中考数学压轴题专项训练04和长度有关的最值含解析

和长度有关的最值

1．如图，一只螳螂在树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为，，两点的距离为，求螳螂爬行的最短距离（π取3）．

【解析】解：将圆柱形树干的侧面如图所示展开，根据两点之间线段最短，可得AB即为螳螂爬行的最短距离

AF=2π×10≈60cm，BF=45cm

∴cm

答：螳螂爬行的最短距离为75cm．

2．如图，在△中，，的平分线交于；若 ，点为边上的动点，求长度的最小值．

【解析】解：由点P是AC上的动点，要使DP的长度最小，根据点到直线垂线段最短，

∴DP⊥AC，如图所示：

∵AD平分∠BAC，∠ABC=90°，

∴BD=DP，

∵BD=3，

∴DP=3，

即DP的最小值为3．

3．如图，是边长为的等边三角形，点为下方的一动点，．

（1）若，求的长；

（2）求点到的最大距离；

（3）当线段的长度最大时，求四边形的面积．

【解析】是等边三角形，

又

;

取的中点，连接

:∠ACB=90°，AB=2,

又点为下方的一动点，

当时，点到的距离最大为

连接

为等边三角形，

.

根据三角形三边关系

即共线时，最大，

的最大长度为

此时，四边形的面积为．

4．已知抛物线与轴交于点，且．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）若，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围；

（3）点为抛物线在直线下方图象上的一动点，当面积最大时，求点的坐标．

【解析】解：（1）把代入，

即，解得：，

故抛物线的表达式为：，

=

则顶点．

（2）由（1）知抛物线的对称轴，

所以点关于对称点在抛物线上

∵∴的取值范围为

（3）令y=0,即=0，

解得x1=1,x2=3,

∴C（3,0）

将点、的坐标代入一次函数表达式：

得

解得：

∴直线的表达式为：，

过点作轴的平行线交于点，

设点，则点，

∴

则，

∵，故有最大值，此时，

故点．

5．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得PA十PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线的对称点A'，连接A'B， 则A'B与直线的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A'B．

请利用上述模型解决下列问题；

（1）如图2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA＋PE的值最小；

（2）如图3，∠AOB=30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP=5，求ΔPMN的周长的最小值．

【解析】（1）作点A关于直线BC的对称点，连接，交BC于P，

如图所示，点P即为所求；

（2）作点P关于直线OA的对称点，作点这P关于直线OB的对称点，连接，分别交OA、OB于M、N，如图：

根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为，

由轴对称的性质得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，

∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30，OP= 5，

∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2，OF=OG=5，

∴△FOG为边长为5的等边三角形，

，

答：ΔPMN的周长的最小值为．

6．如图，在平面直角坐标系中，、、，连接，点是轴上任意一点，连接，求的最小值．

【解析】解：如图，过点作的垂线，垂足为点，与轴交于点．

∵、、，

∴，．

∴为等腰直角三角形．

∴．

∴．

∵，

∴此时的值最小，最小值为的长．

∵，，

∴．

∴的最小值为．

7．如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，点，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E，．

（1）求点D的坐标；

（2）如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由；

（3）点P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形？如果存在，请求出∠OAP的度数；如果不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，

∴OC＝AB＝4，

∵∠OAC＝30°

∴AC＝2CO＝8，AO＝CO＝4，∠CAB＝60°，

∵长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，

∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°，

∴∠DAO＝30°，

如图1，过点D作DF⊥AO于F，

∵DF⊥AO，∠DAO＝30°，

∴DF＝AD＝2，AF＝DF＝2，

∴OF＝AO﹣AF＝2，

∴点D坐标（2，﹣2）；

（2）如图2，过点E作y轴的对称点G，过点E作AC的对称点H，连接GH交y轴于点N，与AC交于M，即△EMN的周长最小值为GH，

∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90°

∴AE＝，

∴OE＝，

∵点G，点E关于y轴对称，点E，点H关于AC对称，

∴点G（﹣，0），点H（，4）

∴GH＝，

∴△EMN的周长最小值为8；

（3）存在点P使得△CPQ为等腰三角形，

∵∠ACB＝∠ACD＝30°，

∴∠OCE＝30°，

①若CP＝CQ，如图3，

∵CP＝CQ，∠OCE＝30°，

∴∠CPQ＝75°，

∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°，

②若PQ＝CQ时，如图4，

∵CQ＝PQ，

∴∠QPC＝∠PCQ＝30°，

∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°；

③若CP＝PQ，如图5，

∴∠PCQ＝∠PQC＝30°，

∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°，

∴不存在这样的点P，

综上，满足条件的点P存在，并且∠OAP=15º或60º．

8．如图1，直线分别与坐标轴交于点和点，点的坐标是．点是直线上的一个动点，以为边在一侧作正方（、、、四点始终为逆时针顺序）

（1）求直线的解析式；

（2）当正方形的一个顶点恰好落在轴上时（点除外），求出对应的点的坐标；

（3）如图2，，且的两边分别交边和于、两点，连接，在点运动的过程中，当的周长最小时，直接写出对应的点的坐标和周长的最小值．

【解析】（1）设直线解析式为，

，两点在直线上，

，，

∴的解析式:

（2）正方形顶点落于轴上，且点横坐标为2，

点纵坐标为2，

将，代入中，得．

∴；

当点在轴上时，同法可得；

（3）将向左旋转得到，

，，，三点一线，

，，

在和中，

，

，

，

周长，

在点运动的过程中，的周长存在最小值．

即让最短即可，点到直线最短距离为垂线段长度，即即可，

直线的斜率，

设直线解析式为，

直线经过点，代入点坐标得，

直线解析式为，

直线与的交点为（，），

故点时，周长有最小值为8．

9．如图，在矩形ABCD中，AB=2，E为BC上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED绕点E顺时针旋转得到，A′E交AD于P， D′E交CD于Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，AED停止转动．

（1）求线段AD的长；

（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与的位置关系，并说明理由；

（3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长．

【解析】解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°，

∴AE＝＝＝，

∵∠AED＝90°，

∴∠EAD+∠ADE＝90°，

∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，

∴∠BAE+∠EAD＝90°，

∴∠BAE＝∠ADE，

∴△ABE∽△DEA，

∴，

∴，

∴AD＝5；

（2）PQ∥A′D′，理由如下：

∵，∠AED＝90°

∴＝＝2，

∵AD＝BC＝5，

∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，

过点E作EF⊥AD于点F，

则∠FEC＝90°，

∵∠A'ED'＝∠AED＝90°，

∴∠PEF＝∠CEQ，

∵∠C＝∠PFE＝90°，

∴△PEF∽△QEC，

∴，

∵，

∴，

∴PQ∥A′D′；

（3）连接EM，作MN⊥AE于N，

由（2）知PQ∥A′D′，

∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，

又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，

∴PM＝ME，

∴∠EPQ＝∠PEM，

∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′

∴∠EPF＝∠NEM，

又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，

∴△PEF∽△EMN，

∴＝为定值，

又∵EF＝AB＝2，

∴MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，

∵M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，

∴M的轨迹为△ADE的中位线，

∴线段PQ的中点M所经过的路径长＝＝．

10．如图1，点C是线段上一点，将绕点C顺时针旋转90°得到，将绕点C旋转，使点B的对应点D落在上，连，，并延长交于点F．

（1）求证：；

（2）连接，猜想，，存在的等量关系，并证明你猜想的结论．

（3）如图2，延长到，使，将线段沿直线上下平移，平移后的线段记为，若，当的值最小时，请直接写出的值．

【解析】（1）证明：∵CA=CE，CD=CB，

∴

∴

∵（对顶角相等）

∴

∴

（2），，存在的等量关系为：

过点C作于点M，作于点N

∵

∴四边形CMFN为矩形

∵，，CA=CE

∴

∴CM=CN，AM=EN

∴四边形CMFN为正方形

∴

∵AM=EN

∴

∴

（3）由题意可知，且

∵

∴，且

∴四边形为平行四边形

∴当的值最小时，即的值最小

∴点G在上运动时，

根据将军饮马模型（或轴对称的性质），若使，应作B关于的对称点，连接，则

过作于点H

∴

∴

∴设

∴，

∴

∴．

11．如图1，平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，对角线与的交点恰好在轴上，点是中点，直线交于．

（1）点的坐标为__________；

（2）如图1，在轴上有一动点，连接．请求出的最小值及相应的点的坐标；

（3）如图2，若点是直线上的一点，那么在直线上是否存在一点，使得以、、、为顶．点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）如图1中，

四边形是菱形，，

，，，

，，

，，

，

，

，，

，，，

，，

，，，，

直线的解析式为，直线的解析式为，

，

直线的解析式为，

由，解得，

．

故答案为．

（2）如图中，过点作射线，使得，点点作于，过点作于．

，，，

直线的解析式为，

，

直线的解析式为，

由，解得，

，，

，

在中，，

，

，

，

的最小值为，此时点的坐标为．

（3）如图2中，过点作交于，连接，．

是等边三角形，，

，

，，

，

，

，

四边形是平行四边形，

当点与重合时，四边形是平行四边形，此时，

根据对称性可知，当点与关于点对称时，四边形是平行四边形，此时，，

综上所述，满足条件的点的坐标为或，．

12．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上是否存在点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，若没有，说明理由；若有，求出点P，Q的坐标．

【解析】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，

∴，

解得，

∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，

（2）设H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x轴，

∴点E的纵坐标为﹣5，

∵E在抛物线上，

∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，

∴x＝0（舍）或x＝4，

∴E（4，﹣5），

∴CE＝4，

设直线BC的解析式为y=kx＋c

将B（5，0），C（0，﹣5）代入，得

解得：

∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，

∵CE∥x轴，HF∥y轴，

∴CE⊥HF，

∴S四边形CHEF＝CE•HF＝﹣2（t﹣）2+，

∵-2＜0

∴当t=时，S四边形CHEF最大，最大值为

∴H（，﹣）；

（3）如图2，四边形PQKM的周长=PM＋PQ＋QK＋KM（其中KM为定值）

∵K为抛物线的顶点，y=x2-4x-5=（x-2）2-9

∴K（2，﹣9），

∴K关于y轴的对称点K′（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在抛物线上，

∴m=16－16－5=-5

∴M（4，﹣5），

∴点M关于x轴的对称点M′（4，5），

连接K′M′，分别交x轴于点P，交y轴于点Q

∴此时PM=PM′，QK=QK′

∴此时四边形PQKM的周长=PM＋PQ＋QK＋KM= PM′＋PQ ＋QK′＋KM=M′K′＋KM，根据两点之间线段最短，此时四边形PQKM的周长最小

设直线K′M′的解析式为y＝ex＋d

将K′、M′的坐标代入，得

解得：

∴直线K′M′的解析式为y＝，

当y=0时，解得x=；当x=0时，解得y=，∴P（，0），Q（0，﹣）．