高中数学北师大版必修52.1等差数列测试题
展开课时分层作业(四)
(建议用时:60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.已知等差数列{an}中,a2+a4=6,则a1+a2+a3+a4+a5=( )
A.30 B.15
C.5 D.10
B [因为数列{an}为等差数列,
所以a2+a4=6=2a3,得a3=3,
所以a1+a2+a3+a4+a5=5a3=15.]
2.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程:x2+(a4+a6)x+10=0( )
A.无实根
B.有两个相等实根
C.有两个不等实根
D.不能确定有无实根
A [由于a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,
所以a5=3,方程为x2+6x+10=0,无实数解.]
3.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为
( )
A.20 B.22
C.24 D.28
C [由a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,
解得a8=24,
且a8+a12=2a10,2a10-a12=a8=24.]
4.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是( )
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
C [∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,
∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.]
5.设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )
A.1 B.2
C.4 D.6
B [由题意得a1+a2+a3=3a2=12,故a2=4,(a2-d)·a2·(a2+d)=4(4-d)(4+d)=48.因为d>0,故d=2,a1=a2-d=4-2=2.]
二、填空题
6.在等差数列{an}中,a9=8,a12≥23,则公差d的取值范围为________.
[5,+∞) [由题意得a12=a9+3d,即8+3d≥23,
解得d≥5.]
7.在等差数列{an}中,公差d=2,a1+a3+a5=27,a2+a4+a6=________.
33 [根据数列{an}为等差数列,得a1+a3+a5=3a3=27,
所以a3=9,又d=2,所以a4=11.
所以a2+a4+a6=3a4=3×11=33.]
8.若数列{an}满足2an=an+1+an-1,且a15=8,a60=20,则a75=________.
24 [因为2an=an+1+an-1,
所以数列{an}是等差数列,
故45d=a60-a15=12,即d=,
a75=a60+15d=20+15×=24.]
三、解答题
9.首项为a1,公差为d的正整数的等差数列{an}满足下列两个条件:(1)a3+a5+a7=93;
(2)满足an>100的n的最小值是15,
试求公差d和首项a1的值.
[解] 因为a3+a5+a7=93,
所以3a5=93,所以a5=31,
所以an=a5+(n-5)d>100,所以n>+5.
因为n的最小值是15,所以14≤+5<15,
所以6<d≤7 ,
又d为正整数,所以d=7,a1=a5-4d=3.
10.(1)已知{an}是等差数列,且a1-a4+a8-a12+a15=2,求a3+a13的值;
(2)已知在等差数列{an}中,若a49=80,a59=100,求a79.
[解] (1)∵{an}是等差数列,∴a1+a15=a4+a12=a3+a13=2a8.
又∵a1-a4+a8-a12+a15=2,
∴a8=2,即a3+a13=2a8=2×2=4.
(2)∵{an}是等差数列,可设公差为d.
由a59=a49+10d,知10d=100-80,解得d=2.
又∵a79=a59+20d,
∴a79=100+20×2=140.
[能力提升练]
1.数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是
( )
A.-2 B.-
C.2 D.
C [∵an+1-an=3,∴{an}为等差数列,且d=3.
a2+a4+a6=9=3a4,∴a4=3,
a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,
∴log6(a5+a7+a9)=log636=2.]
2.等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为( )
A.an=2n-5 B.an=2n-3
C.an=2n-1 D.an=2n+1
B [∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,
∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2,∴an=-1+(n-1)·2=2n-3.]
3.数列{an}满足递推关系an=3an-1+3n-1(n∈N+,n≥2),a1=5,则使得数列为等差数列的实数m的值为________.
- [a1=5,a2=3×5+32-1=23,a3=3×23+33-1=95,
依题意得,,成等差数列,
∴2·=+,∴m=-.]
4.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … |
第1行 | 1 | 2 | 3 | … |
第2行 | 2 | 4 | 6 | … |
第3行 | 3 | 6 | 9 | … |
… | … | … | … | … |
那么位于表中的第n行第n+1列的数是________.
n2+n [观察可知,第n行的数构成以n为首项,n为公差的等差数列,所以第n行第n+1列的数是n+[(n+1)-1]×n=n2+n.]
5.已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项?
[解] (1)由题意,等差数列{an}的通项公式为an=3+(n-1)(-5)=8-5n,
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项,则满足m=4n-1,n∈N+,
所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.
(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以新数列{bn}也为等差数列,
且首项为b1=-7,公差为d′=-20,
所以bn=b1+(n-1)d′=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.
(3)因为m=4n-1,n∈N+,所以当n=110时,
m=4×110-1=439,所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.
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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列当堂达标检测题: 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列当堂达标检测题,共2页。
2021学年2.2等差数列的前n项和同步测试题: 这是一份2021学年2.2等差数列的前n项和同步测试题,共5页。