新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：5.3　平面向量的数量积与平面向量的应用

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知识梳理
1.向量的夹角
已知两个 向量a,b,O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是π2,我们说a与b垂直,记作 .
2.平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs θ.
(2)投影向量:如图,在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.
3.向量数量积的运算律
4.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
5.向量在平面几何中的应用
(1)要证AB=CD,可转化为证明AB2=CD2或|AB|=|CD|.
(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式AB=λCD成立即可.
(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证AB·CD=0.
(4)求夹角问题,利用夹角公式cs θ=a·b|a||b|.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在△ABC中,向量AB,BC的夹角为∠ABC.( )
(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( )
(3)若a·b=0,则必有a⊥b.( )
(4)(a·b)·c=a·(b·c).( )
(5)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.( )
2.已知向量a,b满足a·(b+a)=2,且a=(1,2),与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为( )

A.55eB.-55e
C.-255eD.-355e
3.(多选)(2020海南三亚华侨学校高三模考)已知a=(3,-1),b=(1,-2),则正确的有( )
A.a·b=5
B.与a同向的单位向量是31010,-1010
C.a与b的夹角为π4
D.a与b平行
4.(2020新高考全国1,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是( )
A.(-2,6)B.(-6,2)
C.(-2,4)D.(-4,6)
5.(2021年1月8省适应测试)已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=7a+2b,则sin=( )
A.73B.23C.79D.29
关键能力学案突破
【例1】(1)(2019天津,14)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BD·AE= .
(2)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且a与b的夹角为π6,则(a+b)·(2a-b)=( )

A.12B.-32C.-12D.32
解题心得1.求两个向量的数量积的方法:
(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|csθ(其中θ是向量a与b的夹角).
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加、减、数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
对点训练1在▱ABCD中,|AB|=8,|AD|=6,N为DC的中点,BM=2MC,则AM·NM= .
考向1 求平面向量的模
【例2】(1)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(a-2b),则|2a+b|的值是 .
(2)已知向量a,b为单位向量,且a·b=-12,向量c与a+b共线,则|a+c|的最小值为( )
A.1B.12C.34D.32
考向2 求平面向量的夹角
【例3】(1)(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cs=( )
A.-3135B.-1935C.1735D.1935
(2)(2019全国1,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A.π6B.π3
C.2π3D.5π6
考向3 平面向量的垂直
【例4】(1)(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k= .
(2)(2020湖南师大附中高三模拟)已知向量a=52,0,b=(0,5)的起点均为原点,而终点依次对应点A,B,线段AB上存在点P,若OP⊥AB,OP=xa+yb,则x,y的值分别为( )
A.15,45B.43,-13
C.45,15D.-13,43
解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.
2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
3.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
对点训练2(1)(2020福建厦门一模)已知a=(1,1),b=(2,m),a⊥(a-b),则|b|=( )
A.0B.1C.2D.2
(2)(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m= .
考向1 平面向量在三角函数中的应用
【例5】已知向量a=(cs x,sin x),b=(3,-3),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解题心得向量与三角函数综合问题的特点与解题策略
(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.
(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.
对点训练3已知两个不共线的向量a,b满足a=(1,3),b=(cs θ,sin θ),θ∈R.
(1)若2a-b与a-7b垂直,求|a+b|的值;
(2)当θ∈0,π2时,若存在两个不同的θ,使得|a+3b|=|ma|成立,求正数m的取值范围.
考向2 平面向量在解析几何中的应用
【例6】已知圆x2+y2+4x-5=0的弦AB的中点为(-1,1),直线AB交x轴于点P,则PA·PB的值为 .
解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.
2.若a,b为非零向量,csθ=a·b|a||b|(夹角公式),则a⊥b⇔a·b=0.
3.向量在解析几何中的作用
(1)载体作用:解决向量在解析几何中的应用问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
对点训练4若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为 .
5.3 平面向量的数量积与
平面向量的应用
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.非零 a⊥b
2.|a||b|cs θ
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2.D 由a=(1,2),可得|a|=5,由a·(b+a)=2,可得a·b+a2=2,∴a·b=-3,∴向量b在向量a上的投影向量为a·b|a|·e=-355e.
3.ABC ∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,故A正确;
|a|=32+(-1)2=10,∴与a同向的单位向量是310,-110,即31010,-1010,故B正确;
|b|=12+(-2)2=5,设a与b的夹角为θ,则csθ=a·b|a||b|=55×10=22,∵θ∈[0,π],∴θ=π4,故C正确;
∵31≠-1-2,∴a与b不平行,故D错误.故选ABC.
4.A 如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).
设P(x,y),则AP=(x,y),AB=(2,0),
∴AP·AB=2x+0×y=2x.
∵-15.B
关键能力·学案突破
例1(1)-1 (2)A (1)∵AD∥BC,
且∠DAB=30°,
∴∠ABE=30°.
∵EA=EB,∴∠EAB=30°,
∠AEB=120°.
在△AEB中,EA=EB=2,
BD·AE=(BA+AD)·(AB+BE)
=-BA2+BA·BE+AD·AB+AD·BE=-12+23×2×cs30°+5×23×cs30°+5×2×cs180°=-22+6+15=-1.
(2)(a+b)·(2a-b)=2a2-b2+a·b=2-3+1×3×32=12.故选A.
对点训练124 (方法1)AM·NM=(AB+BM)·(NC+CM)=AB+23AD·12AB-13AD=12AB2-29AD2=12×82-29×62=24.
(方法2 特例图形)若▱ABCD为矩形,建立如图所示的平面直角坐标系,
则N(4,6),M(8,4).
所以AM=(8,4),NM=(4,-2),
所以AM·NM=(8,4)·(4,-2)=32-8=24.
例2(1)10 (2)D (1)由a⊥(a-2b)得a·(a-2b)=a2-2a·b=0,所以a·b=12,所以(2a+b)2=4a2+b2+4a·b=4×12+22+4×12=10,所以|2a+b|=10.
(2)∵向量c与a+b共线,∴可设c=t(a+b)(t∈R),∴a+c=(t+1)a+tb,∴(a+c)2=(t+1)2a2+2t(t+1)a·b+t2b2.∵向量a,b为单位向量,且a·b=-12,∴(a+c)2=(t+1)2-t(t+1)+t2=t2+t+1≥34,∴|a+c|≥32,∴|a+c|的最小值为32,故选D.
例3(1)D (2)B (1)∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,
∴|a+b|=7,
∴cs=a·(a+b)|a||a+b|=195×7=1935.
(2)因为(a-b)⊥b,
所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2.
所以cs=a·b|a||b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为π3,故选B.
例4(1)22 (2)C (1)由题意可知a·b=|a||b|cs45°=22.∵ka-b与a垂直,
∴(ka-b)·a=k|a|2-a·b=k-22=0,∴k=22.
(2)由题意,向量a=52,0,b=(0,5),所以OP=xa+yb=52x,5y,AB=b-a=-52,5.因为OP⊥AB,所以OP·AB=-254x+25y=0,可得x=4y.又A,B,P三点共线,所以x+y=1.联立x=4y,x+y=1,解得x=45,y=15.故选C.
对点训练2(1)D (2)5 (1)由题意知a-b=(-1,1-m),∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=-1+1-m=0,∴m=0,∴b=(2,0),∴|b|=2.故选D.
(2)由a⊥b,可得a·b=1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5.
例5解(1)因为a=(csx,sinx),b=(3,-3),a∥b,所以-3csx=3sinx.
则tanx=-33.
又因为x∈[0,π],所以x=5π6.
(2)f(x)=a·b=(csx,sinx)·(3,-3)=3csx-3sinx=23csx+π6.因为x∈[0,π],所以x+π6∈π6,7π6,从而-1≤csx+π6≤32.
于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;
当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-23.
对点训练3解(1)由条件知|a|=2,|b|=1,又因为2a-b与a-7b垂直,所以(2a-b)·(a-7b)=8-15a·b+7=0,所以a·b=1.
所以|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=7.
(2)由|a+3b|=|ma|,
得|a+3b|2=|ma|2.
即|a|2+23a·b+3|b|2=m2|a|2,
即7+23(csθ+3sinθ)=4m2.
所以43sinθ+π6=4m2-7.
由θ∈0,π2,得θ+π6∈π6,2π3,
因为存在两个不同的θ满足题意,所以由数形结合知43sinθ+π6∈[6,43),即6≤4m2-7<43,即134≤m2<7+434.又因为m>0,所以132≤m<2+32.故m的取值范围为132,2+32.
例6-5 设M(-1,1),圆心C(-2,0),
∵kMC=1-0-1+2=1,∴kAB=-1,
∴AB所在直线方程为y-1=-(x+1),即x+y=0,令y=0,可得P(0,0),
联立方程x2+y2+4x-5=0,x+y=0,消y得2x2+4x-5=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-52,y1y2=(-x1)(-x2)=-52,
PA·PB=x1x2+y1y2=2x1x2=-5.
对点训练46 由题意,得F(-1,0),设P(x0,y0),则有x024+y023=1,解得y02=31-x024.
因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),
所以OP·FP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+31-x024=x024+x0+3=14(x0+2)2+2.因为-2≤x0≤2,故当x0=2时,
OP·FP取得最大值6.
交换律
a·b=b·a
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
数乘结
合律
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)
向量的有
关概念
几何表示
坐标表示
模
|a|=a·a
|a|=x12+y12
数量积
|a||b|cs θ
x1x2+y1y2
夹角
cs θ=a·b|a||b|
cs θ=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
A(x1,y1),
B(x2,y2)
两点的距离
|AB|=|AB|
|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
a⊥b的充
要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与
|a||b|的关系
|a·b|≤
|a||b|
|x1x2+y1y2|≤x12+y12·x22+y22
1.平面向量数量积运算的常用公式:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).
考点
平面向量数量积的运算
考点
平面向量数量积的性质及其应用(多考向探究)
考点
平面向量的综合应用(多考向探究)