高中数学北师大版必修41同角三角函数的基本关系教案

课题

同角三角函数的基本关系   

教学内容概述

本课题是《高中数学必修四》的同角三角函数的基本关系，通过对正弦、余弦与正切值的观察分析，并利用任意角的三角函数的定义进行证明，理解同角三角函数基本关系的由来，并通过例题及变式，明确同角三角函数的基本关系的应用。

教学重点：公式及的推导及运用：

（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；

（2）化简三角函数式；

教学难点：根据角终边所在象限求出其三角函数值；

学习目标分析

知识与技能：(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；

(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；

(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；

(4)牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；

(5)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；

过程与方法：由圆的几何性质出发,利用三角函数定义,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

情感、态度与价值观：通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.

学习者特征分析

在平时的师生活动观察中，了解到高一年学生已经有了一定的自主探究能力，能够独立对一些数据观察、分析并得出结论，但观察可能不够全面，尚需正确引导才能得出结论，并且需要引导学会正确运用公式。

教学策略分析

教法上：对话教学法：通过师生对话、生生对话，在对话中明白道理、构建知识。

学法上：①合作探究法、自主学习法：学生在合作探究中产生思维碰撞又互相学习；②观察法：通过观察数据，进行大胆假设。

教学工具

    综合运用多媒体设备与板书相结合。通过希沃白板功能，展示学生作业并进行点评。

时间分配

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

3分钟

复习引入

教师提问学生：

1..单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？

2.对于一个任意角，、、是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，我们希望找出这种同角三角函数之间的基本关系，实现正弦、余弦、正切函数的互相转化，为进一步解决三角恒等变形问题提供理论依据．

学生回想三角函数的定义并且作出回答。

复习旧知，为新知铺垫，建立新知与旧知的联系。

10分钟

引入新知

教师提出：

思考1： 学生填写以下表格数据，观察特殊角的正弦值、余弦值之间具有什么关系？由此能猜出什么结论？

教师让学生填写表格，并通过希沃白板的蒙尘功能将数据体现出来，后让学生提出猜想。

猜想：对于任意角都满足：

（1）

（2）

教师提问如何从定义进行证明猜想：

证明:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一

下同一个角不同三角函数之间的关系吗?

根据三角函数的定义，在单位圆中，，.,即.

根据三角函数的定义,有.

教师提出思考：

思考2：

平方关系中当角的终边落在坐标轴上时，上述关系是否成立？

思考3：

商数关系成立的条件是？

归纳思考2与3：

对任意角，平方关系成立

对角，商数关系成立

思考4：

平行关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的基本关系，他们都是恒等式，如何用文字描述这两个关系式。

同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.

学生根据已有知识填写表格，并且观察表格内的数据，进行猜想。

学生提出猜想1.

学生自主思考并进行小组讨论后尝试从任意角三角函数的定义出发证明猜想是成立的。

学生根据自己所画的单位圆进行尝试思考，同桌讨论判断出平方关系和商数关系的成立条件。

让学生填写表格，经历观察、猜想、假设、验证、结论，切合《高中课程标准》的要求，并且使学生明白同角三角函数基本关系的由来，从而更加理解这个关系式。

通过自主思考和同桌思考，提高学生自主学习和合作学习的能力，并且明确平方关系和商数关系成立条件。

教导学生记忆同角三角函数的基本关系的记忆技巧，深化学生对此的记忆。

5

分钟

理论迁移

教师在希沃白板上展示：

例1 下列各式正确的有：

A.   B.

C.        D.

E.            F.

并请学生起来答题，利用希沃的画笔功能标出学生的答案，并进行辨析。

学生自主思考并同桌讨论。

通过例题，对概念进行辨析，教导学生关于概念易错误或易混淆的点，避免再次错误。

1

2分钟

归纳与小结

教师进行归纳小结 例1：

（1）必须是同一个角

（2）这个角可以看成单项式或多项式

（3），

学生记录教师所说的重点，并进行理解。

帮助学生梳理知识，提高学生对知识的理解程度。

10分钟

课堂巩固练习

教师通过希沃白板展示题目：

例2 已知,且是第三象限角，求的值.

教师通过希沃授课助手，拍照上传学生的作答，进行点评后板书规范的作答。

变式1：已知，求的值.

教师在例2的板书上进行深化解答变1，强调解此类题型最重要的通法：联立方程，并强调这种类型的题目应先定象限后定值。                   

学生在经过思考后，在自己的练习本上书写计算的过程，并且等教师将同学过程投影上去后，观察与自己所写的有什么区别，聆听教师点评观看教师板书，并进行记录。

学生在刚才例2的作答基础上思考变1，并分析其区别，听完教师点评后进行记录。

通过例题2与变式1的练习，强调利用方程思想解题这种通法，并且通过例2与变式1.使学生明白先定象限后定值，由题目的细微差异，引起学生重视。

110分钟

课堂巩固练习

教师通过希沃白板展示题目：

变式2：已知，求的值.

教师通过希沃授课助手，拍照上传学生的作答，进行点评后强调这种类型的题目采用联立方程的方法求解，渗透方程思想。

学生在经过思考后，在自己的练习本上书写计算的过程，并且等教师将同学过程投影上去后，观察与自己所写的有什么区别，聆听教师点评观看教师板书，并进行记录。

利用上传学生的作业，进行当场点评，指出错误，加强学生对此印象，避免再次出现错误。并且继续强调方程思想。

在介绍通法的同时渗透个别特法，对比其两种做法，体现技巧的优越性。

12分钟

归纳与小结

教师总结例二及变式：

（1）确定象限

（2）确定三角函数值

         所谓知一求二，即知道三角函数中的正弦、余弦、正切中的某一个值，即可以求另外的两个值。

学生记录教师所说的重点，并进行理解。

帮助学生梳理知识，提高学生对知识的理解程度。

3分钟

归纳与总结

教师提问学生回顾此节课所学重点：

根据学生回答情况，教师复述重点，若学生未答道，进行补缺补漏：

①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,平方关系:

商数关系

②公式的应用：

求值：根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).

     “知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切,则构造方程组求值.

化简

教师在最后提出本节课涉及的数学思想方法：函数与方程思想、特殊到一般、数形结合、分类与整合、转化与化归，并进行适当解释阐述。

回顾本节所学的方法知识:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,平方关系:

商数关系

②公式的应用：

求值：根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).

学生记录教师所说的重点，并进行理解。

帮助学生梳理知识，明确这节课所学重点，知道同角三角函数基本关系的由来及应用，提高学生对知识的理解程度。

作业：校本作业：《同角三角函数的基本关系》

帮助与总结：

1.课中关注学生探究成果，及时激励，设置问题引导学生思考、分析、归纳，助学生落实知识，明确数学探究过程，开拓数学思维。

2.课后布置实践作业，及时导行，学以致用。

反馈与评价：

1.探究活动中，你的最大收获是什么？                                    

2.课堂上，你觉得自己收获的最大问题是                                  

3.你还有哪些疑惑需要同伴或老师解答：                                  

板书设计

1.2.2同角的三角函数基本关系

1. 任意角三角函数的基本关系              例2                       观察

                                                                   猜想

2.同角三角函数的基本关系                 变1                       假设

（1）平方关系

（2）商数关系                                                      验证

                                                                   结论