高考数学一轮复习第十一章基本算法语句及鸭第二节第1课时坐标系课时规范练理含解析新人教版

第二节 第1课时 坐标系

[A组　基础对点练]

1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.

由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解析：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，

由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，

从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.

a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．

所以a＝1.

3．(2021·山西太原模拟)点P是曲线C1：(x－2)2＋y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.

(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；

(2)射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2，0)，求△MAB的面积．

解析：(1)由曲线C1的直角坐标方程(x－2)2＋y2＝4可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

设Q(ρ，θ)，则P，

则有ρ＝4cos ＝4sin θ，

所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

(2)M到射线θ＝(ρ＞0)的距离d＝2sin ＝，|AB|＝ρB－ρA＝4＝2(－1)，

则S△MAB＝|AB|·d＝×[2(－1)]×＝3－.

4．(2020·山东青岛质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(其中φ为参数).以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)设直线l的极坐标方程是ρsin ＝2，射线OM：θ＝与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

解析：(1)圆C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(2)把θ＝代入圆的极坐标方程可得ρP＝1，

把θ＝代入直线l的极坐标方程可得ρQ＝2，

所以|PQ|＝|ρP－ρQ|＝1.

[B组　素养提升练]

1．在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；

(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积．

解析：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

∴直线l1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝(ρ∈R)，

圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0.

(2)设A，B，将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，

得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋.

将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，

得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ2＝1＋.

故△OAB的面积为×(1＋)2×sin ＝1＋.

2．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

解析：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，

曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

联立

解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.

因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)，

所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.

当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

3．(2021·河南郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4＝0，曲线C2的方程为y2＝x，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；

(2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π.

解析：(1)依题意，将代入x2＋y2＋2x－4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.

将代入y2＝x，得ρsin2θ＝cosθ.

故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ.

(2)将y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0，得x2＋3x－4＝0，解得x＝1或x＝－4(舍去)，

当x＝1时，y＝±1，所以曲线C1与C2交点的直角坐标分别为(1，1)，(1，－1)，记A(1，1)，B(1，－1)，

所以ρA＝＝，ρB＝＝，

tan θA＝1，tan θB＝－1.

因为ρ≥0，0≤θ＜2π，点A在第一象限，点B在第四象限，

所以θA＝，θB＝，故曲线C1与C2交点的极坐标分别为，.

4．(2020·山西八校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．

解析：(1)∵曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，

即x2＋y2－6x－8y＝0，

∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.

(2)设A，B.

把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3，

∴A.

把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋4，

∴B，

∴S△AOB＝ρ1ρ2sin ∠AOB

＝×(4＋3)×(3＋4)×sin

＝12＋.