中考数学压轴题专项训练01全等三角形中的辅助线做法及常见题型含解析

全等三角形中的辅助线做法及常见题型

1．如图，在中，，．是的中点，且，点在上，点在上

（1）求证：；

（2）若，求四边形的面积．

【详解】

（1）证明：，，

是等腰直角三角形，，

为中点，

，平分，．

．

，

，

，

，

在和中，，

，

．

（2），

，

∴S四边形CEDF，

是的中点，

．

∴S四边形CEDF=1．

2．如图，中，点D在边上，且．

（1）求证：；

（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．

（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．

【详解】

（1）证明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，

∴  ∠A＝90°－∠ABD．

∵∠BDC＋∠BDA＝180°，

∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．

∴  ∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．

∴DB＝AB．

解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，

∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，

∴∠BAE＝∠DBC．

∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，

又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，

∴∠CAE＝∠C．

∴AE＝CE．

∵BE＝CH，

∴BE＋EH＝CH＋EH．

即BH＝CE＝AE．

∵AB＝BD，

∴△BDH≌△ABE．

∴BE＝DH．

∵BE＝CD，

∴CH＝DH＝CD．

∴△DCH为等边三角形．

∴∠ACB ＝60°．

（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．

∵DH∥AE，

∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．

∴△ACE是等边三角形．

设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，

∵DH∥AE，

∴△BFE∽△BDH．

∴．

∴，

．

∵△ABF的周长等于30，

即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，

解得AB＝16－．

在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，

∴BO＝16－．

在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，

即．

解得（舍去）．

∴AC＝．

∴AF＝11．

3．已知：在和中，，．

（1）如图①，若

①求证：．

②求证：的度数．

图①

（2）如图②，若，的大小为______（直接写出结果，不证明）．

图②

【详解】

解:（1）①，

，

，

在和中，

，

，

．

②，

，

，

，

；

（2）如图②，同理可得：，

．

，

，

，

．

．

故答案为：，．

4．如图，在中，于点，，点是线段上一点，且，连接交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的周长．

【详解】

解：（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在△ACD和△BED中，
 

∴△ACD≌△BED（SAS），
∴∠DAC=∠CBF；
（2）∵AD⊥BC，AD=BD=3，
∴
∵∠DAC=∠CBF，
∴∠DAC+∠C=∠CBF+∠C=90°，
∴∠AFB=90°，
∴，
∴△BAF的周长为：AB+BF+AF=．

5．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．

（1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合），

①求证：△ABD≌△ACE；

②求证：

（2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____．

（3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______．

【详解】

（1）①∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE，

②∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，

∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°，

；

（2）过点A作AF⊥DE于点F．

∵AD＝AE，

∴点F是DE的中点，

∵∠DAE＝90°，

∴AF＝DE，

同理可证△ABD≌△ACE，

∴∠ADB＝∠AEC，DB＝EC，

∵DB＝5，BC＝7，

∴EC＝5，DC＝12，

∵∠DAE＝90°，

∴∠ADE＋∠AED＝90°，

∴∠ADC＋∠CDE＋∠AED＝90°，

∴∠AEC＋∠AED＋∠CDE＝90°，

即∠CED＋∠CDE＝90°，

∴∠ECD＝90°，

∴DE2＝CE2＋CD2＝25＋144＝169，

∵DE＞0，

∴DE＝13，

∴AF＝，

∴△ADE的面积为＝DE•AF＝×13×＝；

（3）由（1）可知：△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，

∴∠BCE=∠ACB+∠∠ACE=∠ACB+∠ABD=90°，

∴Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，

∴CE＝＝8，

∴BD＝CE＝8，

∴CD＝8−6＝2，

∴Rt△DCE中，DE＝=，

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴AE＝＝=．

6．如图在中，，，为的中点．

（1）写出点到的三个顶点、、的距离的大小关系．

（2）如果点、分别在线段、上移动，移动中保持，请判断的形状，并证明你的结论．

（3）当点、分别在、上运动时，四边形的面积是否发生变化？说明理由．

【详解】

（1）连接OA，

中，为的中点，

，，

，

．

（2）是等腰直角三角形，证明如下：

，为的中点，

，

，

，

，

在与中，

，

≌，

，，

，

是等腰直角三角形．

（3）四边形的面积保持不变，理由如下：

由（2）可得： =，

．

的面积保持不变

四边形的面积保持不变．

7．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线交于点．

（1）填空：点的坐标是（________，________），点的坐标是（________，________）；

（2）直线与直线的位置关系________；

（3）线段的长为________；

（4）在第一象限是否存在点，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标________．

【详解】

（1）令，，令，则，解得，

∴；

令，，令，则，解得，

∴；

（2）直线与直线垂直，理由如下：

∵，

．

在和中，

，

．

，

，

，

，

∴直线与直线垂直；

（3）解得，

∴点M的坐标为，

∴线段的长为；

（4）假设存在点P，使得是等腰直角三角形，

若AB为斜边，过点P分别作x轴和y轴的垂线，分别交x轴于点E，y轴于点F，

∵是等腰直角三角形，

．

，

．

在和中，

，

．

设点P的坐标为，

则．

，

解得

此时点P的坐标为；

若AB边为直角边，

①过点P作轴交x轴于点G，

∵是等腰直角三角形，

．

，

．

在和中，

，

．

，

，

，

∴此时P的坐标为，

②过点P作轴交y轴于点H，

∵是等腰直角三角形，

．

，

．

在和中，

，

．

，

，

，

∴此时P的坐标为，

综上所述，点P的坐标为或或．

8．如图1，两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点．

将图1中的绕点顺时针旋转，在图2中作出旋转后的△OAB(保留作图痕迹，不写作法，不证明)；

在图1中，你发现线段的数量关系是____，直线 相交成         角(填“锐”、“钝”或“直”)；

①将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角， 得到图，这时(2)中的两个结论是否仍成立?作出判断并说明理由；

②若将绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

【详解】

解：（1）如图所示

（2）∵等腰直角三角形和叠放在一起，如图1，

∴OC=OD，OA=OB

∴AC=BD，

故答案为：；直

（3）①将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，的两个结论成立；

理由如下：

旋转一个锐角后，

，

在和中，

延长交于E，交于，

，又

②将绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立．理由同上．

9．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在中，，，则．

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．

（1）如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为_________．

（2）如图（2），是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．

（3）当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．

【详解】

（1），

，

，

为边上的中线，

，

是等边三角形，

．

（2）．

证明：如图，连接，

都是等边三角形，

，

，

，

，

．

，

．

，

；

（3）当点D为边延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证．

10．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　   ，位置关系是　   ；

（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

【详解】

解：（1）点，是，的中点，

，，

点，是，的中点，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：，；

（2）是等腰直角三角形．

由旋转知，，

，，

，

，，

利用三角形的中位线得，，，

，

是等腰三角形，

同（1）的方法得，，

，

同（1）的方法得，，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形；

（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，

最大时，的面积最大，

且在顶点上面，

最大，

连接，，

在中，，，

，

在中，，，

，

．

方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，

最大时，面积最大，

点在的延长线上，

，

，

．

11．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，直接写出DE、AD、BE的关系为：___；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．

【详解】

（1）证明：如下图：

∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC和△CEB中，

，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）证明：在△ADC和△CEB中，

，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CECD=ADBE；
（3）DE=BEAD．
易证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CDCE=BEAD．

12．（1）（方法探索）如图，在等边中，点在内，且，，，求的长．

小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB的长．

解：把绕着点顺时针旋转得到，连接，请接着写下去：

（2）（方法应用）请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题

①如图，点在等边外，且，，，若，求度数；

②如图，在中，，，是外一点，连接、、已知，．请直接写出的长．

【详解】

解：（1）如图1中，把绕着点顺时针旋转得到△，连接，

由旋转不变性可知，，，，，

，

△为等边三角形，

，，

在△中，，，

．

（2）①如图2中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，

是等边三角形，

，，

由旋转不变性可知，，，，，

，

为等边三角形，

，

，

，，共线，

，，，

，

，

，

．

②如图3中，过点作，使得，连接，．

，都是等腰直角三角形，

，，，

，

，

，

，

过点作于，

，，

，

在中，，，，

，

，

，

在中，，

．