2020-2021学年江西省上饶市新校区高一（下）3月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市新校区高一（下）3月月考数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在空间直角坐标系中，点P3,4,−5关于xOz平面对称的点的坐标是( )
A.3,4,5B.3,−4,−5C.−3,4,−5D.−3,−4,5

2. 求经过点0,2，且与直线l1：y=−3x−5平行的直线l2的方程是( )
A.3x−y+2=0B.3x+y+2=0C.3x+y−2=0D.x+3y−2=0

3. 设m，n是两条不同的直线，α， β是两个不同的平面，下列命题中错误的是( )
A.若m//n， n⊥α，α//β，则m⊥β
B.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
C.若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β
D.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

4. 若圆C1：x+12+y2=2与圆C2：x2+y2−4x+6y+m=0外切，则实数m=( )
A.5B.9C.8D.6

5. 若过点2,1的圆与两坐标轴都相切，则该圆的面积为( )
A.π或4πB.π或9πC.π或16πD.π或25π

6. 已知⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线x−3y+3=0截得的弦长为3，则⊙O的方程为( )
A.x2+y2=1B.x2+y2=2C.x2+y2=3D.x2+y2=4

7. 过点A−4,−1作圆C：x−22+y−12=4的一条切线AB，切点为B，则三角形ABC的面积为( )
A.6B.12C.210D.610

8. 已知圆x2+y2+2x−2y−2=0上的点到直线x+y+2a=0的最远距离为4，则实数a的值是( )
A.0或4B.−2或2C.−2D.2

9. 已知圆C1：x2+y2−kx−2y=0和圆C2：x2+y2−2ky−2=0相交，则圆C1和圆C2的公共弦所在的直线恒过的定点为( )
A.2,2B.2,1C.1,2D.1,1

10. 设点A1,2，B2,1，若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，则实数a的取值范围是( )
A.1,3B.−∞,−3∪−1,+∞
C.−3,−1D.−∞,1∪3,+∞

11. 已知点x,y是曲线y=4−x2上任意一点，则y−2x−3的取值范围是( )
A.0,2B.0,2C.−23,0D.0,23

12. 在平面直角坐标系中，已知点A−1,0，B2,0，圆C:x−22+y−m2=14m>0，在圆上存在点P满足|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是( )
A.22,62B.54,212C.0,212D.52,212
二、填空题

若ax2+1−ay2−2x+2y=0表示圆的方程，则圆心为________.
三、解答题

已知圆P过点A0,0，B4,0，C2,2.
(1)求圆P的方程；

(2)求点0,−2到圆上一点的距离的最小值．

已知点P−1,4，Q3,2.
(1)求以PQ为直径的圆N的标准方程；

(2)过原点作圆N的切线，求该切线方程.

已知直线l：m+2x+m−3y+5=0m∈R与圆P：x−12+y+22=16.
(1)试证明：不论m取何值时，直线l与圆P都有两个交点

(2)若直线l与圆P相交于A，B两点，当m为何值时，直线l被圆截得的弦长最短，并求出最短弦长

如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O−xyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动．

(1)当P是AB的中点，且2|CQ|=|QD|时，求|PQ|的值；

(2)当Q是棱CD的中点时，试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

已知线段RQ的端点Q的坐标是4,3，端点R在圆x+22+y+32=16上运动，线段RQ中点的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；

(2)直线l经过坐标原点，且不与y轴重合，直线l与曲线C相交于Mx1,y1，Nx2,y2两点，求证：1x1+1x2为定值.

已知以点Ct,2tt>0为圆心的圆与y轴交于点O，A两点，其中O为坐标原点．
(1)设直线2x+y−4=0与圆C交于M，N两点，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；

(2)在(1)的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PA|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市新校区高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
空间中的点的坐标
【解析】
两点关于xOz平面对称，则这两个点的横，竖坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求解.
【解答】
解：在空间直角坐标系中，点P(3, 4, −5)关于xOz平面对称的点的坐标，y轴为相反数，x轴与z轴坐标不变，
故对称点坐标为(3, −4, −5).
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
利用平行直线系方程设出所求直线方程，再将点坐标代入求解即可．
【解答】
解：设与直线y=−3x−5平行的直线l2的方程是y=−3x+b，
∵ 直线l2经过点0,2，
则b=2，
∴ 直线l2的方程是y=−3x+2，即3x+y−2=0.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
利用空间线线、线面、面面位置关系判定与性质定理即可得出结论．
【解答】
解：A，若m//n，n⊥α，可得m⊥α，又α//β，则m⊥β，正确；
B，若m⊥β，n⊥β，可得m//n，又n⊥α，则m⊥α，正确；
C，若m⊥α，m//n，可得n⊥α，又n//β，则α⊥β，正确；
D，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α//β或相交，不正确．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
相切两圆的性质
【解析】
化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．
【解答】
解：圆C1：x+12+y2=2的圆心为C1−1,0，半径r1=2.
圆C2：x2+y2−4x+6y+m=0可化为x−22+y+32=13−m，
所以C22,−3，r2=13−m.
又因为圆C1：x+12+y2=2与圆C2：x2+y2−4x+6y+m=0外切，
所以|C1C2|=r1+r2，
即32+−32=2+13−m=32，
解得m=5.
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
【解析】
由题意可设圆的方程为x−a2+y−a2=a2，将2,1代入圆的方程，即可求出半径，进而求出圆的面积.
【解答】
解：由题意可得，该圆的圆心在直线y=x上，
设圆心坐标为a,a，则半径为a，
∴ 该圆的方程为x−a2+y−a2=a2，
又∵ x−a2+y−a2=a2经过2,1，
∴ 2−a2+1−a2=a2，
解得a=1或5，
∴ 圆的面积为π×12=π或π×52=25π.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
直线与圆相交时的弦长问题
圆的标准方程
【解析】
由题意得圆心到直线的距离，根据圆被直线截得的弦长可求得圆的半径，即可得⊙O的方程．
【解答】
解：由题意，圆心(0,0)到直线x−3y+3=0的距离d=|3|1+3=32.
由弦长公式可得，l=2r2−d2=3，
即l=2r2−(32)2=3，
所以r2=3，
所以圆的标准方程为x2+y2=3.
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
三角形的面积公式
【解析】
求出圆心坐标，然后由两点之间的距离公式得到|AC|进而求出|AB|，然后由三角形面积公式即可求解．
【解答】
解：因为圆心C坐标为2,1，
所以|AC|=−4−22+−1−12=210，
所以|AB|=|AC|2−r2=40−4=6，
因此S△ABC=12|AB|⋅|CB|=12×6×2=6.
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
无
【解答】
解：将圆x2+y2+2x−2y−2=0化为标准方程为x+12+y−12=4，
则圆心为−1,1，半径为2，
圆心到直线x+y+2a=0的距离为d=|−1+1+2a|2=|a|，
最远距离为|a|+2=4，
则|a|=2，a=±2．
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
相交弦所在直线的方程
直线恒过定点
【解析】
根据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆C1：x2+y2−kx−2y=0和圆C2：x2+y2−2ky−2=0相交，
由x2+y2−kx−2y=0,x2+y2−2ky−2=0两式相减，
可得圆C1和圆C2的公共弦所在的直线方程为kx−2ky+2y−2=0，
变形可得k(x−2y)=−2(y−1)，
则由x−2y=0,y−1=0可得x=2,y=1,
即两圆公共弦所在的直线恒过的定点2,1.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
直线的斜率
斜率的计算公式
【解析】
由题意利用直线的斜率公式，求得a的范围．
【解答】
解：直线ax+y+1=0经过定点M0,−1，斜率为−a，
可得直线MB的斜率为1+12−0=1，
直线MA的斜率为2+11−0=3.
若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，
则1≤−a≤3，
解得−3≤a≤−1.
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
直线的斜率
【解析】
画出图形，利用直线的斜率，转化求解即可．
【解答】
解：曲线y=4−x2表示以原点为圆心，半径为2的圆的上半部分，
又y−2x−3的几何意义是半圆上的点与P3,2连线的斜率，
如图：
由题知A0,2，B2,0，
计算得kPA=0， kPB=2−03−2=2，
所以y−2x−3的取值范围是0,2.
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
两点间的距离公式
【解析】

【解答】
解：设点P(x, y)，
由|PA|=2|PB|，得(x+1)2+y2=2(x−2)2+y2，
整理得x2+y2−6x+5=0，
∴ 点P在圆心为D(3,0)，半径为2的圆上.
又点P在圆C上，C(2,m)，
∴ 圆C与圆D有公共点，
∴ 32≤|CD|≤52，
∴ 32≤m2+(2−3)2≤52，
解得52≤m≤212，
即实数m的取值范围是52,212．
故选D.
二、填空题
【答案】
(2,−2)
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
二元二次方程表示圆的条件
【解析】
利用圆的一般方程中，x2和y2的系数相等，求出a，把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心与半径．
【解答】
解：若ax2+1−ay2−2x+2y=0表示圆的方程，
则a=1−a，
解得a=12，
∴ 圆的方程可化为x2+y2−4x+4y=0，即(x−2)2+(y+2)2=8，
∴ 圆心坐标为(2,−2).
故答案为：(2,−2).
三、解答题
【答案】
解：(1)设圆P的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三个点坐标代入得：
F=0,16+4D+F=0,4+4+2D+2E+F=0,，
解得 D=−4,E=0,F=0,
∴ 圆的方程为x2+y2−4x=0．
(2)将点0,−2代入圆的方程得：(−2)2+(−2)2=8>4，
所以点在圆外，
则点到圆心的距离d=4+4=22，
所以点到圆上一点最小距离为d−r=22−2.
【考点】
圆的一般方程
两点间的距离公式
点与圆的位置关系
【解析】


【解答】
解：(1)设圆P的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三个点坐标代入得：
F=0,16+4D+F=0,4+4+2D+2E+F=0,，
解得 D=−4,E=0,F=0,
∴ 圆的方程为x2+y2−4x=0．
(2)将点0,−2代入圆的方程得：(−2)2+(−2)2=8>4，
所以点在圆外，
则点到圆心的距离d=4+4=22，
所以点到圆上一点最小距离为d−r=22−2.
【答案】
解：(1)由题意知：圆心1,3，半径r=3−12+2−32=5，
则圆的标准方程为x−12+y−32=5．
(2)由题意知：①当直线斜率存在时，
设直线y=kx，
则有|k−3|1+k2=3，
解得k=−2或k=12，
∴ 切线方程为y=−2×1或y=12x.
②当直线斜率不存在时，直线方程为x=0，显然不是切线.
综上所述，切线方程为y=−2x或y=12x．
【考点】
圆的标准方程
圆的切线方程
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
两点间的距离公式
直线和圆的方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意知：圆心1,3，半径r=3−12+2−32=5，
则圆的标准方程为x−12+y−32=5．
(2)由题意知：①当直线斜率存在时，
设直线y=kx，
则有|k−3|1+k2=3，
解得k=−2或k=12，
∴ 切线方程为y=−2×1或y=12x.
②当直线斜率不存在时，直线方程为x=0，显然不是切线.
综上所述，切线方程为y=−2x或y=12x．
【答案】
(1)证明：由题意知：m+1x+m−3y+5=mx+y+2x−3y+5，
则有x+y=0,2x−3y+5=0,
即x=−1,y=1,
∴ 直线会过定点−1,1，
又∴ −1−12+1+22<16，
∴ 定点在圆内，
∴ 不论m取何值，直线与圆都会有两个交点．
(2)解：由题意知：直线l过定点M(−1,1)，
直线MP的斜率为kMP=1+2−1−1=−32，
∴ 当与直径垂直时，kAB=23，即m=0时，弦长最短，
∴ l：y=23x+53，
∴ 圆心到直线的距离d=23+53+21+232=13，
∴ 最短弦长为2r2−d2=23．
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】


【解答】
(1)证明：由题意知：m+1x+m−3y+5=mx+y+2x−3y+5，
则有x+y=0,2x−3y+5=0,
即x=−1,y=1,
∴ 直线会过定点−1,1，
又∴ −1−12+1+22<16，
∴ 定点在圆内，
∴ 不论m取何值，直线与圆都会有两个交点．
(2)解：由题意知：直线l过定点M(−1,1)，
直线MP的斜率为kMP=1+2−1−1=−32，
∴ 当与直径垂直时，kAB=23，即m=0时，弦长最短，
∴ l：y=23x+53，
∴ 圆心到直线的距离d=23+53+21+232=13，
∴ 最短弦长为2r2−d2=23．
【答案】
解：(1)因为正方体的棱长为1，P是AB的中点，
所以P12,12,12.
因为2|CQ|=|QD|，
所以|CQ|=13，
所以Q0,1,13.
由两点间的距离公式得：
|PQ|=12−02+12−12+12−132
=1936=196.
(2)如图，过点P作PE⊥OA于点E，则PE垂直于坐标平面xOy.
设点P的横坐标为x，则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x．
由正方体的棱长为1，得|AE|=21−x.
因为|AE||AO|=|PE||BO|,
所以|PE|=21−x2=1−x，
所以Px,x,1−x.
又因为Q0,1,12，
所以|PQ|=0−x2+1−x2+−12+x2
=3x2−3x+54=3x−122+12，
所以当x=12时，|PQ|=22，
即当点P的坐标为12,12,12.
即P为AB的中点时，|PQ|的值最小，最小值为22.
【考点】
空间两点间的距离公式
点、线、面间的距离计算
【解析】
根据正方体的性质可得P，Q的坐标，由两点间的距离公式计算可得结果；
根据题意，设点P的横坐标为x，得|AE|=21−x．由|AE||AO|=|PE||BQ|，可得|PE|=21−x2=1−x,，可得P的坐标为x,x,1−x，进而可以用两点间的距离公式表示|PQ|的长，结合二次函数的性质分析可得结果.
【解答】
解：(1)因为正方体的棱长为1，P是AB的中点，
所以P12,12,12.
因为2|CQ|=|QD|，
所以|CQ|=13，
所以Q0,1,13.
由两点间的距离公式得：
|PQ|=12−02+12−12+12−132
=1936=196.
(2)如图，过点P作PE⊥OA于点E，则PE垂直于坐标平面xOy.
设点P的横坐标为x，则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x．
由正方体的棱长为1，得|AE|=21−x.
因为|AE||AO|=|PE||BO|,
所以|PE|=21−x2=1−x，
所以Px,x,1−x.
又因为Q0,1,12，
所以|PQ|=0−x2+1−x2+−12+x2
=3x2−3x+54=3x−122+12，
所以当x=12时，|PQ|=22，
即当点P的坐标为12,12,12.
即P为AB的中点时，|PQ|的值最小，最小值为22.
【答案】
解：(1)记C为RQ的中点，设Cx,y，Rx0,y0，
所以x=x0+42,y=y0+32,
所以x0=2x−4，y0=2y−3，
又点Rx0,y0在圆x+22+y+32=16上运动，
所以2x−4+22+2y−3+32=16，
化简得x−12+y2=4，
所以曲线C的方程为x−12+y2=4.
(2)设直线l的方程为y=kx，
与曲线C的方程x−12+y2=4联立，
整理得k2+1x2−2x−3=0，
所以x1+x2=2k2+1，x1x2=−3k2+1，
所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k2+1−3k2+1=−23 ，
所以1x1+1x2为定值−23．
【考点】
轨迹方程
直线和圆的方程的应用
【解析】


【解答】
解：(1)记C为RQ的中点，设Cx,y，Rx0,y0，
所以x=x0+42,y=y0+32,
所以x0=2x−4，y0=2y−3，
又点Rx0,y0在圆x+22+y+32=16上运动，
所以2x−4+22+2y−3+32=16，
化简得x−12+y2=4，
所以曲线C的方程为x−12+y2=4.
(2)设直线l的方程为y=kx，
与曲线C的方程x−12+y2=4联立，
整理得k2+1x2−2x−3=0，
所以x1+x2=2k2+1，x1x2=−3k2+1，
所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k2+1−3k2+1=−23 ，
所以1x1+1x2为定值−23．
【答案】
解：(1)由|OM|=|ON|可得点O，点C在MN的中垂线上，
∵ kAB=−2，
∴ kOC=12=2t2，
∴ t=2，
∴ C2,1，半径为r=5，
∴ 圆的方程为x−22+y−12=5．
(2)设A关于直线x+y+2=0的对称点为A′m,n，则中点为m2,n+22，
m2+n+22+2=0,n−2m⋅−1=−1,
解得m=−4,n=−2,，
所以A′−4,−2，
则|PA|+|PQ|=|PA′|+|PQ|≥|A′Q|．
因为A′到圆上点Q的最短距离d=|A′C|−r=35−5=25，
所以|PA|+|PQ|min=25，
此时y=12x,x+y+2=0,
解得 x=−43,y=−23,
所以P−43,−23．
【考点】
直线与圆的位置关系
直线和圆的方程的应用
两点间的距离公式
【解析】


【解答】
解：(1)由|OM|=|ON|可得点O，点C在MN的中垂线上，
∵ kAB=−2，
∴ kOC=12=2t2，
∴ t=2，
∴ C2,1，半径为r=5，
∴ 圆的方程为x−22+y−12=5．
(2)设A关于直线x+y+2=0的对称点为A′m,n，则中点为m2,n+22，
m2+n+22+2=0,n−2m⋅−1=−1,
解得m=−4,n=−2,，
所以A′−4,−2，
则|PA|+|PQ|=|PA′|+|PQ|≥|A′Q|．
因为A′到圆上点Q的最短距离d=|A′C|−r=35−5=25，
所以|PA|+|PQ|min=25，
此时y=12x,x+y+2=0,
解得 x=−43,y=−23,
所以P−43,−23．