北师大版 (2019)必修 第二册2.2 向量的减法学案

2．2　向量的减法

知识点1　相反向量

知识点2　向量减法

(1)定义

向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．

(2)几何意义

如图，设＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．

向量的减法可以转化为向量的加法来运算吗？

[提示]　因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算．

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)＝－；  (　　)

(2)相反向量是共线向量；  (　　)

(3)a－b的相反向量是b－a；  (　　)

(4)|a－b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.  (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

2.－＋＋＝(　　)

A．    B．    C．    D．

[答案]　B

类型1　向量减法的几何作图

【例1】　(教材北师版P84例4改编)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

[解]　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.

利用向量减法进行几何作图的方法

(1)已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，则＝a－b.,

(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝－b，则，即＝a－b.

1.如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作：

(1)向量b＋c－a；

(2)向量a－b－c.

[解]　(1)以，为邻边作▱OBDC，如图，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.

(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.

类型2　向量减法的运算

【例2】　化简下列式子：

(1)－－－；

(2)(－)－(－).

[解]　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.

(2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.

化简向量的和差的方法

(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号．

(2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．

(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点．

提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．

2．化简：(1)(－)－(－)；

(2)(＋＋)－(－－).

[解]　(1)(－)－(－)＝－＝.

(2)(＋＋)－(－－)

＝＋－＋(＋)＝＋－＋

＝－＋＝＋＋＝＋＝0.

类型3　向量加减法的综合应用

【例3】　(1)已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则|a－b|＝________．

(2)(教材北师版P85例6改编)已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.

(1)　[(1)设＝a，＝b，＝a＋b，则四边形ABCD是平行四边形．

又∵()2＝12＋22，

∴平行四边形ABCD为矩形，

∴|a－b|＝＝||＝.]

(2)[解]　

如图所示：

＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋c－b.

用已知向量表示未知向量的方法

用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可．

3．设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|.试判断四边形ABCD的形状．

[解]　由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，即－＝－，

∴＝，于是AB与CD平行且相等，

∴四边形ABCD为平行四边形．

又|a－b|＝|a－d|，从而|－|＝|－|，

∴||＝||，∴四边形ABCD为菱形．

1．在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)

A．a＋b　　 B．a－b

C．b－a     D．－a－b

C　[＝－＝b－a.]

2．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A．a－b＋c

B．b－(a＋c)

C．a＋b＋c

D．b－a＋c

[答案]　A

3．(多选题)下列四个式子中可以化简为的是(　　)

A．＋－   B．－

C．＋     D．－.

AD　[因为＋－＝－＝＋＝，所以A正确；因为－＝，所以D正确，故选AD.]

4．设正方形ABCD的边长为2，则|－＋－|＝________．

4　[如图，原式＝|(＋)－(＋)|＝|－|＝|＋|＝2||，

∵正方形边长为2，

∴2||＝4.]

5．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)

垂直　[如图所示，设＝a，＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形，

则|a＋b|＝||，

|a－b|＝||，

又|a＋b|＝|a－b|，

则||＝||，

即平行四边形OACB的对角线相等，

∴平行四边形OACB是矩形，

∴a⊥b.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.向量减法的实质是什么？

[提示]　向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．

2.在用三角形法则作向量减法时，应注意什么问题？

[提示]　在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.