高中数学沪教版高中三年级 第一学期14.3空间直线与平面的位置关系教案

空间直线和平面的位置关系

【教学目标】

在通过观察和实验，探索直线和平面垂直的位置关系的过程中，理解空间直线和平面垂直的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，理解空间直线和平面垂直的定义及定理，体会几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，发展空间想象力和逻辑思维能力，理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念，知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关系，体会化归和转化的数学思想方法。

【教学重难点】

1．空间直线和平面垂直的定义、定理及其表示法；

2．几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性；

3．空间距离的确定与计算。

【教学过程】

一、情景引入

引例：简述下列问题的结论，并画图说明：

1．直线，直线，则b和的位置关系如何？

2．直线，直线，则b和的位置关系如何？

解：（1）；（2）。

说明：

（1）引导学生掌握空间直线与平面的各种位置关系，学会各种位置关系的画法与表示方法。注意立体几何中，文字、符号语言与图形直观的互相转化。

（2）小结空间直线和平面的位置关系：

。

说明：同时用图形语言、符号语言、几何语言表述这些位置关系。

今天我们来探索空间直线和平面相交中的一种特殊位置关系——直线和平面垂直。

二、学习新课

1．问题1：在日常生活中你见到最多的直线与平面垂直的情形是什么？请举例说明。

说明：

引导学生举出生活中常见的直线与平面垂直的例子，如旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，教室内直立的墙角线和地面的位置关系等。

2．问题2：结合对下列问题的思考，讨论能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线和这个平面垂直呢？

（1）如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗？

（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？

（3）如图，当旗杆AB倾斜时，还能保证AB与地面上的任一直线都垂直吗？

说明：

（1）引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，通过观察思考，感知直线与平面垂直的内涵。

（2）教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直。

（3）通过观察、思考与讨论，让学生感悟“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直”是这条直线与平面垂直的本质内涵。

还可引导学生观察实例（如表示直线的笔与表示平面的桌面的位置关系）和几何模型（如棱锥、棱台的侧棱与底面的位置关系等），从中感知：只要平面外的直线不垂直于这个平面，平面内就有直线与平面外的这条直线不垂直，反之亦然。

（4）让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。教师补充完善，同时给出直线与平面垂直的记法与画法。

定义：一般地，如果一条直线l与平面α上的任何直线都垂直，那么我们就说直线l与平面α垂直（line perpendicular to plane α），记作：l⊥α。直线l叫做平面α的垂线（perpendicular line），平面α叫做直线l的垂面。l与面α的交点叫做垂足。

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图。

辨析1：下列命题是否正确？为什么？

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。

（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。

说明：通过问题辨析，加深概念的理解。由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思。而（2）给出了直线与直线垂直的一种判定方法。

引导学生给出命题（2）的符号表示：。

3．问题3：通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？如何改进？

说明：感受用定义作判断不方便，引发学生探索判定定理的需要，体会有限与无限的辨证关系。

引导学生思考用定义作判断不方便的原因，再讨论平面内的直线减少到多少条才合适，先排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，可引导学生观察直立地面的棋杆与其在地面的影子，还可进行如下实验。

实验：如图4，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，BD．DC与桌面接触。

4．问题4：如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？由此你能得到什么结论？

说明：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC时翻折后的折痕AD与桌面垂直。

引导学生发现折痕AD与桌面垂直的本质特征：AD是BC边上的高时，无论怎样翻折，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，同时CD．BD是两相交直线不变，这就是说，当AD垂直于桌面内的两条相交直线CD．BD时，它就垂直于桌面所在的平面。

定理2：如果直线与平面上的两条相交直线a、b都垂直，那么直线与平面垂直。

用符号语言表示为：。

辨析2：（1）下列命题是否正确？为什么？

如果一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，那么这条直线垂直于平行四边形所在的平面。

（2）如图，若α内两条相交直线m、n与l无公共点且l⊥m、l⊥n，直线l还垂直平面α吗？

说明：通过辨析，让学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的。

三、巩固练习

例1．如图，观察跨栏、跳高架，你认为跨栏的支架、跳高架的立竿能竖直立于地面的原因是什么？

说明：用学习到的知识解释实际生活中的问题，增强学生运用数学的意识，深化对直线与平面垂直定理的理解。

例2．如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。

说明：初步感受如何运用直线与平面垂直的定理与定义解决问题，明确运用线面垂直定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件。让学生用文字语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果给出了直线和平面垂直的又一个判定方法。

例3．（1）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1．CC1的中点，判断下列结论是否正确：

①AC⊥面CDD1C1；②AA1⊥面A1B1C1D1；

③AC⊥面BDD1B1；④EF⊥面BDD1B1；

⑤AC⊥BD1．

（2）将（1）中正方体改成长方体呢，以上结论是否正确？

说明：利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用。其中①是定义的应用，②是定理的应用，④是思考题2结论的应用，③⑤是定理与定义的综合应用。

四、应用

1．应用之一是利用直线与平面垂直的定义、定理进行一些简单的推理，体会几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性。

我们继续研究图。

例4：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1．CC1的中点，，连接，求证：。

说明：要证线线垂直，可找线面垂直，反之亦然。即：

这是立体几何证明垂直时常用的转化方法。除此之外，也要注意有时是从数量关系通过计算找线线垂直，如勾股定理等，有时会利用平面几何的性质，如等腰三角形底边上的三线合一等等。

2．应用之二是利用直线与平面垂直的定义、定理解决一些度量问题，如角、距离等，我们现在来探究距离的度量问题。

问题5：你能举例说明距离在日常生活中的重要性吗？

说明：引导学生举出生活中常见的需要测量距离的例子，如为了有合适的照明，需要确定吊灯与桌面的距离；为了保证安全，高压线离地面需要相当的距离；为了购买家具，需要知道天花板与地面的距离等等，体验探究距离的必要性，

距离定义：

（1）点M和平面的距离：过点M作平面的垂线，垂足为N，我们把点M到垂足N之间的距离叫做点M和平面的距离。

（2）直线和平面的距离：设直线平行于平面。在直线上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做直线和平面的距离。

（3）设平面平行平面，在平面上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离。

（4）异面直线a和b的距离：设直线a和b是异面直线，当点M、 N分别在a和b上，且直线MN既垂直于直线a，又垂直于直线b时，我们把直线MN叫做异面直线a和b公垂线，垂足M、N之间的距离叫做异面直线a和b的距离。

说明：立体几何中，求距离的关键是化归，即空间距离向平面距离的化归，体现了“降维”的思想。

我们继续研究图：

例5：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，和的长分别为和。

（1）求点和点的距离；

（2）求点到棱的距离；

（3）求棱和平面的距离；

（4）求异面直线和的距离。

说明：求距离的基本步骤是作、证、算，此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。因此求距离的关键是直线与平面位置关系的论证。

四、课堂小结

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？

（3）你会利用直线与平面垂直的定义和定理找到点、线、面的距离并计算吗？

【作业布置】

1．点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD．求证：PO⊥平面ABCD．

2．探究题：如图，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？

3．AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O，PB与平面所成角为45，

（1）证明：BC⊥平面PAC；

（2）求点A到平面PBC的距离。