高考数学一轮复习第七章7.4基本不等式课时作业理含解析

这是一份高考数学一轮复习第七章7.4基本不等式课时作业理含解析，共8页。

一、选择题
1．[2021·新疆昌吉检测]若a>0，b>0，a＋2b＝3，则eq \f(3,a)＋eq \f(6,b)的最小值为( )
A．5B．6C．8D．9
2．[2021·四川模拟]已知实数a>0，b>1，a＋b＝5，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b－1)的最小值为( )
A.eq \f(3＋2\r(2),4)B.eq \f(3＋4\r(2),4)C.eq \f(3＋2\r(2),6)D.eq \f(3＋4\r(2),6)
3．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2eq \r(2xy)”的一个充分不必要条件是( )
A．x＝yB．x＝2y
C．x＝2且y＝1D．x＝y或y＝1
4．设a>0，若关于x的不等式x＋eq \f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )
A．16B．9C．4D．2
5．若实数x，y满足xy＋6x＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0A．4B．8C．16D．32
6．[2021·安徽安庆大观模拟]如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的( )
A．最小长度为8
B．最小长度为4eq \r(2)
C．最大长度为8
D．最大长度为4eq \r(2)
7．[2021·福建龙岩一模]已知x>0，y>0，且eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,2)，则x＋y的最小值为( )
A．3B．5C．7D．9
8．[2021·陕西汉中模拟]已知直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)平分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．4eq \r(2)B．3＋2eq \r(2)C．4D．6
9．[2021·云南曲靖麒麟模拟]已知y＝lg2(x2－2x＋17)的值域为[m，＋∞)，当正数a，b满足eq \f(2,3a＋b)＋eq \f(1,a＋2b)＝m时，7a＋4b的最小值为( )
A.eq \f(9,4)B．5C.eq \f(5＋2\r(2),4)D．9
10．已知点A(1,2)在直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)上，若存在满足该条件的a，b，使得不等式eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≤m2＋8m成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1]∪[9，＋∞) B．(－∞，－9]∪[1，＋∞)
C．[－1,9] D．[－9,1]
二、填空题
11．[2021·上海黄浦区模拟]已知a>0，b>0，若a＋b＝4，则a2＋b2的最小值为________．
12．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))的最小值为________．
13．[2020·江苏无锡检测]已知ab＝eq \f(1,2)，a，b∈(0,1)，则eq \f(1,1－a)＋eq \f(2,1－b)的最小值为________．
14．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m．如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________m.
[能力挑战]
15．[2021·吉林通钢一中等三校联考]在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，P为线段AB上的一点，且eq \(CP,\s\up6(→))＝x·eq \f(\(CA,\s\up6(→)),|\(CA,\s\up6(→))|)＋y·eq \f(\(CB,\s\up6(→)),|\(CB,\s\up6(→))|)，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为( )
A.eq \f(7,6)B.eq \f(7,12)C.eq \f(7,12)＋eq \f(\r(3),3)D.eq \f(7,6)＋eq \f(\r(3),3)
16．[2021·安徽合肥模拟]《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形的长为a＋b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论．如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推断正确的是( )
①由图1和图2面积相等可得d＝eq \f(ab,a＋b)；
②由AE≥AF可得eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)；
③由AD≥AE可得eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))；
④由AD≥AF可得a2＋b2≥2ab.
A．①②③④ B．①②④C．②③④D．①③
17．[2020·天津卷，14]已知a>0，b>0，且ab＝1，则eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为________．
课时作业36
1．解析：∵a>0，b>0，a＋2b＝3，∴eq \f(3,a)＋eq \f(6,b)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a)＋\f(6,b)))(a＋2b)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(6b,a)＋\f(6a,b)＋12))≥eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15＋2 \r(\f(6b,a)·\f(6a,b))))＝9，
当且仅当eq \f(6b,a)＝eq \f(6a,b)，即a＝b＝1时取等号，
所以eq \f(3,a)＋eq \f(6,b)的最小值为9.故选D.
答案：D
2．解析：因为a>0，b>1，a＋b＝5，
所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b－1)))[a＋(b－1)]×eq \f(1,4)
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3＋\f(2b－1,a)＋\f(a,b－1)))≥eq \f(1,4)(3＋2eq \r(2))，当且仅当eq \f(2b－1,a)＝eq \f(a,b－1)时取等号，所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b－1)的最小值为eq \f(3＋2\r(2),4).故选A.
答案：A
3．解析：∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2eq \r(2xy)，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2eq \r(2xy)”的充分不必要条件．故选C.
答案：C
4．解析：在(1，＋∞)上，x＋eq \f(a,x－1)＝(x－1)＋eq \f(a,x－1)＋1≥2eq \r(x－1×\f(a,x－1))＋1＝2eq \r(a)＋1(当且仅当x＝1＋eq \r(a)时取等号)．
由题意知2eq \r(a)＋1≥5，所以a≥4.
答案：C
5．解析：实数x，y满足xy＋6x＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0∴x＝eq \f(4,y＋6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))，y>0，
则eq \f(4,x)＋eq \f(1,y)＝y＋6＋eq \f(1,y)≥2＋6＝8，
当且仅当y＝1，x＝eq \f(4,7)时取等号．
∴eq \f(4,x)＋eq \f(1,y)的最小值为8.
答案：B
6．解析：设BC＝a，a>0，CD＝b，b>0，则ab＝4，所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a＋b＝2a＋eq \f(4,a)≥2eq \r(2a·\f(4,a))＝4eq \r(2)，当且仅当2a＝eq \f(4,a)，即a＝eq \r(2)时取等号，此时长度取得最小值4eq \r(2).故选B.
答案：B
7．解析：因为x>0，y>0，且eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,2)，所以x＋1＋y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x＋1)＋\f(1,y)))(x＋1＋y)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1＋\f(y,x＋1)＋\f(x＋1,y)))≥2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2 \r(\f(y,x＋1)·\f(x＋1,y))))＝8，当且仅当eq \f(y,x＋1)＝eq \f(x＋1,y)，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7.故x＋y的最小值为7，故选C.
答案：C
8．解析：由题意，圆的圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)上，∴－2a－2b＋2＝0(a>0，b>0)，∴a＋b＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(2a,b))＝3＋2eq \r(2)，当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(2a,b)，即a＝eq \r(2)－1，b＝2－eq \r(2)时取等号，故eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为3＋2eq \r(2).故选B.
答案：B
9．解析：∵y＝lg2(x2－2x＋17)＝lg2[(x－1)2＋16]的值域为[m，＋∞)，
∴m＝4，∴eq \f(4,6a＋2b)＋eq \f(1,a＋2b)＝4，
∴7a＋4b＝eq \f(1,4)[(6a＋2b)＋(a＋2b)]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,6a＋2b)＋\f(1,a＋2b)))＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5＋\f(6a＋2b,a＋2b)＋\f(4a＋2b,6a＋2b)))≥eq \f(1,4)×(5＋4)＝eq \f(9,4)，
当且仅当eq \f(6a＋2b,a＋2b)＝eq \f(4a＋2b,6a＋2b)时取等号，
∴7a＋4b的最小值为eq \f(9,4).故选A.
答案：A
10．解析：点A(1,2)在直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)上，可得a＋2b＝1，eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝5＋eq \f(2a,b)＋eq \f(2b,a)≥5＋2eq \r(\f(2a,b)·\f(2b,a))＝9，
当且仅当a＝b＝eq \f(1,3)时取得等号，即eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为9，则9≤m2＋8m，解得m≥1或m≤－9.
答案：B
11．解析：因为a>0，b>0，a＋b＝4，所以eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝4，即a2＋b2≥8，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b，,a＋b＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2))时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为8.
答案：8
12．解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a＋b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a＋b,b)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b,a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,b)))＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，取等号．
答案：9
13．解析：∵ab＝eq \f(1,2)，a，b∈(0,1)，∴b＝eq \f(1,2a)<1，∴eq \f(1,2)∴eq \f(1,1－a)＋eq \f(2,1－b)＝eq \f(1,1－a)＋eq \f(2,1－\f(1,2a))＝eq \f(1,1－a)＋eq \f(4a,2a－1)
＝eq \f(1,1－a)＋eq \f(2,2a－1)＋2＝eq \f(2,2－2a)＋eq \f(2,2a－1)＋2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2－2a)＋\f(2,2a－1)))[(2－2a)＋(2a－1)]＋2
＝6＋eq \f(22a－1,2－2a)＋eq \f(22－2a,2a－1)≥6＋4＝10，
当且仅当2－2a＝2a－1，即a＝eq \f(3,4)，b＝eq \f(2,3)时取等号，
∴原式的最小值为10.
答案：10
14．解析：设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为eq \f(4800,3x)m，
由题意可得水池总造价
f(x)＝150×eq \f(4800,3)＋120eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×3x＋2×3×\f(4800,3x)))
＝240000＋720eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1600,x)))(x>0)，
则f(x)＝720eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1600,x)))＋240000
≥720×2eq \r(x·\f(1600,x))＋240000
＝720×2×40＋240000＝297600，
当且仅当x＝eq \f(1600,x)，即x＝40时，f(x)有最小值297600，
此时另一边的长度为eq \f(4800,3x)＝40(m)，
因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160m.
答案：160
15．解析：∵CA＝3，CB＝4，即|eq \(CA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(CB,\s\up6(→))|＝4，
∴eq \(CP,\s\up6(→))＝xeq \f(\(CA,\s\up6(→)),|\(CA,\s\up6(→))|)＋yeq \f(\(CB,\s\up6(→)),|\(CB,\s\up6(→))|)＝eq \f(x,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(y,4)eq \(CB,\s\up6(→))，
∵P为线段AB上的一点，即P，A，B三点共线，
∴eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1(x>0，y>0)，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(y,4)))＝eq \f(7,12)＋eq \f(x,3y)＋eq \f(y,4x)≥eq \f(7,12)＋2eq \r(\f(1,12))＝eq \f(7,12)＋eq \f(\r(3),3)，
当且仅当eq \f(x,3y)＝eq \f(y,4x)时，等号成立，∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为eq \f(7,12)＋eq \f(\r(3),3)，故选C.
答案：C
16．解析：由题图1和题图2面积相等得ab＝(a＋b)d，可得d＝eq \f(ab,a＋b)，①对；
由题意知题图3的面积为eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋b2)·AF，则AF＝eq \f(ab,\r(a2＋b2))，AD＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋b2)，
设题图3中正方形的边长为x，由三角形相似，得eq \f(a－x,x)＝eq \f(x,b－x)，
解得x＝eq \f(ab,a＋b)，则AE＝eq \f(\r(2)ab,a＋b)，可以化简判断②③④对，故选A.
答案：A
17．解析：依题意得eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2ab)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2)＋eq \f(8,a＋b)≥2eq \r(\f(a＋b,2)×\f(8,a＋b))＝4，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,b>0，,ab＝1，,\f(a＋b,2)＝\f(8,a＋b)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝1，,a＋b＝4))时取等号．因此，eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为4.
答案：4