2020-2021学年江西省上饶市高一（下）5月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（下）5月月考数学试卷北师大版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知向量a→=(2, 1)，b→=(1, x)，若(a→+b→)与a→垂直，则实数x的值为( )
A.7B.−7C.12D.−12

2. 已知向量a→，b→在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a→，b→的夹角为( )

A.45∘B.60∘C.30∘D.135∘

3. 已知两个单位向量e1→，e2→的夹角为θ，则下列结论不正确的是( )
A.e1→在e2→方向上的投影为csθB.e→12=e→22
C.(e1→+e2→)⊥(e1→−e2→)D.e1→⋅e2→=1

4. 点A(−1, 1)，B(1, 2)，C(−2, −1)，D(3, 4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为( )
A.322B.3152C.−322D.−3152

5. 设向量a→，b→满足|a→+b→|=10，|a→−b→|=6，则a→⋅b→=（ ）
A.1B.2C.3D.215

6. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，DF→=2FC→，则EA→⋅BF→等于（ ）

A.23B.−23C.43D.−43
二、填空题

若向量OA→=(1, −3)，|OA→|=|OB→|，OA→⋅OB→=0，则|AB→|=________．
三、解答题

设a→=−1,1，b→=4,3．
(1)求a→与b→的夹角的余弦值；

(2)求3a→−2b→⋅2a→+3b→．

在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,0，B(2,5)，C(−2,1).
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度之和；

(2)在△ABC中，设AD是边BC上的高，求点D的坐标．

如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60∘．
(1)求|AB→|；

(2)已知点D是AB上一点，满足AD→=λAB→，点E是边CB上一点，满足BE→=λBC→．
①当λ=12时，求AE→⋅CD→；
②是否存在非零实数λ，使得AE→⊥CD→？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由向量的坐标加法运算求得a→+b→，然后由向量垂直的坐标表示列式求得x的值．
【解答】
解：∵ a→=(2, 1)，b→=(1, x)，
∴ a→+b→=(3, 1+x)，
由题意得，(a→+b→)⊥a→，
则2×3+1×(1+x)=0，
解得：x=−7．
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
先求出2个向量的坐标，再利用两个向量的数量积的定义和公式求得csθ的值，可得向量a→，b→的夹角为θ的值．
【解答】
解：由题意可得a→=(3, 1)，b→=(1, 2).
设向量a→，b→的夹角为θ，则θ∈[0∘, 180∘]，
则csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=3+29+1⋅1+4=22，
∴ θ=45∘.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的投影
平面向量数量积的运算
单位向量
【解析】
由已知中两个单位向量e1→，e2→的夹角为θ，根据向量在另一个向量上投影的定义，可以判断A的真假，根据向量平方等于向量模的平方，可以判断B的真假；根据两向量数量积为0，则向量垂直，可以判断C的真假；根据向量数量积的运算公式，我们可以判断D的真假，进而得到答案．
【解答】
解：∵ 两个单位向量e1→，e2→的夹角为θ，
则|e1→|=|e2→|=1，
则e1→在e2→方向上的投影为csθ|e1→|=csθ，故A正确；
e→12=e→22=1，故B正确；
(e1→+e2→)⋅(e1→−e2→)=e→12−e→22=0，
故(e1→+e2→)⊥(e1→−e2→)，故C正确；
e1→⋅e2→=|e1→||e2→|csθ=csθ，故D错误.
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
向量的投影
【解析】
先求出向量AB→、CD→，根据投影定义即可求得答案．
【解答】
解：AB→=(2,1)，CD→=(5,5)，
则向量AB→在CD→方向上的投影为：
|AB→|⋅cs=|AB→|⋅AB→⋅CD→|AB→||CD→|
=AB→⋅CD→|CD→|=1552=322.
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ |a→+b→|=10，
∴ a→2+b→2+2a→⋅b→=10①．
∵ |a→−b→|=6，
∴ a→2+b→2−2a→⋅b→=6②．
①−②，整理得a→⋅b→=1．
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
无
【解答】
解：以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，
∴D(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，C(2,0)，E(2,1)，
∵DF→=2FC→，
∴DF→=23DC→，
∴F(43,0),
∴EA→=(−2,1)，BF→=(−23,−2)，
∴EA→⋅BF→=43−2=−23．
故选B．
二、填空题
【答案】
25
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的模
【解析】
利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】
解：设OB→=(x, y)，
∵ 向量OA→=(1, −3)，|OA→|=|OB→|，OA→⋅OB→=0，
∴ x2+y2=1+(−3)2,x−3y=0,
解得x=3,y=1或x=−3,y=−1．
∴ OB→=(3, 1)，(−3, −1)．
∴ AB→=OB→−OA→=(2, 4)或(−4, 2)．
∴ |AB→|=22+42=25．
故答案为：25．
三、解答题
【答案】
解：(1)根据题意，a→=−1,1，b→=4,3，
则a→⋅b→=−1×4+1×3=−1，
设a→与b→的夹角为θ，
由a→⋅b→=−1，|a→|=2，|b→|=5，
得csθ=a→⋅b→|a→||b→|=−210．
(2)由(1)知，a→⋅b→=−1，|a→|=2，|b→|=5，
∴3a→−2b→⋅2a→+3b→=6a2+5a→⋅b→−6b→2
=12−5−150=−143．
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)根据题意，a→=−1,1，b→=4,3，
则a→⋅b→=−1×4+1×3=−1，
设a→与b→的夹角为θ，
由a→⋅b→=−1，|a→|=2，|b→|=5，
得csθ=a→⋅b→|a→||b→|=−210．
(2)由(1)知，a→⋅b→=−1，|a→|=2，|b→|=5，
∴3a→−2b→⋅2a→+3b→=6a2+5a→⋅b→−6b→2
=12−5−150=−143．
【答案】
解：(1)由题意，可得AB→=1,5，AC→=−3,1，
则AB→+AC→=−2,6，AB→−AC→=4,4，
所以|AB→+AC→|=(−2)2+62=210，
|AB→−AC→|=42+42​=42，
即两条对角线的长度之和为210+42.
(2)设点D的坐标为x,y，
由点D在CB上，设CD→=λCB→，
则(x+2,y−1)=λ(4,4)，
即x=4λ−2，y=4λ+1，
即D4λ−2,4λ+1，
故AD→=4λ−3,4λ+1，
又AD⊥BC，
所以AD→⋅CB→=(4λ−3,4λ+1)⋅(4,4)=0，
即4λ−3×4+4λ+1×4=0，解得λ=14，
即点D的坐标为−1,2.
【考点】
向量模长的计算
平面向量的坐标运算
向量在几何中的应用
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
（1）由题意求得AB→+AC→=−2.6，AB→−AC→=4,4，利用向量的模的运算公式，即可求解．
（2）设CD→=λCB→，根据共线向量，求得D4λ−2,4λ+1，进而利用AD→⋅CB→=0，求得λ=14，即可得出点D的坐标
【解答】
解：(1)由题意，可得AB→=1,5，AC→=−3,1，
则AB→+AC→=−2,6，AB→−AC→=4,4，
所以|AB→+AC→|=(−2)2+62=210，
|AB→−AC→|=42+42​=42，
即两条对角线的长度之和为210+42.
(2)设点D的坐标为x,y，
由点D在CB上，设CD→=λCB→，
则(x+2,y−1)=λ(4,4)，
即x=4λ−2，y=4λ+1，
即D4λ−2,4λ+1，
故AD→=4λ−3,4λ+1，
又AD⊥BC，
所以AD→⋅CB→=(4λ−3,4λ+1)⋅(4,4)=0，
即4λ−3×4+4λ+1×4=0，解得λ=14，
即点D的坐标为−1,2.
【答案】
解：(1)在△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60∘，
|AB→|2=|CB→−CA→|2
=CB→2−2CA→⋅CB→+CA→2
=4−2×1×2×cs60∘+1
=3，
∴ |AB→|=3.
(2)①λ=12时，AD→=12AB→，BE→=12BC→，
∴ D，E分别是AB，BC的中点，
∴ AE→=AC→+CE→=AC→+12CB→，
CD→=12(CA→+CB→)，
∴ AE→⋅CD→=(AC→+12CB→)⋅12(CA→+CB→)
=12AC→⋅CA→+12AC→⋅CB→+14CB→⋅CA→+14CB→2
=−12×12+12×1×2cs120∘+14×2×1×cs60∘+14×22
=14；
②假设存在非零实数λ，使得AE→⊥CD→，
由AD→=λAB→，得AD→=λ(CB→−CA→)，
∴ CD→=CA→+AD→
=CA→+λ(CB→−CA→)
=λCB→+(1−λ)CA→；
又BE→=λBC→，
∴ AE→=AB→+BE→
=(CB→−CA→)+λ(−CB→)
=(1−λ)CB→−CA→；
∴ AE→⋅CD→
=λ(1−λ)CB→2−λCB→⋅CA→+(1−λ)2CB→⋅CA→−(1−λ)CA→2
=4λ(1−λ)−λ+(1−λ)2−(1−λ)
=−3λ2+2λ=0，
解得λ=23或λ=0（不合题意，舍去），
即存在非零实数λ=23，使得AE→⊥CD→．
【考点】
向量的模
向量在几何中的应用
向量的共线定理
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的运算
【解析】


【解答】
解：(1)在△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60∘，
|AB→|2=|CB→−CA→|2
=CB→2−2CA→⋅CB→+CA→2
=4−2×1×2×cs60∘+1
=3，
∴ |AB→|=3.
(2)①λ=12时，AD→=12AB→，BE→=12BC→，
∴ D，E分别是AB，BC的中点，
∴ AE→=AC→+CE→=AC→+12CB→，
CD→=12(CA→+CB→)，
∴ AE→⋅CD→=(AC→+12CB→)⋅12(CA→+CB→)
=12AC→⋅CA→+12AC→⋅CB→+14CB→⋅CA→+14CB→2
=−12×12+12×1×2cs120∘+14×2×1×cs60∘+14×22
=14；
②假设存在非零实数λ，使得AE→⊥CD→，
由AD→=λAB→，得AD→=λ(CB→−CA→)，
∴ CD→=CA→+AD→
=CA→+λ(CB→−CA→)
=λCB→+(1−λ)CA→；
又BE→=λBC→，
∴ AE→=AB→+BE→
=(CB→−CA→)+λ(−CB→)
=(1−λ)CB→−CA→；
∴ AE→⋅CD→
=λ(1−λ)CB→2−λCB→⋅CA→+(1−λ)2CB→⋅CA→−(1−λ)CA→2
=4λ(1−λ)−λ+(1−λ)2−(1−λ)
=−3λ2+2λ=0，
解得λ=23或λ=0（不合题意，舍去），
即存在非零实数λ=23，使得AE→⊥CD→．