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沪教版（上海）高二数学上册 第7章 数列与数学归纳法 复习 课件
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这是一份高中数学沪教版高中二年级 第一学期本册综合复习ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了题型探究，知识梳理，内容索引，当堂训练，知识网络，数列极限的描述性定义，C是常数，常用的数列极限，数列极限的运算性质，无穷等比数列的各项和等内容，欢迎下载使用。
对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式
数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k (kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
数学归纳法的基本思想： 即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)。根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立。
首项为a10， 公比为q1的无穷等比数列的前n项和为Sn， 当n时Sn的极限， 称为无穷等比数列的各项和。
并用符号S表示， 即：
对于一个m项的有穷数列{an}(n1，2，……，m)， 我们也可以定义其各项和， 即定义为：
对于有穷数列而言， 各项和总是存在的。
类型一 方程思想求解数列问题
例1 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和。已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列。(1)求数列{an}的通项；
故数列{an}的通项为an＝2n－1。
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn。
由于bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2。又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，
在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量。
跟踪训练1 记等差数列 的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3 ＋1成等比数列，求Sn。
类型二 转化与化归思想求解数列问题
例1 在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1。(1) 设cn＝ ，求证数列{cn}是等差数列；
由Sn＋1＝4an＋2，①则当n≥2，n∈N＋时，有Sn＝4an－1＋2 ②①－②得an＋1＝4an－4an－1方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得
即cn＋1＋cn－1＝2cn，∴数列{cn}是等差数列。
由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，
方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，令bn＝an＋1－2an则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝3·2n－1
(2) 求数列{an}的通项公式及前n项和的公式。
设Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2，∴2Sn＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n－1)·2n－1，故Sn＝2Sn－Sn
＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1
＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1＝2＋(3n－4)·2n－1∴ 数列{an}的通项公式为an＝(3n－1)·2n－2，前n项和公式为Sn＝2＋(3n－4)·2n－1，n∈N＋。
由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再用公式求出。
跟踪训练1 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)。(1)求a2，a3的值；
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8。
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列。
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)。②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2。∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)。∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，
∴ ＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列。
类型三 函数思想求解数列问题
命题角度1 借助函数性质解数列问题例1 已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项。(1)求数列{an}的通项公式；
由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2。∵d>0，∴d＝2。∵a1＝1。∴an＝2n－1 (n∈N＋)。
(2)设bn＝ (n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn> 总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由。
∴数列{Sn}是递增的。
又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8。
数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题。值得注意的是数列定义域是正整数集或{1，2，3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响。
跟踪训练1 已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列。(1)求数列{an}的通项公式；
设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
(2)设Tn＝Sn－ (n∈N＋)，求数列{Tn}最大项的值与最小项的值。
命题角度2 以函数为载体给出数列例2 已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，n∈N＋。(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；
由an＋1＝f(an)⇒an＋1＝2－|an|，a1＝0⇒a2＝2，a3＝0，a4＝2。
(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值。
＝a1[2－|2－|a1||]⇒(2－a1)2＝a1[2－|2－a1|]，分情况讨论：
以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题。
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ ，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ ，n∈N＋。(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn。
Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
例1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，公差是d，那么an=a1+(n－1)d对一切n∈N+都成立。
证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1，等式是成立的；（2）假设当n=k时，等式成立，即ak=a1+(k－1)d， 那么ak+1=ak+d=[a1+(k－1)d]+d=a1+kd， 这就是说，当n=k+1时，等式也成立， 由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。
例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2。
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k－1)=k2。 那么1+3+5+…+(2k－1)+[2(k+1)－1] =k2+[2(k+1)－1]=k2+2k+1=(k+1)2。 这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。
（1）简单型极限——直接法：
设等差数列{an}的公差为d，由前n项和的概念及已知条件得 ＝9(2a1＋d)，①4a1＋6d＝4(2a1＋d )。②由②得d＝2a1，代入①有 ＝36a1，解得a1＝0或a1＝36。将a1＝0舍去。因此a1＝36，d＝72，故数列{an}的通项公式an＝36＋(n－1)·72＝72n－36＝36(2n－1)。
1.设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和(n∈N＋)，且 ＝9S2，S4＝4S2，则数列{an}的通项公式是_____________。
an＝36(2n－1)
2.若数列{an}的前n项和Sn＝ n2－ n(n＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为__________；数列{nan}中数值最小的项是第__项。
所以n＝3时，nan的值最小。
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{an}、{bn}的通项公式。
设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q。由a3＋b3＝17得1＋2d＋3q2＝17，①由T3－S3＝12得q2＋q－d＝4。②由①、②及q＞0解得q＝2，d＝2。故所求的通项公式为an＝2n－1，bn＝3·2n－1。
4.用数学归纳法证明：
证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4，因为左边=右边，所以等式是成立的；
（2）假设当n=k时，等式成立，即
这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。
6.计算下列数列的极限：
对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式
数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k (kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
数学归纳法的基本思想： 即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)。根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立。
首项为a10， 公比为q1的无穷等比数列的前n项和为Sn， 当n时Sn的极限， 称为无穷等比数列的各项和。
并用符号S表示， 即：
对于一个m项的有穷数列{an}(n1，2，……，m)， 我们也可以定义其各项和， 即定义为：
对于有穷数列而言， 各项和总是存在的。
类型一 方程思想求解数列问题
例1 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和。已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列。(1)求数列{an}的通项；
故数列{an}的通项为an＝2n－1。
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn。
由于bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2。又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，
在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量。
跟踪训练1 记等差数列 的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3 ＋1成等比数列，求Sn。
类型二 转化与化归思想求解数列问题
例1 在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1。(1) 设cn＝ ，求证数列{cn}是等差数列；
由Sn＋1＝4an＋2，①则当n≥2，n∈N＋时，有Sn＝4an－1＋2 ②①－②得an＋1＝4an－4an－1方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得
即cn＋1＋cn－1＝2cn，∴数列{cn}是等差数列。
由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，
方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，令bn＝an＋1－2an则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝3·2n－1
(2) 求数列{an}的通项公式及前n项和的公式。
设Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2，∴2Sn＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n－1)·2n－1，故Sn＝2Sn－Sn
＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1
＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1＝2＋(3n－4)·2n－1∴ 数列{an}的通项公式为an＝(3n－1)·2n－2，前n项和公式为Sn＝2＋(3n－4)·2n－1，n∈N＋。
由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再用公式求出。
跟踪训练1 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)。(1)求a2，a3的值；
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8。
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列。
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)。②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2。∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)。∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，
∴ ＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列。
类型三 函数思想求解数列问题
命题角度1 借助函数性质解数列问题例1 已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项。(1)求数列{an}的通项公式；
由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2。∵d>0，∴d＝2。∵a1＝1。∴an＝2n－1 (n∈N＋)。
(2)设bn＝ (n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn> 总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由。
∴数列{Sn}是递增的。
又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8。
数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题。值得注意的是数列定义域是正整数集或{1，2，3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响。
跟踪训练1 已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列。(1)求数列{an}的通项公式；
设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
(2)设Tn＝Sn－ (n∈N＋)，求数列{Tn}最大项的值与最小项的值。
命题角度2 以函数为载体给出数列例2 已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，n∈N＋。(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；
由an＋1＝f(an)⇒an＋1＝2－|an|，a1＝0⇒a2＝2，a3＝0，a4＝2。
(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值。
＝a1[2－|2－|a1||]⇒(2－a1)2＝a1[2－|2－a1|]，分情况讨论：
以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题。
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ ，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ ，n∈N＋。(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn。
Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
例1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，公差是d，那么an=a1+(n－1)d对一切n∈N+都成立。
证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1，等式是成立的；（2）假设当n=k时，等式成立，即ak=a1+(k－1)d， 那么ak+1=ak+d=[a1+(k－1)d]+d=a1+kd， 这就是说，当n=k+1时，等式也成立， 由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。
例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2。
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k－1)=k2。 那么1+3+5+…+(2k－1)+[2(k+1)－1] =k2+[2(k+1)－1]=k2+2k+1=(k+1)2。 这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。
（1）简单型极限——直接法：
设等差数列{an}的公差为d，由前n项和的概念及已知条件得 ＝9(2a1＋d)，①4a1＋6d＝4(2a1＋d )。②由②得d＝2a1，代入①有 ＝36a1，解得a1＝0或a1＝36。将a1＝0舍去。因此a1＝36，d＝72，故数列{an}的通项公式an＝36＋(n－1)·72＝72n－36＝36(2n－1)。
1.设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和(n∈N＋)，且 ＝9S2，S4＝4S2，则数列{an}的通项公式是_____________。
an＝36(2n－1)
2.若数列{an}的前n项和Sn＝ n2－ n(n＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为__________；数列{nan}中数值最小的项是第__项。
所以n＝3时，nan的值最小。
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{an}、{bn}的通项公式。
设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q。由a3＋b3＝17得1＋2d＋3q2＝17，①由T3－S3＝12得q2＋q－d＝4。②由①、②及q＞0解得q＝2，d＝2。故所求的通项公式为an＝2n－1，bn＝3·2n－1。
4.用数学归纳法证明：
证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4，因为左边=右边，所以等式是成立的；
（2）假设当n=k时，等式成立，即
这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。
6.计算下列数列的极限：
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