高中数学人教A版必修第一册4.5.1 函数的零点与方程的解课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册4.5.1 函数的零点与方程的解课时作业含解析，共1页。


[对应学生用书P71]
知识点1 函数的零点
1．对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点与方程的根的联系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共交点．
[微思考]
函数的零点是函数与x轴的交点吗？
提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
[微体验]
1．函数y＝2x－1的零点是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．2
A [由2x－1＝0得x＝eq \f(1,2).]
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
解析 由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
答案 两
知识点2 函数零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0. 这个c也就是方程f(x)＝0的解．
[微思考]
该定理具备哪些条件？
提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
[微体验]
1．思考辨析
(1)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内仅有一个零点．( )
(2)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＞0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内没有一个零点．( )
答案 (1)× (2)×
2．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(2,3) D．(1,2)
D [由f(1)＝3－4＝－1<0，f(2)＝9－4＝5>0得f(x)的零点所在区间为(1,2)．]
[对应学生用书P71]
探究一 求函数的零点
(1)求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点.
解 (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－eq \f(1,3).
所以函数g(x)的零点为0和－eq \f(1,3).
[方法总结]
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
[跟踪训练1] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝eq \f(x－1x2－4x＋3,x－3)；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝lg3(x＋1)．
解 (1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2.
所以函数的零点为x＝－2.
(2)令eq \f(x－1x2－4x＋3,x－3)＝0，解得x＝1.
所以函数的零点为x＝1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，而4x＞0，所以方程4x＋5＝0无实数根．所以函数不存在零点．
(4)令lg3(x＋1)＝0，解得x＝0.所以函数的零点为x＝0.
探究二 判断函数零点所在区间问题
(1)函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,e)))和(3,4) D．(e，＋∞)
(2)若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(1)B [∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴在(1,2)内f(x)无零点，排除A．又f(3)＝ln 3－eq \f(2,3)＞0，∴f(2)·f(3)＜0. ∴f(x)在(2,3)内有一个零点．]
(2) C [构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，所以方程ex＋x＝2的解在区间(0,1)上．]
[方法总结]
1．确定函数零点所在区间的方法
确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．
2．判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值．
(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
[跟踪训练2] (1)使得函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x－2有零点的一个区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
C [函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，且f(2)＝ln 2－1ln e－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)>0，∴f(2)·f(3)<0.]
(2)若函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
A [f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合．]
探究三 函数零点的个数
判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解 方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg 3－2>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，
故f(x)有且只有一个零点．
方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图，如图所示．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
[变式探究] 将本例中函数解析式改为f(x)＝x－3＋ln x 呢？
解 方法一：令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝3－x.
在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示．
由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．
方法二：因为f(3)＝ln 3>0，f(2)＝－1＋ln 2＝lneq \f(2,e)<0，所以f(3)·f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋ln x在区间(2,3)内有零点．
又f(x)＝x－3＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，所以函数只有一个零点．
[方法总结]
判断函数零点个数的方法
方法一：直接求出函数的零点进行判断；
方法二：结合函数图象进行判断；
方法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．
[对应学生用书P73]
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点
(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种
(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．
4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题求解，这正是函数与方程思想的基础．
课时作业(二十九) 函数的零点与方程的解
[见课时作业(二十九)P172]
1．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1
C．a≤1 D．a≥1
B [由题意知，Δ＝4－4a＜0，∴a＞1.]
2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
D [∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
B [由表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0.
∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点．]
4．已知x0是函数f(x)＝2x－ eq lg\s\d8(\f(1,3)) x的零点，若0A．f(x1)>0
B．f(x1)<0
C．f(x1)＝0
D．f(x1)>0与f(x1)<0均有可能
B [由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x1)5．已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－lg2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
C [方法一：对于函数f(x)＝eq \f(6,x)－lg2x，因为f(2)＝2＞0，f(4)＝－0.5＜0，根据零点的存在性定理知选C．
方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)＝eq \f(6,x)与g(x)＝lg2x的大致图象，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2,4)．]
6．函数f(x)＝eq \f(x2－4,x－2)的零点是________．
解析 由f(x)＝eq \f(x＋2x－2,x－2)＝x＋2＝0，解得x＝－2，所以f(x)的零点是－2.
答案 －2
7．方程lg x＋x－1＝0有________个实数根．
解析 由原方程得lg x＝－x＋1，问题转化为函数y＝lg x的图象与函数y＝－x＋1的图象交点的个数．作出相应函数的图象，如图．由图可知，有一个交点，故原方程有且仅有一个根．
答案 1
8．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析 函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.
答案 (1，＋∞)
9．已知函数f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求函数f(x)的零点．
解 (1)要使函数有意义，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＞0，,x＋3＞0，))
解得－3所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为f(x)＝lga[(1－x)(x＋3)]＝lga(－x2－2x＋3)，由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，
即x2＋2x－2＝0，解得x＝－1±eq \r(3).
因为－1±eq \r(3)∈(－3,1)，所以f(x)的零点是－1±eq \r(3).
10．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点？
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，
即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜eq \f(4,3).
由Δ＝0，可解得m＝eq \f(4,3)；
由Δ＜0，可解得m＞eq \f(4,3).
故当m＜eq \f(4,3)时，函数有两个零点；
当m＝eq \f(4,3)时，函数有一个零点；
当m＞eq \f(4,3)时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，所以有1－m＝0，解得m＝1.
1．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a<αC．αC [因为α，β是函数f(x)的两个零点，所以f(α)＝f(β)＝0.
又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图象，如图所示．
可知a，b必在α，β之间．]
2．若函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
B [依据给出的函数性质，易知f(－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f(x)有两个零点．
]
3．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k, k＋1)，k∈Z，则k＝________.
解析 令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，因为f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0. 所以f(x)在(2,3)内有解，所以k＝2.
答案 2
4．(拓广探索)已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．
解 (1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，
∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－3＝k－2，,－1×－3＝k2＋3k＋5，))解得k＝－2.
(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β＝k－2，,αβ＝k2＋3k＋5，,Δ＝k－22－4k2＋3k＋5≥0.))
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α2＋β2＝α＋β2－2αβ＝－k2－10k－6，,－4≤k≤－\f(4,3)，))
∴α2＋β2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，－\f(4,3)))上的最大值是18，
最小值是eq \f(50,9)，
即α2＋β2的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(50,9)， 18)).
课程标准
核心素养
1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．
2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.
通过对函数的零点与方程的解的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6