2020-2021学年3二倍角的三角函数巩固练习

课时素养评价 二十七　二倍角的三角函数(二)

　　　　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　35分)

1.已知sin α-cos α=,则sin 2α= (　　)

A.- B.- C. D.

【解析】选A.sin 2α=2sin αcos α==-.

　【补偿训练】

　　 已知cos α-sin α=,则cos= (　　)

A.- B.- C. D.

【解析】选C.因为cos α-sin α=,

所以cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-sin 2α=,所以sin 2α=,所以cos=sin 2α=.

2.若sin=,则cos= (　　)

A.- B.- C. D.

【解析】选A.由题意,可得cos

=-cos=-cos

=-cos

=-=-.

3.若tan θ=,则cos 2θ= (　　)

A.- B.- C. D.

【解析】选D.cos 2θ=cos2θ-sin2θ=.

分子分母同时除以cos2θ,得:cos 2θ===.

4.已知α∈,sin 2α=,则sin=

　　　　. 

【解析】因为1-2sin2

=cos=-sin 2α,

所以sin2=,因为α∈,

所以α+∈,所以sin=.

答案:

5.已知α是第二象限角,且sin=-,

则=　　　　　. 

【解析】由sin=-,得cos α=-,

又因为α是第二象限角,所以tan α=-2,

所以=

=·=.

答案:

6.若θ∈,sin 2θ=,求sin θ.

【解析】因为θ∈,所以2θ∈,

所以cos 2θ≤0,

所以cos 2θ=-

=-=-.

又cos 2θ=1-2sin2θ,

所以sin2θ===,

因为θ∈,所以sin θ>0,所以sin θ=.

　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)

 一、选择题(每小题5分,共25分)

1.= (　　)

A.- B.-1　 C.　 D.1

【解析】选D.

=

=2×

=2sin 30°=1.

2.设α∈,β∈,且=,则 (　　)

A.2α+β= B.2α-β=

C.α+2β= D.α-2β=

【解析】选B.由=,可得:sin α-sin αsin β=cos αcos β.

所以sin α=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),

因为α∈,β∈,

所以cos(α-β)>0,所以α+α-β=,即2α-β=.

3.若sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于(　　)

A.1　 B.-1　 C.0　 D.±1

【解析】选C.因为sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β

=sin(α+β-β)=sin α=0,

所以sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sin αcos 2β=0.

4.计算:4cos 50°-tan 40°= (　　)

A. B. C. D.2

【解析】选A.4cos 50°-tan 40°=4cos 50°-

=

=

=

=

==.

【误区警示】由于50°+40°=90°,故想用其中一个表示另外一个,没有考虑到其他特殊角,从而思路断掉.

5.已知sin α+cos α=,则2cos2-1= (　　)

A. B. C.- D.-

【解析】选C.由sin α+cos α=平方得,1+sin 2α=,故sin 2α=-,故2cos2-1=

cos=sin 2α=-.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.函数f(x)=sin-3cos x的最小值为　　　　. 

【解题指南】首先应用诱导公式,转化得到二倍角的余弦,进一步应用二倍角的余弦公式,得到关于cos x的二次函数,从而得解.

【解析】f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-

3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2+,因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4.

答案:-4

7.已知θ∈,且sin=,则tan 2θ=　　　　. 

【解析】由sin=得,

=⇒sin θ-cos θ=,

解方程组:

得或因为θ∈,

所以sin θ>0,所以不合题意,舍去.

所以tan θ=,

所以tan 2θ===-.

答案:-

8.·cos 10°+sin 10°tan 70°-2cos 40°=　　　　. 

【解析】原式=+

-2cos 40°

=+-2cos 40°

=-2cos 40°

=-2cos 40°

=-2cos 40°

=4cos220°-2(2cos220°-1)=2.

答案:2

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知2sin θ-cos θ=1,求的值.

【解析】已知等式变形得:2sin θ=1+cos θ,

即4sin cos =2cos2,

即2sin =cos 或cos =0,

当2sin =cos 时,

原式=

==

==2.

当cos =0时,原式=0,

综上所述,原式的值为0或2.

10.设A,B,C是△ABC的三个内角,求证:sin 2A+

sin 2B+sin 2C=4sin Asin Bsin C.

【证明】左边=(sin 2A+sin 2B)+sin2[π-(A+B)]

=2sin(A+B)cos(A-B)-sin2(A+B)

=2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)

=2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]

=2sin(π-C)·(cos Acos B+sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B)=2sin C·2sin A·sin B

=4sin Asin Bsin C=右边.所以原式得证.

1.函数f(x)=sin2x+sin xcos x在区间上的最小值为　　　　. 

【解析】f(x)=+sin 2x

=+=sin+,

又x∈,所以2x-∈,

所以sin∈,故f(x)min=+=1.

答案:1

2.求证:=.

【证明】原式等价于1+sin 4θ-cos 4θ

=(1+sin 4θ+cos 4θ),即1+sin 4θ-cos 4θ

=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ).(*)

而(*)式右边=tan 2θ(1+cos 4θ+sin 4θ)

=(2cos22θ+2sin 2θcos 2θ)

=2sin 2θcos 2θ+2sin22θ=sin 4θ+1-cos 4θ=左边.

所以(*)式成立,原式得证.