高中数学北师大版必修49三角函数的简单应用与基本关系教学设计

  §9　三角函数的简单应用

一．课标要求

了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题。

二．教材分析

本节内容是在学习了三角函数的图像和性质的基础上，了解三角函数模型的一些简单应用。除了加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，还进一步突出数学“源于生活、用于生活”的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。

三．学情分析

学生对三角函数的图像和性质已经有了初步的认识和理解，但是从实际问题抽象出数学模型的能力仍需加强。

四．教学目标

（1）知识与能力：掌握三角函数模型应用的基本步骤——根据函数模型求解析式、已知函数模型做出图像、利用三角函数有关模型解决实际问题。

（2）过程与方法：从实际问题中抽取基本的数学关系，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，选择合适的三角函数模型解决来实际问题。

（3）情感态度与价值观：切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系，培养创新精神和实践能力。

五．教学重难点

（1）重点：从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题。

（2）难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题。

六．教学方法：让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后老师启发、总结、提炼、升华为分析解决问题的能力。

七．教学过程

（1）复习所学知识，创设问题情境

由前面所学内容可知，三角函数具有周期性，而自然界中有很多变化着的现象也具有周期性，如：星体的运动、气候的变化、涨潮退潮等。我们能不能借助三角函数模型来描述这些周期现象，解决某些实际问题呢？下面通过涨潮问题来说明三角函数的简单应用。

师：观察某港口涨潮和退潮时的景象，现在假设你是这艘大货船的船长，你会选择什么时候进入港口，什么时候离开港口？

（设计意图：结合生活实际，创设船长出入港口的情境，运用观察法，引导学生自主思考在涨潮退潮时应该关注港口的哪些信息，了解问题的实际背景，明确建模目的以及需要搜集的信息，为后面的一系列的探究做好铺垫。）

（2）引导学生逐步探究

下面是某港口一天的时间与水深关系表：

探究1：观察表格中的数据，你能得到什么信息？

（设计意图：引导学生观察表格中的数据，发现水深与时间的大致规律。）

探究2：设想水深y是时间x的函数，请作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？

（设计意图：通过绘制水深与时间的散点图，用一条光滑曲线来近似，发现散点图呈周期性变化规律。）

探究3：你能求出函数解析式吗？

先设函数模型为 y=Asin(ωx+φ)+h（其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜π），代入最大值和最小值，求出A=3，h=10，由图像易知T=12，所以，最后代入点（3,13），求出=0，综上函数解析式为y=3sinx+10（0≤x≤24）。

（设计意图：引导学生用数学语言来描述所研究对象，建立数学模型，模型出来后需要检验模型是否合理，如果不合理，还需要对模型进行修改。）

探究4：船舶航行时，安全间隙（船底离海底的距离）为5m或5m以上时认为是安全的，某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，问：该船何时能进入港口？在港口能待多久？

问：由示意图易知水面到船底的吃水深度为6.5m，船底距海底的距离至少为5m，那么货船进出港口需要满足的条件是什么？

（设计意图：在构建出三角函数模型的基础上，运用已学的三角函数图像与性质有关知识，进行分析和计算，为解决实际的进出港口问题给出定量的结果。）

探究5：如果船的吃水深度为6.5m，安全间隙为5m，在13时开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度开始减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

问：此时船的吃水深度和海水深度都在动态变化，这时又该如何处理呢？

由题船的吃水深度随着时间以0.5m/h的速度匀速减小，满足一次函数关系，然后是从13时开始卸货的，所以吃水深度与时间的关系式为y=6.5-0.5×（x-13）=13-0.5x，故安全水深与时间的关系式为y=13-0.5x+5=18-0.5x（13≤x≤24）。

求得安全水深和海水深度与时间的关系式后，利用画图法，通过图像观察研究。

第一个交点易知是x=13，用所学的二分法知识近似求解函数方程，求得第二个交点为x=19。

问：虽然求得x=19时，港口的海水水深恰好等于安全水深，那么是恰好在19时停止卸货吗？

（设计意图：数学模型需要不断完善，在考虑船的吃水深度变化的因素后，需要适当的对已有的函数模型加工和改进，让学生掌握计算方法和逻辑推理的同时，通过数学建模的训练，培养学生利用数学工具，分析和解决实际问题的能力。最后得出的答案还要结合实际情况，合理制定船撤离的方案。）

（3）总结归纳

a.收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．

b.制作散点图，选择函数模型进行拟合．

c.利用三角函数模型解决实际问题．

d.根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．

（设计意图：通过归纳总结，使学生更加系统化地了解用拟合法三角函数建模的全过程，深刻理解数学建模在实际生活中的应用，为接下来的自主体验探究提供方法依据。）

（4）体验探究

生活中还有很多周期现象等着我们去探求，你能试着对一些呈周期性变化规律的现象制定一份研究报告吗？

（设计意图：本课通过结合数学建模与数学探究活动，启迪学生思考如何在生活中应用数学，自己动手亲身体验，如何用数学建模思想解决生活中的实际问题，激发学生的想象力与创造力。）

八.教学反思

 1.通过探究问题的设置，展现数学建模的全过程。从如何发现问题和如何思考问题的过程入手，分析为何周期性问题可以与我们所学的三角函数知识相结合，同时给学生留有自我思考的余地，对待练习和提问应更多加入学生参与和分 析解疑的过程， 充分让学生再现已有的数学知识，发现与问题相结合的缘由， 进而在巩固练习和体验探究中模仿教师的步骤解决问题。

2.探究中给出的数据十分“完美”，有很大巧合成分，显然现实生活中的问题并不会这么简单。