=()x - 3x= - [3x - ()x]= - f (x),即函数f (x)是奇函数.

又y=3x在R上是增函数,y=()x在R上是减函数,所以f (x)=3x - ()x在R上是增函数.故选A.

(2) 从已知不等式中分离出实数a,得a> - [()x+()x].

因为y=()x,y=()x均为减函数,

所以y= - [()x+()x]为增函数.

所以当x≤1时, - [()x+()x]≤ - .

所以实数a的取值范围为( - ,+∞).

3.[2019湖南五市十校联考]若f (x)=ex - ae - x为奇函数,则满足f (x - 1)> -  e2的x的取值范围是(　　)

A.( - 2,+∞)           B.( - 1,+∞)   C.(2,+∞)               D.(3,+∞)

命题角度3　与指数函数有关的复合函数问题

5已知函数f (x)=(.

(1)若a= - 1,则f (x)的单调递增区间为　　　　,单调递减区间为　　　　; 

(2)若f (x)有最大值3,则a的值为　　　　; 

(3)若f (x)的值域是(0,+∞),则a的值为　　　　. 

(1)当a= - 1时,f (x)=(,

令u= - x2 - 4x+3= - (x+2)2+7,

则该函数在( - ∞, - 2)上单调递增,在( - 2,+∞)上单调递减.而y=()u在R上单调递减,

所以函数f (x)在( - ∞, - 2)上单调递减,在( - 2,+∞)上单调递增,

即函数f (x)的单调递增区间是( - 2,+∞),单调递减区间是( - ∞, - 2).

(2)令h(x)=ax2 - 4x+3,则f (x)=()h(x),

因为f (x)有最大值3,所以h(x)有最小值 - 1,

因此必有解得a=1,即当f (x)有最大值3时,a的值为1.

(3)令g(x)=ax2 - 4x+3,由f (x)的值域是(0,+∞)知,g(x)=ax2 - 4x+3的值域为R,则必有a=0.

4.[改编题]已知函数f (x)=2|2x - m|　(m为常数).若f (x)在[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是　　 　　. 

易错　忽略对底数a的分类讨论而出错

6已知函数y=a2x+2ax - 1(a>0,且a≠1),当x≥0时,则函数的值域为　　　　. 

易忽略对底数a的分类讨论而出错.(1)当a>1时,如果x≥0,那么ax≥1;(2)当0<a<1时,如果x≥0,那么0<ax≤1.

y=a2x+2ax - 1,令t=ax,

则y=g(t)=t2+2t - 1=(t+1)2 - 2.

当a>1时,∵ x≥0,∴t≥1,∴当a>1时,y≥2.

当0<a<1时,∵ x≥0,∴0<t≤1.

∵ g(0)= - 1,g(1)=2,∴当0<a<1时, - 1<y≤2.

综上所述,当a>1时,函数的值域是[2,+∞);

当0<a<1时,函数的值域是( - 1,2].

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1.BD　根据指数运算的性质和指数函数的图象与性质可知AC错误,BD正确,故选BD.

2.C　指数函数y=0.3x在R上单调递减,所以0.30.6<0.30.3,即b<c.幂函数y=x0.3在[0,+∞)上单调递增,所以0.30.3<0.60.3,即c<a.综上可知,b<c<a.故选C.

3. - 1　( - ∞,0]　∵f (x)为奇函数,∴f ( - x)= - f (x),即e - x+aex= - ex - ae - x,∴(1+a)e - x+(1+a)ex=0,∴a= - 1.

∵f (x)单调递增,∴f  ' (x)=ex - ae - x=≥0,∴e2x - a≥0,∴a≤0,故a的取值范围是( - ∞,0].

4. - 　①当0<a<1时,函数f (x)在[ - 1,0]上单调递减,

由题意可得即解得此时a+b= - .

②当a>1时,函数f (x)在[ - 1,0]上单调递增,

由题意可得即显然无解.

所以a+b= - .

5.1　因为f (1+x)=f (1 - x),所以函数f (x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1,所以函数f (x)=2|x - 1|的图象如图D 2 - 4 - 1所示,因为函数f (x)在[m,+∞)上单调递增,所以m≥1,所以实数m的最小值为1.

图D 2 - 4 - 1

1.(1)(0,1)　曲线y=|2x - 1|与直线y=b的图象如图D 2 - 4 - 2所示,由图象可得,如果曲线y=|2x - 1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).

图D 2 - 4 - 2

(2)( - ∞,0]　因为函数y=|2x - 1|的单调递减区间为( - ∞,0],所以k≤0,即k的取值范围为( - ∞,0].

(3)(0,)　y=|ax - 1|的图象是由y=ax先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的.

当a>1时,两图象只有一个交点,不合题意,如图D 2 - 4 - 3(1);当0<a<1时,要使两个图象有两个公共点,则0<2a<1,得到0<a<,如图D 2 - 4 - 3(2).

(1)　　　　　　　　　　　(2)

图D 2 - 4 - 3

综上可知,a的取值范围是(0,).

2.C　因为当x>0时,1<bx,所以b>1.因为当x>0时,bx<ax,所以()x>1,可得>1,所以a>b.所以1<b<a.故选C.

3.B　由f (x)=ex - ae - x为奇函数,得f ( - x)= - f (x),即e - x - aex=ae - x - ex,解得a=1,所以f (x)=ex - e - x,则f (x)在R上单调递增.又f (x - 1)> - e2=f ( - 2),所以x - 1> - 2,解得x> - 1,故选B.

4.( - ∞,4]　令t=|2x - m|,则t=|2x - m|在[,+∞)上单调递增,在( - ∞,]上单调递减.因为f (x)=2t在R上为增函数,所以若函数f (x)=2|2x - m|在[2,+∞)上单调递增,则≤2,即m≤4,所以m的取值范围是( - ∞,4].