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高中数学北师大版必修2本节综合复习练习题

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这是一份高中数学北师大版必修2本节综合复习练习题，共20页。试卷主要包含了0分），DH，【答案】C，【答案】A，【答案】B，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

1.4空间图形的基本关系与公理同步练习北师大版高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，，若平面平面，则

A.
B.
C. l与直线AB相交
D. l与直线DA相交

如图，在正方体中，E为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为

A.
B.
C.
D.

下列说法中正确的是

A. 经过三点确定一个平面 B. 两条直线确定一个平面
C. 四边形确定一个平面 D. 不共面的四点可以确定4个平面

下面给出了四个条件：空间三个点；一条直线和一个点；和直线a都相交的两条直线；两两相交的三条直线其中，能确定一个平面的条件有

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

已知，，，则等于

A. B. 或
C. D. 以上结论都不对

在正方体中，和的中点分别为M，如图，若以A，M，N所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为

A. 六边形
B. 五边形
C. 四边形
D. 三角形

下列说法中正确的是

A. 三点确定一个平面
B. 四边形一定是平面图形
C. 梯形一定是平面图形
D. 两个不同平面和有不在同一条直线上的三个公共点

在棱长为2的正方体中，点P，Q分别是棱AD，的中点，则经过B，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为

A. B. C. D.

图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是

A. B.
C. D.

下列说法正确的是

A. 经过三点确定一个平面
B. 各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥
C. 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
D. 一个三棱锥四个面可以都为直角三角形

如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，，的中点，过E，F，G三点的平而截正方体所得的截面面积为

A. 4
B.
C.
D.

下列说法正确的是

A. 三点确定一个平面
B. 四边形一定是平面图形
C. 梯形一定是平面图形
D. 平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

空间中有一个角的两边和另一个角的两边分别平行，，则．
若三个不重合的平面两两相交，则交线有______条．
正方体的棱长为2，AC与BD相交于H点，则经过点且与垂直的平面截该正方体所得截面的面积为______．
在棱长为2的正方体中，M、N分别是、的中点，用过D、M、N三点的平面截正方体，则截面图象的周长为______．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

空间中三个平面最少把空间分成部分；最多把空间分成部分；
空间四边形ABCD中，分别是的中点，四边形EFGH是形；当时，四边形EFGH是菱形
空间中不共线的四个点可以确定个平面；经过依次首尾相连的四条线段所在的直线，最多可以确定个平面．
如图，A，B，C，D，为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段上

如果，那么点P在直线上；

如果，那么点Q在直线上

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

已知：如图所示，，，求证：直线，，在同一平面内．

四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：：：：3．
证明：点G、E、F、H四点共面；
证明：EF、GH、BD交于一点．
如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．

已知，点E，F分别是长方体的棱，的中点，求证：四边形是平行四边形．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查了两平面的交线问题，属于基础题．
先得到AD，BC为两条相交直线，且交点O在l上，即可观察各选项得到答案．
【解答】
解：因为底面ABCD是梯形，，
所以AD，BC为两条相交直线，
设AD与BC的交点为O，
则，O在平面PAD内，
，O在平面PBC内，
因为平面平面，
，
与AD、BC两直线相交．
故选D．

2.【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查几何体的三视图及平面的基本性质，利用平面的性质，得出截面，然后根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．
【解答】
解：取的中点F，连接AF ，，由正方体知，
所以过点A 、E 、的平面，即，
如下图，过点A 、E 、的平面截去该正方体的上半部分后，
剩余部分的直观图如图：
，
则该几何体的侧视图为下图．

故选C．

3.【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查平面的基本性质及应用，属于基础题．
根据题意，即可求解．
【解答】
解：经过不共线的三点才能确定一个平面，因此A不正确；
两条异面直线不能确定一个平面，因此B不正确；
空间四边形不能确定一个平面，因此C不正确；
不共面的四点中每三个点都不共线，则任三点可确定一个平面，共可以确定4个平面，因此D正确．
故选D．

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查平面的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面及其推论的合理运用．
利用平面的基本性质依次分析求解即可．

【解答】

解：在中，空间共线的三个点能确定无数个平面，故不成立；
在中，一条直线和直线上的一个点能确定无数个平面，故不成立；
在中，当这两条直线是异面直线时，则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内，故不成立；
在中，两两相交的三条直线能确定一个或三个平面相交于一点，故不成立．
故选A．

5.【答案】B

【解析】解：，，
且，
或
故选：B．
首先，直接根据平行关系求解即可．
本题重点考查了平面的性质、平行关系运用．属于中档题．

6.【答案】B

【解析】

【分析】
本题考查平面的基本性质，棱柱的结构特征，考查空间想象能力，属于基础题由题意可画出图形，结合图形可判断得答案．
【解答】
解：由题意可画出图形，如图所示，
由图可得以A，M，N所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为五边形，
故选B

7.【答案】C

【解析】解：A选项，若三点共线，则平面不唯一，故说法错误；
B选项，空间中四点不一定共面，如三棱锥的四个顶点，故说法错误．
C选项，梯形的上底与下底平行，所以四个顶点共面，为平面图形，故说法正确；
D选项，根据平面的公理3，如果两个平面相交，那么他们的公共部分为一条直线，故说法错误．
故选：C．
若三点共线，则平面不唯一，故A选项说法错误；空间中四点不一定共面，如三棱锥的四个顶点，故B选项说法错误．梯形的上底与下底平行，所以四个顶点共面，为平面图形，故C选项说法正确；根据平面的公理3，如果两个平面相交，那么他们的公共部分为一条直线，故D选项说法错误．
本题考查平面的3个公理及其应用，属于基础题．

8.【答案】C

【解析】解：连接，
因为点P，Q分别是棱AD，的中点，
所以，
所以平面为所求截面，
在正方体中，，，，
所以梯形的高为，
过三点B，P，Q三点的截面面积为，
故选：C．
连接，则平面为所求截面，然后利用正方体的性质以及棱长即可求解．
本题考查了截面的性质，涉及到正方体的性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．

9.【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查四点是否共面的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．在A中，由，知P、Q、R、S四个点共面；在B中，由，知P、Q、R、S四个点共面；在C中，由，知P、Q、R、S四个点共面；在D中，由QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，知四个点共面不共面．
【解答】
解：在A中，由题意知在正方体中，，，所以，
则P、Q、R、S四个点共面，故A不对；
在B中，由题意知在正方体中，，，
所以，则P、Q、R、S四个点共面，故B不对；
在C中，因为PR和QS分别是相邻侧面的中位线，
所以，，即，所以P、Q、R、S四个点共面，故C不对；
在D中，根据图中几何体得，P、Q、R、S四个点中任意两个点都在两个平面内，
，，因为AB与BD相交，所以QR和PS是异面直线，
并且任意两个点的连线既不平行也不相交，故四个点共面不共面，故D对；
故选D．

10.【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查空间中几何体的性质应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．
根据面的基本性质及棱锥、棱柱的性质逐项判断即可．
【解答】
解：对于A选项，共线的三点就不能确定一个平面，A错误；
对于选项B，将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，B错误，
如图：

对于选项C，各侧面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱，如底面是菱形时，且各侧面都是正方形，但不是正棱柱，C错误
对于选项D，如图，平面ABC，，则三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确．

11.【答案】D

【解析】解：如图示：

可知过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面为正六边形EFGHIK，
且该正六边形的棱长为，所以该正六边形的面积为，
故选：D．
得到截面是正六边形，求出正六边形的棱长，从而求出其面积即可．
本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，是基础题．

12.【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查平面的基本性质及推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，属于基础题．
不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．
【解答】
解：不共线的三点确定一个平面，故A不正确，
B.四边形有时是指空间四边形，故B不正确，
C.梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，
D.两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．
故选：C．

13.【答案】或

【解析】

【分析】

本题考查空间中等角定理的应用，属基础题．
由等角定理可知，与相等或互补，由此即可得解．

【解答】

解：的两边和的两边分别平行，
或．
又，
或．
故答案为或

14.【答案】1或3

【解析】解：如图，三个平面有一条交线的情况，

三个平面有三条交线的情况，

故答案为：1或3．
根据题意画出图形，即可得到答案．
本题考查了平面与平面之间的位置关系，两个平面两两相交有一条交线或三条交线，有三条交线时，交线要么相交于一点，要么互相平行，是基础题．

15.【答案】

【解析】解：如图所示，正方体中，E为棱的中点，，
则，，，
则满足
，
，又平面，，且，
平面BDE，
且，
取的中点M，取的中点N，经过点且与垂直的平面截该正方体所得截面是平行四边形的面积为
故答案为：．
利用勾股定理证明，再根据证明平面BDE，求出的面积即为所求．
本题考查了空间中的线面垂直关系的证明与应用问题，考查了转化思想，是中档题．

16.【答案】

【解析】解：延长，在的延长线上取点E，使为2，
延长，在的延长线上取点Q，使为2，
连结DQ，交于R，
连结EQ，交于M，交于P，
连结PN，MR．
，，
，，
，
，R，Q，M，P，N，E共面，
又平面，，M，N点的平面与平面的交线为PN．
同理，，
，R，Q，M，P，N，E共面，
又平面，过D，M，N点的平面与平面的交线为MR．
过D，M，N三点的平面是，截面为五边形DRMPN，
且，，，，，
，，，，，．
过D、M、N三点的平面截正方体的截面图形的周长为，
故答案为：，
利用线面平行、面面平行的性质，做出过D，M，N三点的平面，即可求解．
本题主要考查了线面平行的判定，考查了尺规作图的应用，考查了数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．

17.【答案】4

【解析】

【分析】
本题考查平面的性质，根据平面的位置关系即可求解．
【解答】
解：当三个平面平行时，最少将空间分成4部分，
当三个平面两两相交且交线不平行时，最多将空间分成8个部分．
故答案为4；8．

18.【答案】平行四边

【解析】

【分析】
本题主要考查的是空间四边形的结构特征，三角形中位线定理，菱形的定义，属于基础题．
根据四个点分别为中点结合三角形中位线定理，平行公理即可完成第一空，在第一空的基础上容易实现第二空的填写．
【解答】
解：如右图示分别是的中点，
在中，由中位线定理知且，
在中，由中位线定理知且，
在中，由中位线定理知且，
故由平行公理得且．
所以四边形EFGH是平行四边形．
当时有，
平行四边形EFGH为菱形．
所以答案为：平行四边形，．

19.【答案】1或4

【解析】

【分析】
本题考查平面的有关概念，平面的基本性质及应用以及平面个数的判定，属于基础题．
四点共面可以确定1个平面，如果四点不共面，可以构成一个三棱锥，一个三棱锥有4个面；若ABCD不共面，则相邻的两条线段所在的直线可确定一个平面，共4个平面，相对的两条线段无法确定一个平面，可得结果．
【解答】
解：空间不共线的四点，如果四点共面可以确定1个平面，
如果四点不共面，可以构成一个三棱锥，一个三棱锥有4个面，
所以空间中不共线的四个点可以确定1或4个平面；
设首尾相连的四条线段组成的空间四边形为ABCD，
若ABCD不共面，则相邻的两条线段所在的直线可确定一个平面，共4个平面，
相对的两条线段无法确定一个平面，
故最多可确定4个平面．
故答案为1或4；4．

20.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题主要考查平面的基本性质，属于基础题．
由平面ABD，平面BCD和平面平面即可判断P的位置；
由平面ABC，平面ACD和平面平面即可判断Q的位置．

【解答】

解：若，

那么点平面ABD，平面BCD，

而平面平面，

．

若，

则平面ABC，平面ACD，

而平面平面，

．

21.【答案】解：，
、确定一平面，
又，，
，，
，，
，
直线，，在同一平面内．

【解析】根据确定一平面的条件进行证明即可．
本题主要考查确定一平面的条件，属于基础题．

22.【答案】证明：、G分别为BC、AB的中点，
又：：：：3，．

所以，E、F、G、H四点共面．
由可知，，且，即EF，GH是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P
是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，而点P是上述两平面的公共点，
由公理3知．
所以，三条直线EF、GH、BD交于一点．

【解析】由E、G分别为BC、AB的中点，根据中位线定理，我们可得，，又由F、G分别是BC、CD上的点，且DF：：：：3，根据平行线分线段成比例定理的引理，我们可得，则由平行公理我们可得，易得E、F、G、H四点共面；
由的结论，EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P，而由于BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理3知，故三线共点．
所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．证明三线共点的依据是公理证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题．实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理．