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2020-2021学年江西省上饶市高二（上）12月检测数学试卷北师大版
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这是一份2020-2021学年江西省上饶市高二（上）12月检测数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 关于x的不等式1−x2x+6≥0的解集是（ ）
A.x|x≤1B.x|x≥−3C.x|−3
2. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S4=−4,S6=6，则S5=（ ）
A.0B.1C.−2D.4
3. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=6，A=60∘，B=45∘，则b等于( )
A.2B.2C.22D.4
4. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，⋯，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（ ）
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
A.36B.16C.11D.14
5. 已知一个回归方程y=3−5x，则变量x增加一个单位时( )
A.y平均增加3个单位B.y平均减少5个单位
C.y平均增加5个单位D.y平均减少3个单位
6. 为抗击新冠肺炎疫情，全国各地的医护人员纷纷请战支援武汉，某医院要从第一时间请战的5名医护人员中随机选派3名支援武汉，已知这5名医护人员中有一对夫妻，则这对夫妻恰有一人被选中的概率为（ ）
A.310B.25C.35D.710
7. 设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10:S5=1:2，则S15:S5=( )
A.3:4B.2:3C.1:2D.1:3
8. 设x,y满足约束条件 3x−y−2≤0,x−y≥0,x≥0,y≥0, 若目标函数z=ax+bya>0,b>0的最大值为2，则1a+1b的最小值为（ ）
A.2B.83C.4D.256
9. 上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时∼14时，14时∼15时，…，20时∼21时八个时段中，入园人数最多的时段是( )
A.13时∼14时B.16时∼17时C.18时∼19时D.19时∼20时
10. 如图所示的程序框图的算符源于我国古代的“中国剩余定理”，用N=nmdm表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如： 7=1md3，执行该程序框图，则输出的n的值为（ ）
A.19B.20C.21D.22
11. 若x>0，y>0，且x+y≤ax+y恒成立，则a的最小值是（ ）
A.1B.2C.2D.22
12. 已知数列an满足a1=1,a2n=a2n−1+−1n,a2n+1=a2n+3nn∈N∗,则数列an的前2017项的和为（ ）
A.31003−2005B.32016−2017C.31008−2017D.31009−2018
二、填空题
折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段．已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也是正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________.
三、解答题
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2A+32=2csA.
(1)求角A的大小；
(2)若a=4，且sinB+sinC=738，求△ABC的面积．
某校举行的数学知识竞赛中，将参赛学生的成绩在进行整理后分成5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组．已知第三小组的频数是15．
(1)求成绩在50−70分的频率是多少；
(2)求这次参赛学生的总人数是多少；
(3)求这次数学竞赛成绩的平均分的近似值．
等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N∗，点n,Sn均在函数y=2x+r （r为常数）的图象上．
(1)求r的值；
(2)记bn=nan，求数列bn的前n项和Tn.
(1)对一切正整数n，不等式2x−1x>nn+1恒成立，求实数x的取值范围构成的集合；
(2)已知x,y都是正实数，且x+y−3xy+5=0，求xy的最小值及相应的x，y的取值．
如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=34π，AB⊥AD，AB=1．
(1)若AC=5，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC=π6，CD=4，求sin∠CAD．
已知数列an中， a1=1，a2=3，其前n项和为Sn，且{Sn}为等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=9anan+3an+1+3，记数列bn的前n项和为Tn．设λ是整数，问是否存在正整数n，使等式Tn+3λ5an+1=78成立？若存在，求出n和相应的λ值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高二（上）12月检测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
分式不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1−x2x+6≥0等价于不等式2x−1x+3≤0且2x+6≠0，
解得−3故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
根据等差数列的前π项和公式求出a1和d，进而可求出S5
【解答】
解：由题可知， S4=−4, S6=6，
则S4=4a1+6d=−4，S6=6a1+15d=6，
解得： a1=−4，d=2，
所以S5=5a1+10d=5×−4+10×2=0.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
根据正弦定理求解即可．
【解答】
解：由正弦定理得 asinA=bsinB，
∴ b=a⋅sinBsinA
=6×2232=2.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
简单随机抽样
【解析】
本题考查了随机数表的读法，注意对于重复数字只读一次，属于基础题．
【解答】
解：从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，
重复的数字只读一次，
读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11.
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
回归分析
【解析】
回归方程 y=3−5x，变量x增加一个单位时，变量 y平均变化[3−5(x+1)]−(3−5x)，及变量 y平均减少5个单位，得到结果．
【解答】
解：∵ −5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y平均减少5个单位．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
本题主要考查古典概型，用列举法不基本事件一一列举出来为解题关键，属于简单题．
【解答】
解：记1，2表示夫妻二人，a，b，c表示其他的3人，
则从5人中选出3人的基本事件有：
1,2,a ，1,2,b， 1,2,c， 1,a,b,
1,a,c ,1,b,c,2,a,b,2,a,c ,2,b,c, a,b,c
共10个基本事件．
其中恰有夫妻中一人的有1,a,b, 1,a,c ,
1,b,c,2,a,b,2,a,c,2,b,c共6个基本事件，
故所求概率P=610=35.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
等比数列的性质
【解析】
本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10:S5=1:2，可得出(S10−S5)：S5=1:1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项
【解答】
解：∵ 等比数列{an}的前n项和为Sn，
若S10:S5=1:2，
∴ (S10−S5)：S5=−1:2，
由等比数列的性质得：
(S15−S10)：(S10−S5)：S5=1：(−2)：4，
所以S15:S5=3:4.
故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得．
【解答】
解：作出不等式组表示的可行域如下图所示．
因为a>0,b>0，所以当x，y均取最大值时z取最大值，
即直线z=ax+by过点A1,1时，z取最大值，
即zmax=a+b=2.
所以1a+1b=12×a+b1a+1b
=122+ba+ab≥122+2ba×ab=2,
当且仅当a=b=1时等号成立.
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可
【解答】
解：结合函数的图象可知，在13时∼14时，14时∼15时，…，20时∼21时八个时段中，
图象变化最快的为16时到17时之间.
故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
【解答】
解：执行程序框图： n=16，除以3余2，否，除以5余2，否；
n=17，除以3余2，是；
n=18，除以3余2，否，除以5余2，否；
n=19，除以3余2，否，除以5余2，否；
n=20，除以3余2，是；
n=21，除以3余2，否，除以5余2，否；
n=22，除以3余2，否，除以5余2，是；
则输出22.
故选D．
11.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
不等式恒成立问题
【解析】
运用参数分离可得a≥x+yx+y恒成立，由不等式(a+b2)2≤a2+b22，即可得到a的最小值．
【解答】
解：分离参数得x+yx+y≤a恒成立，两边平方得1+2xyx+y≤a2，
而1+2xyx+y≤1+x+yx+y=2，当且仅当x=y时等号成立，
所以a≥2.
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
【解答】
解：由题设归纳可得：a2n−1=12−1n−1+32⋅3n−1−1，
a2n=32⋅3n−1−12−1n−1−1,
前2017项中奇数项和为S1=12−10+−11+⋯+−11008+321+3+⋯+31008−1009=3×31009−34−1009，
偶数项和为S2=−12−10+−11+...+−11007
+321+3+...+31007−1008
=12+3×31008−34−1008，
故该数列前2017项和为S1+S2=3×31009−34+3×31008−34
+12−2017=31009−2018.
故选D．
二、填空题
【答案】
13
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设AB=2，则BG=1，AG=5，
故多边形AEFGHID的面积S=5×5×2+12×2×2=12；
阴影部分为两个对称的三角形，
其中∠EAB=90∘−∠GAB，
故阴影部分面积
S′=2×12AE⋅AB⋅sin∠EAB
=2×12AE⋅AB⋅cs∠GAB=2×12×2×5×255=4，
故所求概率P=13．
故答案为：13.
三、解答题
【答案】
解:1因为cs2A+32=2csA，
所以2cs2A−1+32=2csA,
解得csA=12,
因为0所以A=π3.
2因为sinB+sinC=738，
所以sinB+sinC=74sinA,
由正弦定理得b+c=74a,
所以b+c=7,
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b+c2−2bc−2bccsA,
所以bc=11,
所以S△ABC=12bcsinA=1134.
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的余弦公式
正弦定理
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
解:1因为cs2A+32=2csA，
所以2cs2A−1+32=2csA,
解得csA=12,
因为0所以A=π3.
【解答】
解:1因为cs2A+32=2csA，
所以2cs2A−1+32=2csA,
解得csA=12,
因为0所以A=π3.
2因为sinB+sinC=738，
所以sinB+sinC=74sinA,
由正弦定理得b+c=74a,
所以b+c=7,
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b+c2−2bc−2bccsA,
所以bc=11,
所以S△ABC=12bcsinA=1134.
【答案】
解：(1)成绩在50−70分的频率为：
(0.030+0.040)×10=0.7.
(2)∵ 第三小组的频数是15，频率为0.015×10=0.15，
∴ 这次参赛学生的总人数是150.15=100.
(3)这次数学竞赛成绩的平均分的近似值为：
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67．
【考点】
频率分布直方图
频数与频率
众数、中位数、平均数
【解析】
(1)根据频率分布直方图计算成绩在50−70分的频率值；
(2)根据频数、频率与样本容量的关系求出这次参赛学生的总人数；
(3)利用频率分布直方图估计这次数据的平均值．
【解答】
解：(1)成绩在50−70分的频率为：
(0.030+0.040)×10=0.7.
(2)∵ 第三小组的频数是15，频率为0.015×10=0.15，
∴ 这次参赛学生的总人数是150.15=100.
(3)这次数学竞赛成绩的平均分的近似值为：
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67．
【答案】
解：(1)由题意， Sn=2n+r，
所以a1=2+r，
a2=4+r−a1=2，
a3=S3−S2=4，
故q=2，
所以2=22+r，
解得r=−1.
(2)由(1)得an=2n−1，故bn=n2n−1，
所以Tn=1×1+2×21+3×22+⋯+n2n−1，
2Tn= 1×2+2×22+3×23+⋯+n2n，
所以−Tn=1+2+⋯+2n−1−n2n=2n−1−n2n，
故Tn=n−12n+1.
【考点】
数列与函数的综合
等比数列的性质
数列的求和
【解析】
(1)求出a1,a2,a3后再求出公比q=2，求利用qa1=a2可求r.
(2)利用错位相减法可Tn．
【解答】
解：(1)由题意， Sn=2n+r，
所以a1=2+r，
a2=4+r−a1=2，
a3=S3−S2=4，
故q=2，
所以2=22+r，
解得r=−1.
(2)由(1)得an=2n−1，故bn=n2n−1，
所以Tn=1×1+2×21+3×22+⋯+n2n−1，
2Tn= 1×2+2×22+3×23+⋯+n2n，
所以−Tn=1+2+⋯+2n−1−n2n=2n−1−n2n，
故Tn=n−12n+1.
【答案】
解：(1)由nn+1=1−1n+1<1，
由题意知2x−1x≥1，即x−1x≥0，
解得x<0或x≥1，
∴ x的取值范围构成的集合为： {x|x<0或x≥1}.
(2)由x+y−3xy+5=0，得x+y+5=3xy，
∴ 2xy+5≤x+y+5=3xy，3xy−2xy−5≥0，
∴ xy+13xy−5≥0，
∴ xy≥53，即xy≥259，
等号成立的条件是x=y，此时x=y=53，故xy的最小值是259.
【考点】
不等式恒成立问题
分式不等式的解法
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
【解答】
解：(1)由nn+1=1−1n+1<1，
由题意知2x−1x≥1，即x−1x≥0，
解得x<0或x≥1，
∴ x的取值范围构成的集合为： {x|x<0或x≥1}.
(2)由x+y−3xy+5=0，得x+y+5=3xy，
∴ 2xy+5≤x+y+5=3xy，3xy−2xy−5≥0，
∴ xy+13xy−5≥0，
∴ xy≥53，即xy≥259，
等号成立的条件是x=y，此时x=y=53，故xy的最小值是259.
【答案】
解：(1)在△ABC中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cs∠ABC，
∴ 5=1+BC2+2BC，
解得BC=2或BC=−22（舍），
∴ S△ABC=12⋅AB⋅BC⋅sin∠ABC
=12×1×2×22
=12．
(2)设∠CAD=θ，
在△ACD中，由正弦定理得：ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，
∴ AC12=4sinθ，解得AC=2sinθ，
在△ACB中，∠BAC=π2−θ，∠BCA=θ−π4，
则ACsin∠ABC=ABsin∠BCA，
即ACsin3π4=1sin(θ−π4)，
∴ AC=22sin(θ−π4)，
∴ 2sinθ=22sin(θ−π4)，
即4(22sinθ−22csθ)=2sinθ，
整理，得：sinθ=2csθ，
联立sinθ=2csθ，sin2θ+cs2θ=1，
解得sinθ=255，
∴ sin∠CAD=255．
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面积．
（2）设∠CAD=θ，由正弦定理得AC12=4sinθ，从而AC=2sinθ，由∠BAC=π2−θ，∠BCA=θ−π4，得ACsin3π4=1sin(θ−π4)，AC=22sin(θ−π4)，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．
【解答】
解：(1)在△ABC中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cs∠ABC，
∴ 5=1+BC2+2BC，
解得BC=2或BC=−22（舍），
∴ S△ABC=12⋅AB⋅BC⋅sin∠ABC
=12×1×2×22
=12．
(2)设∠CAD=θ，
在△ACD中，由正弦定理得：ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，
∴ AC12=4sinθ，解得AC=2sinθ，
在△ACB中，∠BAC=π2−θ，∠BCA=θ−π4，
则ACsin∠ABC=ABsin∠BCA，
即ACsin3π4=1sin(θ−π4)，
∴ AC=22sin(θ−π4)，
∴ 2sinθ=22sin(θ−π4)，
即4(22sinθ−22csθ)=2sinθ，
整理，得：sinθ=2csθ，
联立sinθ=2csθ，sin2θ+cs2θ=1，
解得sinθ=255，
∴ sin∠CAD=255．
【答案】
解：(1)由题意可得： S1=a1=1,S2=a1+a2=4，
结合题意可知： Sn=4n−1，
故： an=1，n=1,3×4n−2，n≥2.
(2)当n≥2时，
bn=9anan+3an+1+3
=9×3×4n−23×4n−2+33×4n−1+3
=3×4n−24n−2+14n−1+1
=14n−2+1−14n−1+1．
而b1=9a1a1+3a2+3=38，
因此，当n=1时， T1=b1=38，
从而等式Tn+3λ5an+1=78即为38+λ5=78，
解得λ=52，它不是整数，不符合题意．
当n≥2时， Tn=b1+b2+⋯+bn
=38+142−2+1−142−1+1+…+14n−2+1−14n−1+1
=78−14n−1+1，
则等式Tn+3λ5an+1=78即为78−14n−1+1+λ5×4n−1=78，
解得λ=5−54n−1+1.
由λ是整数，得4n−1+1是5的因数．
而当且仅当n=2时， 54n−1+1是整数，因此λ=4.
综上所述，当且仅当λ=4时，存在正整数n=2，使等式Tn+3λ5an+1=78成立．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
(1)首先求得前n项和，然后利用通项公式与前n项和的公式即可确定数列的通项公式.
(2)首先求得数列bn的通项公式，然后分类讨论n=1和n≥2两种情况即可确定n和相应的λ值是否存在．
【解答】
解：(1)由题意可得： S1=a1=1,S2=a1+a2=4，
结合题意可知： Sn=4n−1，
故： an=1，n=1,3×4n−2，n≥2.
(2)当n≥2时，
bn=9anan+3an+1+3
=9×3×4n−23×4n−2+33×4n−1+3
=3×4n−24n−2+14n−1+1
=14n−2+1−14n−1+1．
而b1=9a1a1+3a2+3=38，
因此，当n=1时， T1=b1=38，
从而等式Tn+3λ5an+1=78即为38+λ5=78，
解得λ=52，它不是整数，不符合题意．
当n≥2时， Tn=b1+b2+⋯+bn
=38+142−2+1−142−1+1+…+14n−2+1−14n−1+1
=78−14n−1+1，
则等式Tn+3λ5an+1=78即为78−14n−1+1+λ5×4n−1=78，
解得λ=5−54n−1+1.
由λ是整数，得4n−1+1是5的因数．
而当且仅当n=2时， 54n−1+1是整数，因此λ=4.
综上所述，当且仅当λ=4时，存在正整数n=2，使等式Tn+3λ5an+1=78成立．
1. 关于x的不等式1−x2x+6≥0的解集是（ ）
A.x|x≤1B.x|x≥−3C.x|−3
2. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S4=−4,S6=6，则S5=（ ）
A.0B.1C.−2D.4
3. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=6，A=60∘，B=45∘，则b等于( )
A.2B.2C.22D.4
4. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，⋯，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（ ）
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
A.36B.16C.11D.14
5. 已知一个回归方程y=3−5x，则变量x增加一个单位时( )
A.y平均增加3个单位B.y平均减少5个单位
C.y平均增加5个单位D.y平均减少3个单位
6. 为抗击新冠肺炎疫情，全国各地的医护人员纷纷请战支援武汉，某医院要从第一时间请战的5名医护人员中随机选派3名支援武汉，已知这5名医护人员中有一对夫妻，则这对夫妻恰有一人被选中的概率为（ ）
A.310B.25C.35D.710
7. 设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10:S5=1:2，则S15:S5=( )
A.3:4B.2:3C.1:2D.1:3
8. 设x,y满足约束条件 3x−y−2≤0,x−y≥0,x≥0,y≥0, 若目标函数z=ax+bya>0,b>0的最大值为2，则1a+1b的最小值为（ ）
A.2B.83C.4D.256
9. 上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时∼14时，14时∼15时，…，20时∼21时八个时段中，入园人数最多的时段是( )
A.13时∼14时B.16时∼17时C.18时∼19时D.19时∼20时
10. 如图所示的程序框图的算符源于我国古代的“中国剩余定理”，用N=nmdm表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如： 7=1md3，执行该程序框图，则输出的n的值为（ ）
A.19B.20C.21D.22
11. 若x>0，y>0，且x+y≤ax+y恒成立，则a的最小值是（ ）
A.1B.2C.2D.22
12. 已知数列an满足a1=1,a2n=a2n−1+−1n,a2n+1=a2n+3nn∈N∗,则数列an的前2017项的和为（ ）
A.31003−2005B.32016−2017C.31008−2017D.31009−2018
二、填空题
折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段．已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也是正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________.
三、解答题
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2A+32=2csA.
(1)求角A的大小；
(2)若a=4，且sinB+sinC=738，求△ABC的面积．
某校举行的数学知识竞赛中，将参赛学生的成绩在进行整理后分成5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组．已知第三小组的频数是15．
(1)求成绩在50−70分的频率是多少；
(2)求这次参赛学生的总人数是多少；
(3)求这次数学竞赛成绩的平均分的近似值．
等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N∗，点n,Sn均在函数y=2x+r （r为常数）的图象上．
(1)求r的值；
(2)记bn=nan，求数列bn的前n项和Tn.
(1)对一切正整数n，不等式2x−1x>nn+1恒成立，求实数x的取值范围构成的集合；
(2)已知x,y都是正实数，且x+y−3xy+5=0，求xy的最小值及相应的x，y的取值．
如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=34π，AB⊥AD，AB=1．
(1)若AC=5，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC=π6，CD=4，求sin∠CAD．
已知数列an中， a1=1，a2=3，其前n项和为Sn，且{Sn}为等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=9anan+3an+1+3，记数列bn的前n项和为Tn．设λ是整数，问是否存在正整数n，使等式Tn+3λ5an+1=78成立？若存在，求出n和相应的λ值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高二（上）12月检测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
分式不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1−x2x+6≥0等价于不等式2x−1x+3≤0且2x+6≠0，
解得−3
2.
【答案】
A
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
根据等差数列的前π项和公式求出a1和d，进而可求出S5
【解答】
解：由题可知， S4=−4, S6=6，
则S4=4a1+6d=−4，S6=6a1+15d=6，
解得： a1=−4，d=2，
所以S5=5a1+10d=5×−4+10×2=0.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
根据正弦定理求解即可．
【解答】
解：由正弦定理得 asinA=bsinB，
∴ b=a⋅sinBsinA
=6×2232=2.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
简单随机抽样
【解析】
本题考查了随机数表的读法，注意对于重复数字只读一次，属于基础题．
【解答】
解：从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，
重复的数字只读一次，
读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11.
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
回归分析
【解析】
回归方程 y=3−5x，变量x增加一个单位时，变量 y平均变化[3−5(x+1)]−(3−5x)，及变量 y平均减少5个单位，得到结果．
【解答】
解：∵ −5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y平均减少5个单位．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
本题主要考查古典概型，用列举法不基本事件一一列举出来为解题关键，属于简单题．
【解答】
解：记1，2表示夫妻二人，a，b，c表示其他的3人，
则从5人中选出3人的基本事件有：
1,2,a ，1,2,b， 1,2,c， 1,a,b,
1,a,c ,1,b,c,2,a,b,2,a,c ,2,b,c, a,b,c
共10个基本事件．
其中恰有夫妻中一人的有1,a,b, 1,a,c ,
1,b,c,2,a,b,2,a,c,2,b,c共6个基本事件，
故所求概率P=610=35.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
等比数列的性质
【解析】
本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10:S5=1:2，可得出(S10−S5)：S5=1:1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项
【解答】
解：∵ 等比数列{an}的前n项和为Sn，
若S10:S5=1:2，
∴ (S10−S5)：S5=−1:2，
由等比数列的性质得：
(S15−S10)：(S10−S5)：S5=1：(−2)：4，
所以S15:S5=3:4.
故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得．
【解答】
解：作出不等式组表示的可行域如下图所示．
因为a>0,b>0，所以当x，y均取最大值时z取最大值，
即直线z=ax+by过点A1,1时，z取最大值，
即zmax=a+b=2.
所以1a+1b=12×a+b1a+1b
=122+ba+ab≥122+2ba×ab=2,
当且仅当a=b=1时等号成立.
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可
【解答】
解：结合函数的图象可知，在13时∼14时，14时∼15时，…，20时∼21时八个时段中，
图象变化最快的为16时到17时之间.
故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
【解答】
解：执行程序框图： n=16，除以3余2，否，除以5余2，否；
n=17，除以3余2，是；
n=18，除以3余2，否，除以5余2，否；
n=19，除以3余2，否，除以5余2，否；
n=20，除以3余2，是；
n=21，除以3余2，否，除以5余2，否；
n=22，除以3余2，否，除以5余2，是；
则输出22.
故选D．
11.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
不等式恒成立问题
【解析】
运用参数分离可得a≥x+yx+y恒成立，由不等式(a+b2)2≤a2+b22，即可得到a的最小值．
【解答】
解：分离参数得x+yx+y≤a恒成立，两边平方得1+2xyx+y≤a2，
而1+2xyx+y≤1+x+yx+y=2，当且仅当x=y时等号成立，
所以a≥2.
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
【解答】
解：由题设归纳可得：a2n−1=12−1n−1+32⋅3n−1−1，
a2n=32⋅3n−1−12−1n−1−1,
前2017项中奇数项和为S1=12−10+−11+⋯+−11008+321+3+⋯+31008−1009=3×31009−34−1009，
偶数项和为S2=−12−10+−11+...+−11007
+321+3+...+31007−1008
=12+3×31008−34−1008，
故该数列前2017项和为S1+S2=3×31009−34+3×31008−34
+12−2017=31009−2018.
故选D．
二、填空题
【答案】
13
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设AB=2，则BG=1，AG=5，
故多边形AEFGHID的面积S=5×5×2+12×2×2=12；
阴影部分为两个对称的三角形，
其中∠EAB=90∘−∠GAB，
故阴影部分面积
S′=2×12AE⋅AB⋅sin∠EAB
=2×12AE⋅AB⋅cs∠GAB=2×12×2×5×255=4，
故所求概率P=13．
故答案为：13.
三、解答题
【答案】
解:1因为cs2A+32=2csA，
所以2cs2A−1+32=2csA,
解得csA=12,
因为0
2因为sinB+sinC=738，
所以sinB+sinC=74sinA,
由正弦定理得b+c=74a,
所以b+c=7,
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b+c2−2bc−2bccsA,
所以bc=11,
所以S△ABC=12bcsinA=1134.
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的余弦公式
正弦定理
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
解:1因为cs2A+32=2csA，
所以2cs2A−1+32=2csA,
解得csA=12,
因为0
【解答】
解:1因为cs2A+32=2csA，
所以2cs2A−1+32=2csA,
解得csA=12,
因为0
2因为sinB+sinC=738，
所以sinB+sinC=74sinA,
由正弦定理得b+c=74a,
所以b+c=7,
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b+c2−2bc−2bccsA,
所以bc=11,
所以S△ABC=12bcsinA=1134.
【答案】
解：(1)成绩在50−70分的频率为：
(0.030+0.040)×10=0.7.
(2)∵ 第三小组的频数是15，频率为0.015×10=0.15，
∴ 这次参赛学生的总人数是150.15=100.
(3)这次数学竞赛成绩的平均分的近似值为：
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67．
【考点】
频率分布直方图
频数与频率
众数、中位数、平均数
【解析】
(1)根据频率分布直方图计算成绩在50−70分的频率值；
(2)根据频数、频率与样本容量的关系求出这次参赛学生的总人数；
(3)利用频率分布直方图估计这次数据的平均值．
【解答】
解：(1)成绩在50−70分的频率为：
(0.030+0.040)×10=0.7.
(2)∵ 第三小组的频数是15，频率为0.015×10=0.15，
∴ 这次参赛学生的总人数是150.15=100.
(3)这次数学竞赛成绩的平均分的近似值为：
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67．
【答案】
解：(1)由题意， Sn=2n+r，
所以a1=2+r，
a2=4+r−a1=2，
a3=S3−S2=4，
故q=2，
所以2=22+r，
解得r=−1.
(2)由(1)得an=2n−1，故bn=n2n−1，
所以Tn=1×1+2×21+3×22+⋯+n2n−1，
2Tn= 1×2+2×22+3×23+⋯+n2n，
所以−Tn=1+2+⋯+2n−1−n2n=2n−1−n2n，
故Tn=n−12n+1.
【考点】
数列与函数的综合
等比数列的性质
数列的求和
【解析】
(1)求出a1,a2,a3后再求出公比q=2，求利用qa1=a2可求r.
(2)利用错位相减法可Tn．
【解答】
解：(1)由题意， Sn=2n+r，
所以a1=2+r，
a2=4+r−a1=2，
a3=S3−S2=4，
故q=2，
所以2=22+r，
解得r=−1.
(2)由(1)得an=2n−1，故bn=n2n−1，
所以Tn=1×1+2×21+3×22+⋯+n2n−1，
2Tn= 1×2+2×22+3×23+⋯+n2n，
所以−Tn=1+2+⋯+2n−1−n2n=2n−1−n2n，
故Tn=n−12n+1.
【答案】
解：(1)由nn+1=1−1n+1<1，
由题意知2x−1x≥1，即x−1x≥0，
解得x<0或x≥1，
∴ x的取值范围构成的集合为： {x|x<0或x≥1}.
(2)由x+y−3xy+5=0，得x+y+5=3xy，
∴ 2xy+5≤x+y+5=3xy，3xy−2xy−5≥0，
∴ xy+13xy−5≥0，
∴ xy≥53，即xy≥259，
等号成立的条件是x=y，此时x=y=53，故xy的最小值是259.
【考点】
不等式恒成立问题
分式不等式的解法
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
【解答】
解：(1)由nn+1=1−1n+1<1，
由题意知2x−1x≥1，即x−1x≥0，
解得x<0或x≥1，
∴ x的取值范围构成的集合为： {x|x<0或x≥1}.
(2)由x+y−3xy+5=0，得x+y+5=3xy，
∴ 2xy+5≤x+y+5=3xy，3xy−2xy−5≥0，
∴ xy+13xy−5≥0，
∴ xy≥53，即xy≥259，
等号成立的条件是x=y，此时x=y=53，故xy的最小值是259.
【答案】
解：(1)在△ABC中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cs∠ABC，
∴ 5=1+BC2+2BC，
解得BC=2或BC=−22（舍），
∴ S△ABC=12⋅AB⋅BC⋅sin∠ABC
=12×1×2×22
=12．
(2)设∠CAD=θ，
在△ACD中，由正弦定理得：ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，
∴ AC12=4sinθ，解得AC=2sinθ，
在△ACB中，∠BAC=π2−θ，∠BCA=θ−π4，
则ACsin∠ABC=ABsin∠BCA，
即ACsin3π4=1sin(θ−π4)，
∴ AC=22sin(θ−π4)，
∴ 2sinθ=22sin(θ−π4)，
即4(22sinθ−22csθ)=2sinθ，
整理，得：sinθ=2csθ，
联立sinθ=2csθ，sin2θ+cs2θ=1，
解得sinθ=255，
∴ sin∠CAD=255．
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面积．
（2）设∠CAD=θ，由正弦定理得AC12=4sinθ，从而AC=2sinθ，由∠BAC=π2−θ，∠BCA=θ−π4，得ACsin3π4=1sin(θ−π4)，AC=22sin(θ−π4)，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．
【解答】
解：(1)在△ABC中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cs∠ABC，
∴ 5=1+BC2+2BC，
解得BC=2或BC=−22（舍），
∴ S△ABC=12⋅AB⋅BC⋅sin∠ABC
=12×1×2×22
=12．
(2)设∠CAD=θ，
在△ACD中，由正弦定理得：ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，
∴ AC12=4sinθ，解得AC=2sinθ，
在△ACB中，∠BAC=π2−θ，∠BCA=θ−π4，
则ACsin∠ABC=ABsin∠BCA，
即ACsin3π4=1sin(θ−π4)，
∴ AC=22sin(θ−π4)，
∴ 2sinθ=22sin(θ−π4)，
即4(22sinθ−22csθ)=2sinθ，
整理，得：sinθ=2csθ，
联立sinθ=2csθ，sin2θ+cs2θ=1，
解得sinθ=255，
∴ sin∠CAD=255．
【答案】
解：(1)由题意可得： S1=a1=1,S2=a1+a2=4，
结合题意可知： Sn=4n−1，
故： an=1，n=1,3×4n−2，n≥2.
(2)当n≥2时，
bn=9anan+3an+1+3
=9×3×4n−23×4n−2+33×4n−1+3
=3×4n−24n−2+14n−1+1
=14n−2+1−14n−1+1．
而b1=9a1a1+3a2+3=38，
因此，当n=1时， T1=b1=38，
从而等式Tn+3λ5an+1=78即为38+λ5=78，
解得λ=52，它不是整数，不符合题意．
当n≥2时， Tn=b1+b2+⋯+bn
=38+142−2+1−142−1+1+…+14n−2+1−14n−1+1
=78−14n−1+1，
则等式Tn+3λ5an+1=78即为78−14n−1+1+λ5×4n−1=78，
解得λ=5−54n−1+1.
由λ是整数，得4n−1+1是5的因数．
而当且仅当n=2时， 54n−1+1是整数，因此λ=4.
综上所述，当且仅当λ=4时，存在正整数n=2，使等式Tn+3λ5an+1=78成立．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
(1)首先求得前n项和，然后利用通项公式与前n项和的公式即可确定数列的通项公式.
(2)首先求得数列bn的通项公式，然后分类讨论n=1和n≥2两种情况即可确定n和相应的λ值是否存在．
【解答】
解：(1)由题意可得： S1=a1=1,S2=a1+a2=4，
结合题意可知： Sn=4n−1，
故： an=1，n=1,3×4n−2，n≥2.
(2)当n≥2时，
bn=9anan+3an+1+3
=9×3×4n−23×4n−2+33×4n−1+3
=3×4n−24n−2+14n−1+1
=14n−2+1−14n−1+1．
而b1=9a1a1+3a2+3=38，
因此，当n=1时， T1=b1=38，
从而等式Tn+3λ5an+1=78即为38+λ5=78，
解得λ=52，它不是整数，不符合题意．
当n≥2时， Tn=b1+b2+⋯+bn
=38+142−2+1−142−1+1+…+14n−2+1−14n−1+1
=78−14n−1+1，
则等式Tn+3λ5an+1=78即为78−14n−1+1+λ5×4n−1=78，
解得λ=5−54n−1+1.
由λ是整数，得4n−1+1是5的因数．
而当且仅当n=2时， 54n−1+1是整数，因此λ=4.
综上所述，当且仅当λ=4时，存在正整数n=2，使等式Tn+3λ5an+1=78成立．
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