高中数学北师大版必修11.1利用函数性质判定方程解的存在教学设计

教学设计：

§ 4.1.1《利用函数性质判定方程解的存在》                        

一、教学目标：

知识与技能 ：

 1.会用函数图象的交点解释方程的根的意义。

2.能结合结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与对应方程根的联系.

3.理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质，并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法。

过程与方法：

从我们已有的基础(一元二次方程及其根的求法,一元二次函数及其图象与性质)出发,从具体到一般揭示方程的根与对应函数的零点之间的关系,零点存在的判定.

 情感、态度、价值观：

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

二、教学重点难点：

1、零点的理解；利用数性质判定方程解的存在性

2、点数形结合思想的合理应用

三、教学程序与环节设计：

四、教学过程

（一）新课引入

*介绍部分方程求解的数学史

设计意图：数学史知识的教学可使学生更深刻的理解数学知识。了解这部分数学知识是如何来的，是和什么样的数学实践活动直接联系的在数学教学中适当地给学生介绍一下数学发展的曲折经历，讲一些数学挫折史或蒙难史，对于促进学生建立学习数学的信心是非常有帮助的。

*设置情境: 讲述史例  我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法……11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。

问题：你会求什么方程的根呢？

人们希望像解低次方程那样去求解高次方程，但经过长期努力，都无果而终，1824年挪威天才数学家阿贝尔成功证明了五次及以上的一般方程没有根式解。

今天我们来学习方程的根与函数的零点！

探究：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次

      函数的图象，观察二者有何联系？

     （1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3

     （2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1

     （3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3

问题：你知道方程对应的函数是怎么找的吗？

二、讲授新课

[组织探究]

*思考：一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？

步骤2：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（填写下表）

设计意图：以探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系，作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原知识形成联系。把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力．

*函数零点的概念与等价关系

  函数的图象与轴交点，即当，该方程有几个根，的图象与轴

就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．

设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。

1.函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．

2．方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为方程问题．这正是函数与方程

思想的基础．但两者不能混为一谈.我们可以通过研究函数的零点来研究方程的根，并不能说这个两个概念等同.

[例题研究]

例1   函数f(x)=x(x－4)的零点为（   ）

      A．(0，0)，(2，0)   B．0   C．(4，0)，(0，0)   D．4，0

解析：由x(x－4)=0得x=0或x=4.   注意：函数的零点是实数，而不是点.

解方程是求函数零点的一种方法

探究：对于不能通过求方程根的方法确定零点的函数该如何确定零点呢？

观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；

f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．

在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（填“＜”或“＞”）．

思考：观察图象填空

①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或“＞”)．

在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零点；

②在区间(b,c)上,f(b)·f(c) ___0(填“＜”或“＞”)．

在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零点；

③在区间(c,d)上f(c)·f(d) ___0(填“＜”或“＞”)．

在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)零点；

通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：

一般地，我们有：

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有, 那么, 函数 在区间内有零点, 即存在,使, 这个也就是方程的根。

设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。

(而零点存在性定理的教学，则应引导学生观察函数图象与轴的交点的情况，来研究函数零点的情况，通过研究：①函数图象不连续；②；③，函数在区间上不单调；④，函数在区间上单调，等

各种情况，加深学生对零点存在性定理的理解．)

例2：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例

（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)· f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（   ）

（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)· f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（   ）

（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b) <0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（   ）

解析：（1）分析：满足条件一定有零点，但不确定有几个，函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的.

（2）分析：如图可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)·f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确. 

（3）分析：虽然函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)< 0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点故论断不正确.

问题1、若，函数在区间在上一定没有零点吗？

问题2、若，函数在区间在上只有一个零点吗？可能有几个？

问题3、时，增加什么条件可确定函数在区间在上只有一个零点？

设计意图：通过教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内容，而鼓励学生提问，是培养学生学习主动性和创造能力必要的过程。

设计意图：对所学内容巩固，可以借助<几何画板>画出函数的图象观察,也可借助<EXCEl>列出函数值表观察。本题可以使学生意识对零点的区间是不唯一的，为下一节二分法求方程的近似解奠定基础。让学生进一步领悟，零点的唯一性需要借助函数的单调性。

五、反馈练习

1、对于定义在上的连续函数,若且,则函数在内（        ）

A  只有一个零点              B    至少有一个零点

C  无零点                    D    无法确定有无零点

2、如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（        ）

A  m> – 2        B  m< – 2        C  m>2       D  m<2

3、函数的零点为(        )

A  (0,0),(4,0)      B   0,4      C   (– 4 ,0), (0,0),(4,0)     D   – 4 ,0,4

4、函数的零点所在的大致区间为（        ）

A （1，2） B（ – 2 ，0） C（0，1）  D（0，  ）

5、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的 对应值表：

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（      ）个

    A  5         B  4        C    3        D   2

设计意图：对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.

六、小结与作业

说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤．

设计意图：让学生回顾整个学习过程，有利于优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.

必做题：1．教材习题4．1；

2．求函数的零点个数，并指出其零点所在的大致区间．

选做题：设函数．

（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；

（2）当时，函数的零点是怎样分布的？

设计意图：巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维．

七、教 学 特 色

以问题为教学线索

以学生为课堂主体

以情感为学习动力

板书设计：