高中数学北师大版必修26.1垂直关系的判定教案设计

这是一份高中数学北师大版必修26.1垂直关系的判定教案设计，共8页。教案主要包含了新知探究，当堂检测，小结归纳等内容，欢迎下载使用。

教学目标：
知识与技能：了解、感受直线与平面垂直的定义；理解线面垂直判定定理。
过程与方法：亲身经历直观感知，操作，探究归纳的数学活动过程，学习“空间问题转化为平面问题”、“无限转化为有限”的化归思想方法，发展合情推理能力。
情感态度与价值观：体会从现实生活的经历与体验出发来学习数学，感受学习数学的乐趣，形成主动学习的态度。
教学重点：线面垂直的定义和判定定理的理解。
教学难点：线面垂直的判定定理的探究过程。
教学方法：采用“引导——探究式”教学方法，教学过程突出“问”、“动”两方面。
教学手段： PPT、实物。
教学过程：
问题导入
前面我们全面分析了直线与平面平行的概念、判定和性质，直线和平面还有什么位置关系？直线和平面的特殊相交位置关系如何判断？（板书：直线与平面垂直的判定）
二、新知探究
（一）直线与平面垂直的定义
（1）通过结合生活中的几个例子（旗杆，高楼，电视塔，桥柱），让学生感知线面垂直这种位置关系。
（2）提出问题，并让学生思考、讨论。注重引导学生从实际背景“观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子”出发分析、归纳直线与平面垂直的定义。（结合多媒体动画演示）
①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？
师：请同学们看大屏幕上的几张图片，感受下生活中一些垂直的美。
师：桥柱与水面……大厦与地面……电视塔与地面……旗杆与地面……
师：我们把大厦、电视塔、桥柱、旗杆看成直线，地面和水面看成平面，看着这样一对对的垂直关系，大家想一下：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系呢？
师：下面我们具体看旗杆这个实例，观察直立于地面的旗杆与它在地面上的影子有什么位置关系……
②观察旗杆与它在地面上影子的位置变化。
先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。再展示动画2使学生明确旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线l也垂直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。
③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。
师：旗杆和它的影子有什么位置关系呢？
生：垂直。
……
师：旗杆会不会跟地面内的所有直线都垂直呢？
生：。。。
师：由刚刚的结论，也就是要说旗杆与地面内不过B点的直线也都垂直吗？
生：应该垂直
师：不过B点的直线可以通过平移到B点，故也与旗杆垂直。
师：由此，我们可以这样定义直线与平面垂直的定义（板书）——
（3）给出定义
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α. 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
师：学习这个定义我们要注意的是什么呢？（关键点是什么？）我们先来看两个辨析题——
（4）辨析（完成下列练习）：
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。
②若a⊥α,bα，则a⊥b。
注：在辨析问题中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：
（即：线面垂直线线垂直）
关键点是：(1)任意 (2)都垂直
（二）、直线与平面垂直的判定定理的探究
1、思考辨别——猜想定理
师：到此，我们已经学习了直线与平面垂直的定义，我们来看这样一个问题
提出问题：学校广场上树了一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好办法？
师：显然根据定义判断很有困难甚至不可能，那么有没有什么方便可行的方法来判定直线与平面垂直呢？
师：大家回想一下直线与平面平行的判定定理是怎么说的？
生1：平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与此平面平行。
师：类比线面平行判定定理，我们从简单出发，是否有：
（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线垂直，能不能保证该直线垂直于此平面？
b
即：（这是不成立的）
生：不能
师：为什么不能，可以举出一个反例吗？
（反例：如拿一支笔垂直于书脊，但不垂直于书面）
师：既然一条直线不行，那么我们增加一条直线——
（2）和一个平面内的两条直线垂直呢？（分两种情况）
①两条直线平行的情况不行!
b
c
即：（这是不成立的）
②平面内两条直线相交的情况呢？
b
c
P
生：找不到反例！
进而教师提出猜想：“是不是一条直线垂直于平面内的两条相交直线，此直线就垂直于该平面呢？”
师：下面我们通过一个折纸实验来探究一下——
2、动手实验——探究定理
折纸实验：过△ABC 的顶点A 做BC边上的高，垂足为D，沿AD翻折纸片，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC 与桌面始终接触且不在同一直线上），进行观察并思考：
折痕AD始终与桌面垂直吗？
（1）分析：根据我们刚才的猜想以及动手
（如图），学生初步感知这种情况下AD与桌面始终是垂直的（展示：以折痕为轴，无论怎么转动纸片，AD都是与桌面垂直的）
注：①这里是直观感知垂直②说明没有翻折，也就是BD与DC共线时是AD与一条直线垂直的情况，这里不做考虑。
D
A
B
D
B
A
C
C
α
师：为什么折痕与桌面是垂直的呢？怎么来说明折痕与桌面是垂直的呢？
通过观察实例感知
（3）由此能够得出什么结论呢？
给出定理——
3、剖析定理——深化理解
直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与平面垂直。
（1）强调“两条”、“相交”缺一不可，并结合前面“检验旗杆与地面垂直”问题再进行确认。
师：这个定理是不是有点长呢？为了方便记忆，我们给它简记为——
（2）简记法：线线垂直线面垂直
（解释该简记法各要素的含义）
（这里指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。）
师：在数学中我们往往是应用图形和符号的，下面我们将这个定理用图形语言和符号语言表述：
（3）图形语言：
b
c
P
师：这里我给出了图形语言，请看大屏幕，下面我们一起来归纳符号语言——
符号语言：
（4）如何严格证明此定理？
师：大家回过头来看一下，这个定理我们只是通过动手实验和直观感知来说明而已，还没有经过严谨的证明，这里我们不深究，请有兴趣的同学下课后自己去思考如何严格证明这个定理，当做选做作业。
三、当堂检测
1、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

学生根据题意画图，将其转化为几何命题：不妨设
请二位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，同时指出：这为证明“线线垂直”提供了一种方法。
2、尝试练习：如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。

此题有一定难度，教师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法。
八、小结归纳
1、知识点：
（1）线面垂直的定义（注意：任意）
（2）线面垂直的判定定理（注意：两条、相交）
2、理解定理的关键：要证线面垂直，只需证线线垂直！
3、数学思想：转化思想
空间→平面（线面垂直→ 线线垂直）
无限→有限（任意→ 两条相交）
（通过对知识、方法、数学思想三方面的小结，既使本节课所学内容系统化，又使学生了解到数学思想在解题中的地位和作用。）
布置作业：
1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是ABCD的中心，（1）若E、F分别是棱AB、BC的中点，求证：EF⊥平面BB1O；（2）若P是棱DD1的中点，求证B1O⊥平面PAC。
2、探究：如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形？由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？
P
C
O
B
A
3、如何检验旗杆与地面是否垂直？
4、（选做）严格证明线面垂直的判定定理。
板书设计：
直线与平面垂直的判定
定义
关键点
图形
符号语言
判定定理
（1）文字语言
（2）图形语言
（3）符号语言
（4）注意点
三、例题