北师大版必修27.3球的表面积和体积一课一练

一、选择题

1.下列结论正确的是(　D　)

(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥

(B)一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台

(C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六

棱锥

(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析:如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥,故A错误;一平行于底面的平面截一棱锥才能得到一个棱锥和一个棱台,因此B错误;若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由过底面中心和顶点的截面知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长,故C错误;根据圆锥母线的定义知,D正确.故选D.

2.下列几何体中为棱柱的是(　A　)

解析:A中几何体有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形,是棱柱.故选A.

3.(2018·嘉兴模拟)某几何体的三视图如图(单位: m),则该几何体的体积是(　A　)

(A) m3 (B)m3 (C)2 m3 (D)4 m3

解析:由三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,底面的底边长为2 m,底面的高,即为三视图的宽1 m,故底面面积S=×2×

1=1 m2,棱锥的高即为三视图的高,故h=2 m,故棱锥的体积V=×1×2= m3,故选A.

4.(2018·台州4月调研考试)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是(　A　)

(A)π (B) (C) (D)

解析:该几何体下部是一个底面半径为1,高为2的圆锥,上部是半径为1的四分之一球体,所以体积V=×π×12×2+××π×13=+=π.故选A.

5.长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已AB=3,AD=4,

BB1=5,那么球O的表面积为(　D　)

(A)25π (B)200π (C)100π (D)50π

解析:因为长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点都在球面上,所以长方体的体对角线为外接球的直径,设半径为r,则长方体的体对角线长为=5,则2r=5,则r=,所以外接球的表面积为4πr2=50π.故选D.

6.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°,则该圆锥的体积为(　A　)

(A)π (B)π (C)π (D)π

解析:因为母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°,

120°=,所以侧面展开图的弧长为1×=,弧长=底面周长=2πr,所以r=,所以圆锥的高h==,所以圆锥体积V=×π×r2×h=π.故选A.

7.(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(　C　)

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

解析:由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形,高为2的直四棱柱,

所以V=2×［×(2+1)×2］=6.故选C.

8.已知三棱锥OABC的顶点A,B,C都在半径为3的球面上,O是球心,∠AOB=150°,当△AOC与△BOC的面积之和最大时,三棱锥O-ABC的体积为(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设球O的半径为R,

由S△AOC+S△BOC=R2(sin∠AOC+sin∠BOC)知,

当sin∠AOC=sin∠BOC=90°时,S△AOC+S△BOC取得最大值,此时OA⊥OC,OB⊥OC,

所以OC⊥平面AOB,

==R3sin∠AOB=.

故选D.

二、填空题

9.已知一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是　　,

体积是　　　　. 

解析:

三视图的直观图如图所示.

由题知正方体的棱长为2,点M为棱A′D′的中点,

所以AM=B′M=,AB′=2,

在等腰三角形AB′M中,底边AB′边上的高为,

该几何体的表面积S=2(S正方形ABCD+S△ABB′+S△ADM+S△AB′M)=2×（2×2+×

2×2+×2×2+×2×）=16+2,

体积V=-2=2×2×2-2×××1×2×2=8-=.

答案:16+2　

10. 如图所示,四边形ABCD的直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是　　　　. 

解析:根据斜二测画法可知,原图形为直角梯形,其中上底AD=1,高AB=2A′B′=2,下底为BC=1+,所以×2=2+.即原平面图形的面积是+2.

答案:+2

11.(2018·湖州、衢州、丽水三市高三联考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何体的体积是　　　　cm3,表面积是

　　　　   cm2. 

解析:由三视图可得直观图如图,

体积V=×1=3(cm3),

表面积S=2×1+(2+1)×2××2+1×1+1×2+1×=2+6+1+2+=(11+)cm2.

答案:3　11+

12.已知一个正三棱柱的侧面积为18,且侧棱长为底面边长的2倍,则该正三棱柱的体积为　　　　. 

解析:设底面边长为a,则高为2a,

侧面积为S侧=3×(a×2a)=6a2=18,

所以a=,

该三棱柱的体积为

V=Sh=（×××sin 60°）×2=.

答案:

13.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为

　　　　. 

解析:由题意得球的直径等于正方体的体对角线长,

设正方体的边长为a,球的半径为R,

即2R=a,而a3=8,所以R=.

该球的体积为πR3=π()3=4π.

答案:4π

14.(2018·杭州二模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是　　　　,表面积是　　　　. 

解析:由三视图知,该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成,则该组合体的体积为

V=·π·23+·π×22·3=π,

表面积为S=·4π·22+·π·22+·4·3+··2π·2·=6+(6+)π,从而问题可得解.

答案:π　6+(6+)π

15.(2018·天津卷) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为　　　　　. 

解析:依题意,易知四棱锥MEFGH是一个正四棱锥,且底面边长为,高为.故=×（）2×=.

答案:

16. 三棱锥P-ABC满足:AB⊥AC,AB⊥AP,AB=2,AP+AC=4,则该三棱锥的体积V的取值范围是　　　　. 

解析:由于AB⊥AP,AB⊥AC,

AC∩AP=A,

所以AB⊥平面APC,V=S△APC·AB=S△APC,

在△APC中,AP+AC=4,

要使△APC面积最大,只需AP=AC,∠PAC=90°,

AP·AC≤()2=4,

所以S△APC的最大值为×4=2,V的最大值为,

该三棱锥的体积V的取值范围是(0,］.

答案:(0, ］

三、解答题

17. 一个多面体的直观图和三视图如下:(其中M,N分别是AF,BC中点)

(1)求证:MN∥平面CDEF;

(2)求多面体A-CDEF的体积.

(1)证明:由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且AB=BC=BF=2,

DE=CF=2,所以∠CBF=90°.取BF中点G,连MG,NG,由M,N分别是AF,BC中点,可得:NG∥CF,MG∥EF,所以平面MNG∥平面CDEF,所以MN∥平面CDEF.

(2)解:作AH⊥DE于H,由于三棱柱ADEBCF为直三棱柱,

所以AH⊥平面CDEF,

且AH=,

所以=SCDEF·AH=×2×2×=.

巩固提高B

一、选择题

1. 水平放置的△ABC,用斜二测 画法作出的直观图是如图所示的

△A′B′C′,其中O′A′=O′B′=2,O′C′=,则△ABC绕AB所

在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为(　B　)

(A)8π    (B)16π 

(C)(8+3)π (D)(16+12)π

解析:根据斜二测画法可知,AB=4,OC=2,可知△ABC为等边三角形.△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个对着底的圆锥,其两个侧面积就是这个几何体的表面积,表面积为S=2×π×2×4=16π.故选B.

2.(2018·全国Ⅲ卷) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　A　)

解析:

由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.

3.三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直,三个侧面面积分别为,,,则该三棱锥的外接球的表面积为(　B　)

(A)4π (B)6π (C)8π (D)10π

解析:三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,

它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,

设PA=a,PB=b,PC=c,

则ab=,bc=,ca=,

所以

①×②×③÷②2得=,即a2=2,所以a=,

同理b=1,c=.

则长方体的体对角线的长为=.

所以球的直径是,半径长R=,

则球的表面积S=4πR2=6π.故选B.

4.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为(　C　)

(A)2    (B)4+2 

(C)4+4 (D)4+6

解析:由三视图知几何体为一三棱柱,底面为一等腰直角三角形,高为1,则底面三角形腰长为,底边长为2,三棱柱高为2,所以侧面积为2×2+2××2=4+4.故选C.

5.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体,截面与底面所成的角为45°,过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形ABB′A′为矩形,若沿AA′将其侧面剪开,其侧面展开图形状大致为(　A　)

解析:截面方程为x2+=1,截面在轴截面A′ABB′上的投影为圆x2+y2=1,沿AA′剪开,其展开图不可能是B,C,D.故选A.

6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别是棱D1C1,B1C1的中点,过E,F作一平面α,使得平面α∥平面AB1D1,则平面α截正方体的表面所得平面图形为(　D　)

(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形

解析:由题意,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱D1C1,B1C1的中点,取BB1,AB,AD,DD1的中点G,H,M,N,可得正六边形EFGHMN,此时平面AB1D1∥平面EFGHMN.故选D.

7.祖暅是南北朝时期的伟大科学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体;图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为(　D　)

(A)①② (B)①③ (C)②④ (D)①④

解析:设截面与底面的距离为h,则①中截面内圆半径为h,则截面圆环的面积为π(R2-h2);②中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为π(R-h)2;③中截面圆的半径为R-,则截面圆的面积为π(R-)2;④中截面圆的半径为,则截面圆的面积为π(R2-h2),所以①④中截面的面积相等.故选D.

8.(2018·宁波5月模拟)已知x,y均为非负实数,且x+y≤1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围为(　A　)

(A) [,4］ (B)[1,4]   (C)[2,4]  (D)[2,9]

解析:因为x,y≥0,

所以≤x2+y2≤(x+y)2.

令t=x+y,则0≤t≤1.

4x2+4y2+(1-x-y)2≤4t2+(1-t)2=5t2-2t+1≤4.

当xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0时取等号;

另一方面,4x2+4y2+(1-x-y)2≥2t2+(1-t)2=3t2-2t+1≥.

当x=y=时取等号.

所以4x2+4y2+(1-x-y)2∈[,4］.故选A.

二、填空题

9.(2018·温州模拟)如图,一个简单几何体三视图的正视图与侧视图,都是边长为1的正三角形,其俯视图的轮廓为正方形,则该几何体的体积是　　　　　,表面积是　　　　. 

解析:由正视图和侧视图为等边三角形可得此几何体为锥体,由俯视图为四边形可得此几何体为四棱锥,因为正视图为边长为1的正三角形,所以正三角形的高,也就是棱锥的高为,俯视图的边长为1,

所以正四棱锥的体积为V=×1×1×=,

表面积为S=1+4××1×1=3.

答案:　3

10.在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=BC=1,则该四面体体积的最大值为　　　　. 

解析:由于平面PBC是边长为1的正三角形,=,底面面积固定,要使体积最大,只需高最大,故当PA⊥平面PBC时体积最大,V=×

×12×1=.

答案:

11.已知圆锥的母线长为5 cm,侧面积为15π cm2,则此圆锥的体积为

　　　　cm3. 

解析:已知圆锥的母线长为5 cm,侧面积为15π cm2,

所以圆锥的底面周长为6π cm,底面半径是3 cm,圆锥的高是4 cm,此圆锥的体积为×9π×4=12π (cm3).

答案:12π

12.(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为　　　　. 

解析:

如图,因为SA与底面成45°角,

所以△SAO为等腰直角三角形.

设OA=r,则SO=r,SA=SB=r.

在△SAB中,cos∠ASB=,

所以sin∠ASB=,

所以S△SAB=SA·SB·sin∠ASB

=(r)2·

=5,

解得r=2,

所以SA=r=4,

即母线长l=4,

所以S圆锥侧=πr·l=π×2×4=40π.

答案:40π

13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点.则这三个球的半径之比为　　　　. 

解析:设正方体的棱长为a,则正方体的内切球直径为a,

则半径为.第二个球与正方体的各条棱相切,

由截面知球直径为a,则半径为a.

正方体的外接球,过正方体的各个顶点,其直径为a,

则半径为a.

可得三个球的半径之比为1∶∶.

答案:1∶∶

14.若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等,圆锥、球的表面积分别记为S1,S2,则的值是　　　　. 

解析:设球的直径为2R,由题意可知,

S1=πR2+πR×=(+1)πR2,S2=4πR2,

据此可得=.

答案:

15. 如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点P是线段BD1上的动点.当△PAC在平面DC1,BC1,AC上的正投影都为三角形时,将它们的面积分别记为S1,S2,S3.

(1)S1　　　　S2(填“>”“=”或“<”); 

(2)S1+S2+S3的最大值为　　　　. 

解析:如图,因=,=,故PO=QN,

同理可得RM=PO,

所以RM=QN,则S1=S2,

特别地当点P与点D1重合时,三个投影面的面积都最大,都是,所以S1+S2+S3=,即最大值是.

答案:=　

三、解答题

16. 如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AB=,F是BC的中点.

(1)求证:DA⊥平面PAC;

(2)点G为线段PD的中点,证明CG∥平面PAF;

(3)求三棱锥A-CDG的体积.

(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,∠ACB=∠DAC=90°,因为PA⊥平面ABCD,

所以PA⊥DA,

又AC⊥DA,AC∩PA=A,

所以DA⊥平面PAC.

(2)证明:PD的中点为G,在平面PAD内作GH⊥PA于H,则GH平行且等于AD,连接FH,则四边形FCGH为平行四边形,

所以GC∥FH,因为FH⊂平面PAF,CG⊄平面PAF,所以CG∥平面PAF.

(3)解:设S为AD的中点,连结GS,则GS平行且等于PA=,

因为PA⊥平面ABCD,

所以GS⊥平面ABCD,

所以==S△ACDGS=.