中考数学压轴题专项训练10阅读理解含解析

阅读理解

1．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：

如果，那么称点为点的“伴随点”．

例如：点的“伴随点”为点；点的“伴随点”为点．

（1）直接写出点的“伴随点”的坐标．

（2）点在函数的图象上，若其“伴随点”的纵坐标为2，求函数的解析式．

（3）点在函数的图象上，且点关于轴对称，点的“伴随点”为．若点在第一象限，且，求此时“伴随点”的横坐标．

（4）点在函数的图象上，若其“伴随点”的纵坐标的最大值为，直接写出实数的取值范围．

【解析】解：（1）点A＇的坐标为（2，1）．

（2）①当m≥0时，

m+1=2，m=1;

∴B（1，2）,

∵点B在一次函数y=kx+3图象上，

∴k+3=2，

解得：k=-1;

∴一次函数解析式为y=-x+3;

②当m＜0时，

m+1=-2，m=-3;

∴B（-3，-2）．

∵点B在一次函数y=kx+3图象上，

∴-3k+3=-2，

解得：k=，

∴一次函数解析式为y=x+3;

（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y=－x2+4的图象上，

∴点C的坐标为（n，-n2+4），

∴点D的坐标为（-n，-n2+4），D＇（-n，n2-4）;

∵CD=DD＇，

∴2n=2（-n2+4），

解得：n=;

∵点C在第一象限，

∴取，（舍）;

∴D＇的横坐标为．

（4）－2≤n≤0、1≤n≤3．

解析如下：

当左边的抛物线在上方时，如图①、图②．－2≤n≤0,

当右边的抛物线在上方时，如图③、图④．1≤n≤3;

2．阅读下列材料，然后解答问题:

在进行二次根式的化筒与计算时我们有时会遇到如:，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:；

以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．

请参照以上方法化简:

（1）

（2）

（3）

【解析】解：；

；

=

3．设是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以说函数是闭区间上的“闭函数”

（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；

（2）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求的值；

（3）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的表达式(可用含的代数式表示)．

【解析】(1)反比例函数是闭区间[1,2019]上的“闭函数”

理由如下

反比例函数在第一象限，随的增大而减小，

当时，

当时，,

即图象过点(1,2019)和(2019,1)

当时，有，符合闭函数的定义，

反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”

(2)由于二次函数的图象开口向上,对称轴为,

二次函数在闭区间[3,4]内，随的增大而增大

当时，,

当时，,

即图象过点(3,3)和(4,4)

当时，有，符合闭函数的定义，

(3)因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，

根据一次函数的图象与性质，有

①当时，即图象过点和

，解得.

②当时，即图象过点和,

解得

∴直线解析式为

综上所述，当k＞0时，直线的解析式为y＝x，当k＜0，直线的解析式为y＝−x＋m＋n．

4．阅读理解，解答下列问题：

在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即．

（1）已知点的“级牵挂点”为求点的坐标，并求出点到轴的距离；

（2）已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限；

（3）如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标；

（4）如果点的“级牵挂点”在第二象限，

①求的取值范围；

②在①中，当取最大整数时，过点作轴于点，连接，将平移得到，其中、、的对应点分别为、、，连接，直接写出四边形的面积为______．

【解析】解：（1）点的“级牵挂点”为，

，

即

且到轴的距离为

（2）点的“级牵挂点”为

设点的坐标为

解得

点的坐标为，在第一象限．

（3）点的“级牵挂点”

，

即

点在轴上

则

的坐标为

（4）①点的“级牵挂点”

，

即

点在第二象限

解得

的取值范围为

②由题意可以得到下图：

所以四边形的面积=．

故答案为．

5．定义：若两条抛物线在x轴上经过两个相同点，那么我们称这两条抛物线是“同交点抛物线”，在x轴上经过的两个相同点称为“同交点”，已知抛物线y=x2 +bx+c经过(﹣2，0)、( ﹣4，0)，且一条与它是“同交点抛物线”的抛物线y=ax2 +ex+f经过点( ﹣3，3)．

（1）求b、c及a的值；      

（2）已知抛物线y =﹣x2 +2x +3与抛物线yn=x2﹣x﹣n （n为正整数）     

①抛物线y和抛物线yn是不是“同交点抛物线”？若是，请求出它们的“同交点”，并写出它们一条相同的图像性质；若不是，请说明理由．      

②当直线y =x+ m与抛物线y、yn，相交共有4个交点时，求m的取值范围．      

③若直线y =k（k <0）与抛物线y =﹣x2 +2x +3与抛物线yn =x2﹣x﹣n  （n为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A、点B、点C、点D，当AB =BC=CD时，求出k、n之间的关系式

【解析】(1) ∵抛物线经过(–2，0)、( –4，0)，则代入得：，

解得：，，

设“同交点抛物线”的解析式为，

将(–3，3)代入得：，

解得：，

故答案为：，，；

(2)①令，则，

解得：，

∴抛物线与轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，

令，则，

解得：，

∴抛物线与轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，

∴抛物线和抛物线是“同交点抛物线”，

它们图形共同性质：对称轴同为直线；

②当直线与抛物线y相交只有1个交点时，

由，得：，

由，

解得：，

抛物线的顶点坐标为(1，)，其中为正整数，

因为随着的增大，的顶点纵坐标减小，所以当直线与抛物线中时的抛物线相交只有1个交点时，

由，得：，

由，

解得：，

如图所示：

当直线经过“同交点”时与两抛物线只有三个交点，

把“同交点”(–1，0)代入得：，

把“同交点” (3，0)代入得：，

∴当直线与抛物线、有4个交点时，m的取值范围为：

，且，；

③设直线分别与抛物线和抛物线相交于A、D、B、C，如图：

由，得：，

∵，，

∴，

由，得：，

∵，，

，

∵，

∴，

∴，

整理得：．

6．回答下列问题：

（1）已知一列数：2，6，18，54，162，…．，若将这列数的第一个数记为，第二个数记为…，第个数记为，则

（2）观察下列运算过程：

①

①得

②

②-①得

参考上面方法，求（1）中数列的前个数的和．

【解析】通过观察可发现其规律为：，

故，；

（2）根据题中已给的推导过程可得（1）中

①

①得：

②

②①得：

7．如图，平面内的两条直线、，点，在直线上，点、在直线上，过、两点分别作直线的垂线，垂足分別为，，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或，特别地线段在直线上的正投影就是线段．请依据上述定义解决如下问题：

(1)如图1，在锐角中，，，则　　；

(2)如图2，在中，，，，求的面积；

(3)如图3，在钝角中，，点在边上，，，，求

【答案】（1）2；（2）39；（3）

【解析】解：（1）如图1中，作．

，，

，

，

，

故答案为2．

（2）如图2中，作于．

，，，，

，

，，

，

，

，

，

，

．

（3）如图3中，作于，于．

，，，

，，

，，，，

，，

，，

在中，

，，，

，

，

．

8．阅读下列一段文字，然后回答下列问题：

材料 1：已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算：．

例如：已知，则这两点的距离

材料2：在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即

如图，已知，求线段的长度和中点的坐标；

若为轴上一动点，求的最小值；

已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由．

【解析】解：

解：设

作点关于轴对称点

连接

解：

为直角三角形

9．一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等.若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友谊数”，如：的“友谊数”为“”：若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：的“团结数”为

(1)若的其百位数字为，十位数字为、个位数字为，试说明M与其“友谊数”的差能被整除；

(2)若一个三位正整数，其百位数字为，十位数字为、个位数字为，且各位数字互不相等，求的“团结数”

【解析】（1）由题意得：M为，

则M的友谊数为，

因此有，

，

，

，

能被整除，

即M与其“友谊数”的差能被整除；

（2），

，

，

则N的“团结数”是．

10．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，……这样的分式是假分式；像，，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：；；

（1）分式是    分式（填“真”或“假”）

（2）将分式化为整式与真分式的和的形式

（3）如果分式的值为整数，求的整数值

【解析】解：（1）因为分子次数小于分母次数，我们称之为真分数，分式分子零次，分母1次，所以分式是真分式；

故答案为：真；

（2）=；

（3）=；

∵分式的值为整数，且x为整数，

∴x-1=±1，

∴x=2或x=0

∴x的整数值为2或0．

11．阅读理解：己知：对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2，当且仅当a = b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值．

根据以上结论，解决以下问题：

(1)拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+有最小值，最小值为____；

(2)应用：

①如图1，已知点P为双曲线y=(x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值：

②如图2，已知点Q是双曲线y=(x>0)上一点，且PQ∥x轴， 连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标．

【解析】（1）根据题意知a=时最小，又∵a>0，∴a=1，则a+=2．

（2）①设点P(x，)，（x>0）；则四边形OAPB周长为2（x+），

当x=时，x=2，此时2（x+）有最小值8，即周长最小为8，此时点P(2，2)．

②设点P(x，)，（x>0）；OP==，

OP最小，即x+最小，所以x=，即x=2，∴点P（2，2）；

由点P（2，2），即可知Q点纵坐标是2，带入y=(x>0)得点Q（4，2）；

所以由O，P，Q三点坐标，要使OPQC四点能构成平行四边形，则点C坐标为：

（-2，0）、（2，0）或（6，4）．

12．数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．

解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，

②当两个字母，中有1个正，1个负时，

③当两个字母，中有0个正，2个负时．

（1）根据小明的分析，求的值．

（2）若均不为零，且，求代数式的值．

【解析】（1）①当中有2个正，0个负时，

原式；

②当中有1个正，1个负时，

原式；

③当中有0个正，2个负时，

原式；

综上所述，的值为或0或2．

（2）∵，

∴，，，

不可能都为正或都为负，

∴．

①当中有两正一负时，

原式，

②当中有一正两负时，

原式．

综上所述的值为1或．