沪科版七年级下册9.3 分式方程精品综合训练题

9.3分式方程同步练习沪科版初中数学七年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为

A.  B.  C. 1 D. 2

3. 某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工停工等待？为解决此问题，可设派x人挖土，其他人运土，下列所列方程：
   ；；；正确的个数有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4. 如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为

A.  B. 2 C. 4 D.

5. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为

A.  B. 3 C. 2 D.

6. 分式方程的解为

A.  B. 或
C. 或 D.

7. 如图是小明同学解方程的过程．
   
   针对以上解题过程，下列说法正确的是

A. 从第一步开始有错 B. 从第二步开始有错
C. 从第三步开始有错 D. 完全正确

8. “绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 关于x的方程无解，则m的值为

A.  B.  C.  D. 5

10. 解分式方程，去分母得

A.  B.
C.  D.

11. 已知，是分式方程的解，那么实数k的值为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

12. 关于x的分式方程有增根，则m的值为

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 关于x的分式方程的解为正实数，则k的取值范围是______．
14. 关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是______．
15. 若关于x的分式方程无解，则      ．
16. 若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的正整数a的值为______．
17. 若关于x的方程有增根，则a的值为________．
18. 某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．则此商品的进价是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．
    求甲、乙两工程队每天各完成多少米？
    如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？
    
    
    
    
    
    
     
20. 某中学购买A、B品牌篮球分别花费了2400元、1950元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花50元．
    求购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
    该学校决定再次购进A、B两种品牌篮球共30个，恰逢百货商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3200元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
    
    
    
    
    
    
     
21. 某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
    求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
    玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具甲、乙玩具的进货单价不变，购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？
    
    
    
    
    
    
     
22. 某服装厂准备加工260套运动服，在加工了60套后，采用新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了8天完成，求该厂原来每天加工多少套运动服．
    
    
    
    
    
    
     
23. 先化简，再求值：，其中．
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
24. 为做好新冠疫情的防控工作，某学校需购买甲、乙两种消毒液共50箱．经了解，每箱甲消毒液的售价比每箱乙消毒液的售价贵40元，且用1200元购买甲消毒液的数量恰好与用960元购买乙消毒液的数量相同．
    每箱甲、乙消毒液的售价分别是多少元？
    若两种消毒液都购买，且购买乙消毒液的箱数不多于甲消毒液箱数的，请问甲、乙消毒液分别购买多少箱时，所需总费用最少？最少总费用是多少？
    
    
    
    
    
    
     
25. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
最简公分母是，方程两边都乘以，把分式方程便可转化成一元一次方程．
【解答】
解：方程两边都乘以，得
，
故选：C．  

2.【答案】C
 

【解析】解：，
不等式组整理得：，
由不等式组有且只有四个整数解，得到，
解得：，即整数，0，1，2，
，
分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为，0，2，之和为1．
故选：C．
表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：x人挖土，则运土，3人挖出的土1人恰好能全部运走，那么使挖出来的土能及时运走且不窝工，说明挖土的人的数量与运土人的数量之比：都是这个等量关系的变形正确．运土的人数应是，方程应为，
故选：C．
关键描述语为：“3人挖出的土1人恰好能全部运走”；等量关系为：挖土的人的数量与运土人的数量之比：1，由此列式．
找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题需重点理解：3人挖出的土1人恰好能全部运走．
 

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查分式方程解法增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．
【解答】
解：，
去分母，方程两边同时乘以，得：
，
由分母可知，分式方程的增根是2，
当时，，
，
故选D．  

5.【答案】A
 

【解析】解：方程两边都乘以得：，
解得：，
方程有增根，
，
，
，
解得：．
故选：A．
先求出方程的解，因为方程有增根，所以，所以，根据方程的解等于2，求得a的值．
本题考查了分式方程的增根，求出方程的解和增根的值是解题的关键．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：，
方程两边都乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是，
故选：D．
方程两边都乘以得出，求出，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：从第二步开始出错，
正确的解答过程是：方程两边同时乘，
得，
解得，
检验：当时，，
所以原方程的解为．
故选：B．
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
本题考查了解分式方程和解一元一次方程，能把分式方程转化成整式方程和能根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合提前 30天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解答】
解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：，
整理得，．
故选C．  

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分式方程的解法、分式方程的增根问题，首先去分母，得，然后根据分式方程无解得出，最后代入计算即可求解．
【解答】
解：去分母得：，
由分式方程无解，得到，即，
代入整式方程得：，
解得：，
故选A．  

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了解分式方程的去分母步骤．
分式方程变形后，两边乘以最简公分母得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：分式方程整理得：，
去分母得：，
故选A．  

11.【答案】D
 

【解析】解：把代入原方程可得：，
整理，得：，
解得：，
故选：D．
将代入分式方程，得到关于k的一元一次方程，然后解方程即可．
本题考查分式方程的解及解一元一次方程，理解方程的解的概念，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值。
【解答】
解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母
解得，
当时，
解得，
所以m的值为4。
故选C。  

13.【答案】且
 

【解析】解：方程两边同乘，得
，
解得，，
，
，
由题意得，，
解得，，
的取值范围是且．
故答案为：且．
利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
 

14.【答案】且
 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
，
解得：，
当时，不合题意，
故且．
故答案为：且．
直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】略
 

16.【答案】2
 

【解析】解：不等式整理得：，
该不等式组有且只有四个整数解，
该不等式组的解集为：，且，
解得：，
，
方程两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
该方程的解为非负数，
且，
解得：且，
综上可知：符合条件的正整数a的值为2，
故答案为：2．
解不等式组，根据“该不等式组有且只有四个整数解”，得到关于a的不等式，解之，解关于y的方程，根据“该方程的解为非负数”，得到关于a的不等式组，解不等式组，综上可得到a的取值范围，即可得到答案．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，正确掌握解一元一次不等式组，解分式方程的方法是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是解分式方程有关知识，首先对该方程进行变形，然后再进行解答即可．
【解答】
解：原方程可变形为，
整理可得：，
该方程有增根，增根为，
，
解得：．
故答案为．  

18.【答案】50元
 

【解析】解：设此商品的进价是x元，
根据题意，得：，
解得．
经检验：是所列方程的解，
即此商品的进价是50元．
故答案是：50元．
设此商品的进价是x元，根据第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元，可列出方程．
本题考查主要考查了分式方程的应用和理解题意的能力，关键是以销售量作为等量关系列方程，求出进价和销售多少件．
 

19.【答案】解：设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米．
设甲队先单独工作y天，则甲乙两工程队还需合作天，
依题意，得：，
解得：，
．
答：两工程队最多可以合作施工6天．
 

【解析】设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，根据工作时间工作总量工作效率结合甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
设甲队先单独工作y天，则甲乙两工程队还需合作天，根据总费用每天的费用工作时间结合支付工程队总费用不超过79000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元，由题意得
，
解得：，
经检验是原方程的解，
．
答：购买一个A品牌的篮球需80元，购买一个B品牌的篮球需130元．
设此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个，由题意得
，
解得，
是整数，
最大等于19，
答：该学校此次最多可购买19个B品牌蓝球．
 

【解析】设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；
设此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3200元，列出不等式解决问题．
此题考查分式方程与一元一次不等式的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
．
答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．
设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件，
根据题意得：，
解得：，
为整数，

答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件．
 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为元，根据数量总价单价结合“用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件，根据进货的总资金不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论．
 

22.【答案】解：设该厂原来每天加工x套运动服，则采用新技术后每天加工2x套运动服，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：该厂原来每天加工20套运动服．
 

【解析】设该厂原来每天加工x套运动服，则采用新技术后每天加工2x套运动服，由题意：某服装厂准备加工260套运动服，在加工了60套后，采用新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了8天完成，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：原式

，
当时，
原式．

，
，
，
，
检验：将代入，
原方程的根是 ．
 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将m的值代入原式即可求出答案．
根据分式方程的解法即可求出答案．
本题考查分式化简求值以及分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法、分式的加减运算以及乘法运算，本题属于基础题型．
 

24.【答案】解：设每箱乙消毒液的售价为x元，每箱甲消毒液的售价为元，
由题意得：，
解得：，
乙种消毒液的零售价为x元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每箱甲消毒液的售价为200元，每箱乙消毒液的售价为160元；
设购买甲消毒液a箱，则购买乙甲消毒液箱，
由题意得：，
解得：，
设所需总费用为w元，则，
，
随a的增大而增大，
当时，w取得最小值，最小值元，
此时，，
答：当甲种消毒液购买30箱时，乙消毒液购买20箱时，所需总费用最少，最少总费用是9200元．
 

【解析】设每箱乙消毒液的售价为x元，每箱甲消毒液的售价为元，由题意：用1200元购买甲消毒液的数量恰好与用960元购买乙消毒液的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设购买甲消毒液a箱，则购买乙甲消毒液箱，由题意：购买乙消毒液的箱数不多于甲消毒液箱数的，列出一元一次不等式，解之得出a的取值范围，设所需总费用为w元，得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
 

25.【答案】解：，
解不等式，得；
解不等式，得；
在数轴上表示为

原不等式组的解集为：；
两边同时乘以得：，
，
解得：，
检验：把代入，
所以是原方程的解．
 

【解析】分别求出两个不等式的解集，求出公共解，并在数轴上表示出来即可；
根据分式方程求解的步骤解答即可．
本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的步骤是解集本题的关键．