新高考2021届高考数学小题必练12基本初等函数
展开1．函数的单调性
（1）单调函数的定义
| 增函数 | 减函数 |
定义 | 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值 | |
当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数 | 当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数 | |
图象描述 |
自左向右看图象是上升的 |
自左向右看图象是下降的 |
（2）单调区间的定义
如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
2．函数的最值
前提 | 设函数的定义域为，如果存在实数满足 | |
条件 | （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得 | （3）对于任意的，都有； （4）存在，使得 |
结论 | 为最大值 | 为最小值 |
3．函数单调性的常用结论
（1）对在D上是增函数；
在D上是减函数．
（2）对勾函数的增区间为和，减区间为和．
（3）在区间上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
（4）函数的单调性与函数和的单调性的关系是“同增异减”．
4．函数的奇偶性
奇偶性 | 定义 | 图象特点 |
偶函数 | 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 | 关于y对称 |
奇函数 | 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 | 关于原点对称 |
5．周期性
（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．
（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个正数就叫做的最小正周期．
6．函数奇偶性常用结论
（1）如果函数是偶函数，那么．
（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（3）在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
7．函数周期性常用结论
对定义域内任一自变量的值：
（1）若，则．
（2）若，则．
（3）若，则．
1．【2020天津9】已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，转化题意为的交点，
在有一个交点，如图所示：
在与右侧相切是为临界值，此时经过计算；当时，根据图像翻折都可以．
【点睛】通过分离，再数形结合．
2．【2020北京卷14】若函数的最大值为2，则常数的一个取值为．
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【解析】法一：取最大值2时，与同时取最大值1，
此时，且，易知，
答案不唯一，可取．
法二：
，
取最大值2时，，化简得，则，
答案不唯一，可取．
【点睛】由最大值为2，只可能与同时取1，
则可以求出满足的要求．
一、单选题．
1．函数的定义域是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函数，∴，
即，解得或，
∴函数的定义域为，故选D．
2．设，，，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，∵，
又由，∴，故选C．
3．当时，函数和的图象只能是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于且，∴可得：当时，为过点的增函数，
，函数为减函数，故选B．
4．已知，，，则，，的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，，
∴，故选B．
5．已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于轴对称，
若，则实数的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵函数与互为反函数，∴函数，
∵函数的图象与的图象关于轴对称，∴函数，
∵，即，∴，故选D．
6．若，则（）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】∵，∴，，
∴，故选B．
7．已知是定义在上的奇函数，且，若，则（）
A． B．0 C．3 D．2018
【答案】C
【解析】∵为的奇函数，∴且，
又由，∴，
∴是周期为4的函数，
又，，
∴，，
∴，，
故选C．
8．已知，，，则，，的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
当，；当，，
∴函数在上增函数，在上减函数，∴，，故选C．
9．函数，若函数只一个零点，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵只有一个零点，∴与只有一个交点，
作出函数与的图像，与只有一个交点，
则，即，与只有一个交点，它们则相切，
∵，令，则，故切点为，
∴，即，
综上所述，的取值范围为，故选A．
二、多选题．
10．设函数，则（）
A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递增
C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减
【答案】AB
【解析】在上为单调递增函数，则在上为单调递减函数，
结论：增函数-减函数=增函数，所以在上为单调递增函数．
11．已知函数，则（）
A．的最小值为2 B．的图像关于中心对称
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于直线对称
【答案】BD
【解析】由于，A错误；
为奇函数，B正确；
不成立，C错误；
在定义域上恒成立，则D正确．
三、填空题．
12．已知，且，函数的图象恒过点，若在幂函数图像上，
则__________．
【答案】
【解析】∵，∴，即时，，
∴点的坐标是．
由题意令，由于图象过点，得，，
∴，，故答案为．
13．【2018北京卷理13】能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”
为假命题的一个函数是．
【答案】
【解析】函数的单调性，答案不唯一．
14．【2020全国3卷理16】关于函数有如下四个命题：
①的图像关于y轴对称；
②的图像关于原点对称；
③的图像关于直线对称；
④的最小值为2．
其中所有真命题的序号是_________．
【答案】②③
【解析】对于①，由知函数定义域为，定义域关于原点对称，
，该函数为奇函数关于原点对称，
故①错，②为正确；
对于③，由，所以关于对称，
③正确；
对于④，令，则，
∴由可知，所以无最小值，错误，
综上所述，真命题的序号是②③．
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