高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.1 命题、定理、定义教学设计

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形式化、符号化，是数学的重要特征，如所有的函数关系都可以用y＝f(x)这个等式来表示，不仅简单，而且也可加深对函数概念本质的理解．数学的发展引起了计算工具的改革和进步，反过来，计算工具的广泛应用，又促进了数学的发展．因此学好函数的表示方法，是学好函数的基础，
1.教学重点：函数的三种表示法
2.教学难点：求函数的解析式
1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
答案 D
2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )
答案 C
3．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值、最小值．
解 y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，ymin＝－5.
函数的表示方法
(1)解析法：就是用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．这个等式叫做函数解析式．
(2)列表法：就是用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．
(3)图象法：就是用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．
典例剖析
类型一 解析式的求法
例1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝2，,ab＋b＝－1，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,b＝1－\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\r(2)，,b＝1＋\r(2).))
∴所求函数解析式为
f(x)＝eq \r(2)x＋1－eq \r(2)或f(x)＝－eq \r(2)x＋1＋eq \r(2).
(2)f(2x＋1)＝6x＋5；
解 方法一 设2x＋1＝t，则x＝eq \f(t－1,2)，
∴f(t)＝6·eq \f(t－1,2)＋5＝3t＋2.
∴f(x)＝3x＋2.
方法二 f(2x＋1)＝6x＋5＝3(2x＋1)＋2，
∴f(x)＝3x＋2.
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
解 ∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝eq \f(1,3)x2－2x.
总结 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．
(3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)，f(－x)的方程，然后利用消元法消去f(－x)．
变式训练 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,3a＋2b＝9，))
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
解 方法一 设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
方法二 f(x＋1)＝(x＋1－1)2＋4(x＋1－1)＋1
＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2，
∴f(x)＝x2＋2x－2.
(3)2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝x(x≠0)．
解 ∵f(x)＋2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，将原式中的x与eq \f(1,x)互换，
得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq \f(1,x).
于是得关于f(x)的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＋2f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，,f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2fx＝\f(1,x)，))
解得f(x)＝eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)(x≠0)．
类型二 函数的画法及应用
例2 已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
变式训练：函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，
f(x)与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1总结 函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
类型三 列表法表示函数及应用
例3 若函数f(x)如下表所示：
(1)求f(f(1))的值；
(2)若f(f(x))＝1，求x的值．
解 (1)∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.
(2)设f(x)＝t，由表知，当f(t)＝1时，对应的t＝2，
即f(x)＝2，再由表求得当且仅当x＝0或1时，f(x)＝2.
∴x＝0或x＝1.
变式训练：已知函数f(x)由下表给出，求满足f(f(x))>f(3)的x的值.
解 ∵f(3)＝1.
当f(f(x))>1时，f(x)＝1或2.
当f(x)＝1时，x＝3.
当f(x)＝2时，x＝1.
∴满足条件的x的值为1或3.
总结 列表法能直接地表示x的值与对应y的值，解题时要充分利用这个特点给x求y或给y求x.
本节内容我们要做到理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．尤其对于方程组法求解析式这种抽象问题，可以先从具体的数值引入，比如求f（2）。课程目标
学科素养
1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.
2.掌握求函数解析式的常见方法.
3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．
a数学抽象：换元法、方程组法求函数解析式
b数据分析：从图象上获取有用的信息
c数学运算：求函数解析式的运算
x
0
1
2
3
f(x)
2
2
1
0
x
1
2
3
f(x)
2
3
1